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    對2022年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第22題的探究

    2022-12-19 03:07:32海南省昌江黎族自治縣昌江中學(xué)廖明艷林瑞記浙江杭州優(yōu)才教育科技有限公司李紅慶
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年23期
    關(guān)鍵詞:充分性題意單調(diào)

    ?海南省昌江黎族自治縣昌江中學(xué) 廖明艷 林瑞記 ?浙江杭州優(yōu)才教育科技有限公司 李紅慶

    1 高考試題呈現(xiàn)

    (2022年全國新高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

    (1)當(dāng)a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

    (2)當(dāng)x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

    此題第(1)問難度較小易求解.筆者重點闡述第(2)(3)問的解題方法與邏輯分析.這兩問考查學(xué)生證明不等式的綜合能力,證明過程中會用到相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),甚至需要學(xué)生自行構(gòu)造新的函數(shù),再推導(dǎo)題目中的不等式成立.

    2 第(2)問的解法探析

    針對第(2)問,具體解答思考過程的思維導(dǎo)圖如圖1所示:

    圖1

    解法1:探求充分性,證明必要性.

    設(shè)φ(x)=ax+1-e(1-a)x,則有φ(0)=0,φ′(x)=a-(1-a)e(1-a)x.

    (iii)當(dāng)a≥1時,存在x0=1,使得h(1)=ea-e+1>0,也不符合題意.

    令φ(x)=(x-2)ex+x+2,則φ′(x)=(x-1)·ex+1,從而φ″(x)=xex>0,故φ′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以,當(dāng)x>0時,φ′(x)>φ′(0)=0,即φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則φ(x)>φ(0)=0,即h′(x)>0,從而h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

    因此,當(dāng)x>0時,h(x)>h(0)=0.

    (iii)當(dāng)a≥1時,存在x0=1,使得h(x0)=ln(e-1)-ln 1-a<0,不符合題意.

    解法3:令t=ex>1,則x=lnt.當(dāng)x>0時,f(x)<-1等價于當(dāng)t>1時,f(lnt)<-1.

    設(shè)h(t)=talnt-t+1<0.注意到h(1)=0,下面探求充分性.

    (iii)當(dāng)a≥1時,由t>1易知h′(t)>0,所以h(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故存在t>1,使得h(t)>h(1)=0.

    3 第(3)問的解法探析

    針對第(3)問通過對不等式的整理與變換,將證明不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為兩個數(shù)列求和比較的問題.具體解答思考過程的思維導(dǎo)圖如圖2所示:

    圖2

    方法一:巧用賦值,化繁為簡.

    故所證不等式成立.

    方法二:應(yīng)用換元的方法,將問題簡化求解.

    綜上可知,所證不等式恒成立.證畢.

    方法三:應(yīng)用對數(shù)均值不等式切入巧解秒殺.

    故原不等式得證.

    2022年的全國新高考數(shù)學(xué)試卷突破了模擬試題的套路,試題呈現(xiàn)方式與解法都有創(chuàng)新.廣大數(shù)學(xué)教師要真正聚焦課堂教學(xué),讓行之有效的學(xué)法、教法落實到位,繼續(xù)加強對命題及解題方法與策略的研究.

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