離心率確定 多思維破解
——以2021年高考數(shù)學(xué)乙卷理科第11題為例

?廣東省信宜市信宜中學(xué) 梁北永

圓錐曲線(橢圓或雙曲線)離心率取值范圍的問(wèn)題一直是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題.此類問(wèn)題創(chuàng)新新穎，形式各樣，變化多端，難度較大.下面結(jié)合2021年高考數(shù)學(xué)乙卷理科試卷中的一道橢圓的離心率取值范圍的確定加以剖析與總結(jié).

1 真題呈現(xiàn)

2 真題剖析

該題以橢圓為問(wèn)題背景，借助橢圓上的動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度的不等式恒成立來(lái)設(shè)置問(wèn)題，簡(jiǎn)單易懂.其實(shí)，類似的問(wèn)題最早出現(xiàn)在2021年5月份東北三省三校(哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué))高考數(shù)學(xué)三模數(shù)學(xué)試卷(理科)中：

該問(wèn)題與以上高考真題幾乎一致，都以選擇題的形式出現(xiàn)，題干基本一樣，選項(xiàng)有些許不同，所選結(jié)果也是一樣的.

3 真題破解

方法1：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)法.

解析：由題意可得B(0，b).設(shè)P(x0，y0)，則y0∈[-b，b].

根據(jù)題目條件|PB|≤2b恒成立，則知當(dāng)y0=-b時(shí)，|PB|2取得最大值(2b)2=4b2.

點(diǎn)評(píng)：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)其滿足橢圓方程進(jìn)行合理變換，利用兩點(diǎn)間的距離公式，合理消參，轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)y0的二次函數(shù)問(wèn)題.根據(jù)題目條件中|PB|≤2b恒成立，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題，建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系式.再利用橢圓離心率的公式以及取值范圍來(lái)分析與處理.合理轉(zhuǎn)化，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題來(lái)處理，是破解此類問(wèn)題最常用的基本方法之一.

方法2：橢圓與圓的位置關(guān)系法.

解析：由C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則知以B(0，b)為圓心，2b為半徑的圓與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn).

(a2-b2)y2+2b3y+3b4-a2b2=0.

結(jié)合橢圓離心率e的幾何意義可知，當(dāng)e→0時(shí)，此時(shí)橢圓越圓，滿足條件.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件中|PB|≤2b恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的圓與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題.通過(guò)聯(lián)立圓與橢圓的方程，消參轉(zhuǎn)化為含y的二次方程，利用判別式為0確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求解此時(shí)所對(duì)應(yīng)的橢圓離心率.再利用橢圓離心率e的幾何意義確定離心率的取值范圍.等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合圓與橢圓的位置關(guān)系，借助方程的判別式法來(lái)處理，思維巧妙.

方法3：三角參數(shù)法.

由于|PB|≤2b恒成立，則有a2cos2α+(bsinα-b)2≤4b2.

整理可得(a2-b2)sin2α+2b2sinα+3b2-a2≥0.

即[(a2-b2)sinα+3b2-a2](sinα+1)≥0.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)進(jìn)行三角參數(shù)換元處理，結(jié)合題目條件中|PB|≤2b恒成立建立對(duì)應(yīng)的不等式.通過(guò)十字相乘法加以因式分解，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合不等式恒成立加以轉(zhuǎn)化，建立含參的不等式問(wèn)題.再利用橢圓離心率的公式以及取值范圍來(lái)分析與處理.通過(guò)三角參數(shù)進(jìn)行換元處理，引入三角函數(shù)，借助三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)分析與處理，也是一種非常不錯(cuò)的破解方法.

圖1

方法4：數(shù)形結(jié)合法.

解析：由題意可得B(0，b)，作出以點(diǎn)B為圓心，以2b為半徑的圓，如圖1所示.

設(shè)A為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)∠ABO=θ(0≤θ<π)，則知A(2bsinθ，-2bcosθ+b).

由C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則知點(diǎn)A必在橢圓C外(包括橢圓上)，即

①

當(dāng)sinθ=0時(shí)，①式顯然成立.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件作出以點(diǎn)B為圓心，以2b為半徑的圓，通過(guò)題目條件中|PB|≤2b恒成立，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圓上任意一點(diǎn)A必在橢圓C外(包括橢圓上).結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)的確定并代入橢圓方程，分離系數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合不等式恒成立以及三角函數(shù)的取值范圍建立不等式，再利用橢圓離心率的限制條件來(lái)分析與處理.數(shù)形結(jié)合處理，直觀形象，合理轉(zhuǎn)化，巧思妙想，也是一種不錯(cuò)的精彩解法.

4 教學(xué)啟示

破解圓錐曲線中離心率取值范圍問(wèn)題的常見(jiàn)策略技巧：

(1)借助“題目條件”合理切入，直接利用題目條件中的不等信息建立對(duì)應(yīng)的不等式(組)，并利用圓錐曲線中離心率的取值限制條件加以綜合與應(yīng)用.

(2)抓住“平面幾何”數(shù)形直觀，結(jié)合平面幾何圖形的基本性質(zhì)，如三角形、圓等的基本性質(zhì)，綜合圓錐曲線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，直觀想象.

(3)利用“三角參數(shù)”巧妙轉(zhuǎn)化，合理利用題目條件引入三角函數(shù)，將目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合三角恒等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來(lái)確定對(duì)應(yīng)的取值范圍.

(4)結(jié)合“端點(diǎn)效應(yīng)”進(jìn)行特殊處理，根據(jù)圓錐曲線中在極端位置時(shí)所對(duì)應(yīng)的離心率，通過(guò)“動(dòng)”與“靜”的結(jié)合來(lái)確定離心率的取值范圍.

對(duì)于具體的圓錐曲線離心率的取值范圍問(wèn)題，靈活應(yīng)用，或一種策略獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷，或多種策略齊心協(xié)力，或另辟蹊徑，合理轉(zhuǎn)化，巧妙破解.