借“微整復(fù)習(xí)” 讓圖形思維生長
——以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形知識微整復(fù)習(xí)”微課為例

劉玉勇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出了“整合”理念，圍繞“三會”培養(yǎng)目標(biāo)將圖形知識進(jìn)行微整合，將“平面上兩條直線的位置關(guān)系”“角的知識”“觀察物體”“復(fù)雜形體”和“升和毫升”相關(guān)知識進(jìn)行跨單元和跨域有效串接、多元融合，讓微課“微”而不“小”，“微”而不“淺”，使學(xué)生在微整的復(fù)習(xí)氛圍和多元的數(shù)學(xué)表達(dá)中激發(fā)出更多的思維火花。圍繞發(fā)展性，在數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力上多施“筆墨”，能促進(jìn)學(xué)生評價的“自我增值”。筆者將蘇教版數(shù)學(xué)四年級上冊期末復(fù)習(xí)的“圖形王國”進(jìn)行創(chuàng)新式開發(fā)，以兼容線上與線下教學(xué)整體支架的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)，同時還可以生長成普通的線下教學(xué)，形成資源的“跨線”增值。

一、連點(diǎn)成線，形成“微整”意識

此環(huán)節(jié)將成為本復(fù)習(xí)課的引子，通過對點(diǎn)的延伸形成射線和直線，再利用點(diǎn)整構(gòu)成線段、射線和直線的融合體，引發(fā)學(xué)生對圖形繼續(xù)聯(lián)想的驅(qū)動力。

師：瞧，這里有一個點(diǎn)，它向右邊不斷延伸，變成了什么？

生：變成了一條射線。

師：是的。從這個點(diǎn)又向相反方向延伸，這時變又成了什么？

生：成了一條直線。

師：老師在直線上又點(diǎn)了兩個點(diǎn)，想想現(xiàn)在有多少條線段？有多少條射線呢？先暫停，數(shù)一數(shù)。

生：有3 條線段，6 條射線。

【思想路徑】回溯上述的教與學(xué)，筆者讓學(xué)生重點(diǎn)回顧了射線、直線和線段，從特征感悟和量的規(guī)律尋找上，進(jìn)行練習(xí)和簡要回憶性復(fù)習(xí)，圖形知識生成自然有序，在微整合的過程中讓學(xué)生感受到資源不斷生成的“神秘”推力。

二、旋線定位，蘊(yùn)含隨機(jī)理念

這部分教學(xué)，要從線的平移特別是旋轉(zhuǎn)中創(chuàng)造出新的隨機(jī)資源，通過暫停運(yùn)動的線條，進(jìn)而生成兩線關(guān)系的靜態(tài)資源——平行（不相交）與相交，再在線組關(guān)系的識別和分組中自然地促進(jìn)兩線關(guān)系的深度復(fù)習(xí)。

師：剛才我們由點(diǎn)產(chǎn)生了一條直線。瞧，又一條直線落下了，兩條直線在同一平面，你發(fā)現(xiàn)每組直線存在什么關(guān)系？

生：是互相平行。

師：瞧，現(xiàn)在老師讓一條直線旋轉(zhuǎn)起來，如果點(diǎn)屏幕暫停，你將看到這兩條直線是什么關(guān)系呢？同學(xué)們先觀察一下線的旋轉(zhuǎn)，再點(diǎn)屏幕暫停。

師：你的暫停點(diǎn)好了嗎？老師點(diǎn)了暫停，你的兩條直線關(guān)系是不是和我的不太一樣？

生：是的。

師：這里，老師也截取了10 位同學(xué)暫停后的圖形（如下圖1）。你能說說哪些組的兩條直線是相交的，哪些是不相交的？同學(xué)們點(diǎn)屏幕暫停播放進(jìn)行思考。

圖1

生：我認(rèn)為7 號和9 號是平行，也就是不相交，其余都是相交。

師：4 號6 號為什么是相交呢？

生：只要延長線就可以相交了。

師：老師來延長一下這兩組中的線。咦，它們真的相交了！看來，不能被它們表面現(xiàn)象迷惑。

師：結(jié)合同學(xué)們的圖形，老師整理一下同一平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系，這個大圈被分成兩部分，分別表示什么呢？（如下圖2）

圖2

生：分別表示平行（也就是不相交）和相交關(guān)系。

師：這里又出現(xiàn)了一個小圈，表示什么呢？

生：表示這兩條直線互相垂直。

師：下面請大家暫停屏幕，將右邊10 組直線的關(guān)系分別填進(jìn)圈中。互相平行有哪幾組線呢？

學(xué)生獨(dú)立思考，自我回答。

師：對的，第7 組和第9 組線，兩條線都是互相平行?；ハ啻怪笔悄膸捉M？

生：1、3、6 組。

師：這位同學(xué)說是1、3、6 組，填得很正確！剩下來的都應(yīng)該是相交，看填在這個位置（指向中間位置）。生：老師，我覺得垂直也是相交，所以相交的有第2、4、5、8、10 和1、3、6 組線。

師：你很愛從不同角度思考，而且更值得點(diǎn)贊的是，你還學(xué)會用恰當(dāng)?shù)脑~語來組織表達(dá)，例如，我覺得……，因為……所以……

【思想路徑】上述教學(xué)利用了線條資源中的動、靜結(jié)合，讓學(xué)生在感受自己創(chuàng)造資源的快樂中，也激發(fā)出他們問題發(fā)現(xiàn)及解決意識，促進(jìn)積極情緒體驗的生成；在線組分類中，采用集合圖和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)語言相融合，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行多元表征。

三、辨角妙施，“述算”創(chuàng)生模型

此段的教學(xué)環(huán)節(jié)將圍繞角展開，從線組的資源里擇取角并進(jìn)行思維“聚焦”，先要對角進(jìn)行分類回憶，再進(jìn)行角的大小計算，需要重視對學(xué)生計算思維表述能力（述算）的培養(yǎng)。

師：同學(xué)們很愛思考。兩條直線相交后會產(chǎn)生很多角，我從同學(xué)們的作品中就選取了三個角，分別是第2、3 和8 組線（如圖3），回想一下，這些角分別是什么角？

生：從左邊起，第一個是銳角、第二個是直角、第三個是鈍角。

師：我們學(xué)習(xí)過的角就這幾種嗎？

生：不是的，還有平角、周角。

師：這些角分別有什么特征？

生：銳角大于0°而小于90°，直角等于90°，鈍角大于90°而小于180°，平角 等 于180°，周角等于360°。（如圖3）平時用的三角尺上就有一個直角兩個銳角。

圖3

師：其實，兩條直線相交后有很多個角的。瞧，你能分別算出∠2、∠3、∠4 的度數(shù)嗎？請點(diǎn)屏幕暫停，自己做一做（如圖4）。

圖4

學(xué)生獨(dú)立完成。

生：我們只要用平角減一個角就可以求出相鄰的另一個角。

師：是的，你做對了嗎？

師：這兩根直線像這樣相交，你又發(fā)現(xiàn)什么秘密？

生：我發(fā)現(xiàn)“對面”（相對）的角度數(shù)相等，∠1和∠3 度數(shù)相等，∠2 和∠4 度數(shù)相等。

師：真棒！看，這里有好幾條直線相交了，條件是這樣的，你覺得∠4 該怎么求？（如圖5）點(diǎn)屏幕暫停，想一想，動筆算一算。

圖5

生1：我用平角減去∠2 和左邊的直角，就可以求出∠4=180°－32°－90°=58°。

生2：∠1 和∠2 的和是直角，我們還可以用∠1=90°－32°=58°。由于∠1和∠4 是兩條直線交叉后“對面”（相對）的角，所以，∠1=∠4=58°。我覺得這種方法更簡潔，∠3 的度數(shù)在這里不用。

師：兩位同學(xué)回答得很好，特別是有自己不同的觀點(diǎn)時能大膽表達(dá)，值得表揚(yáng)。

【思想路徑】以上安排的教學(xué)，利用前面截屏的10 組兩線關(guān)系圖，選取其中3 個角，自然地形成并完善了角的分類及特征的整理和復(fù)習(xí)；在角的計算中，筆者先抓住“對面的角”（相對的角、對頂角）的特點(diǎn)，讓學(xué)生感受線和角蘊(yùn)藏的規(guī)律，進(jìn)行小學(xué)和初中長線銜接；之后角的計算問題，讓學(xué)生對比探究：用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有時可以快速判斷出角的度數(shù)。

角的度數(shù)計算環(huán)節(jié)，使學(xué)生從更廣的視野觀察角，用剛才更新的思維來計算角：學(xué)生學(xué)會了對比、整合，靈活運(yùn)用角的知識解決問題。值得關(guān)注的是，此處教學(xué)十分重視計算與圖形的貼合，“述算”和“述圖”的結(jié)合，創(chuàng)新觀察和創(chuàng)新思維的融合。

四、圍面成體，空間想象進(jìn)階

以下教學(xué)，先要將“線組”升級成“群組線條”；學(xué)生通過畫多組縱橫等距離平行線，發(fā)現(xiàn)面的“群體”存在；再通過涂色凸顯部分面，利用剪切、折圍，運(yùn)用操作和空間想象把線、面向體轉(zhuǎn)化。

師：照樣子畫一畫幾條互相平行的橫線，相鄰兩條平行線之間距離都是1 厘米。你發(fā)現(xiàn)多條平行線之間是什么關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)他們都互相平行。

師：在橫的平行線組上再畫幾條垂直的平行線，并調(diào)整到相鄰兩根平行線之間的距離都是1 厘米。那么，橫豎線之間你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)，豎線之間都互相平行，它們和橫線都互相垂直。

生2：我還發(fā)現(xiàn)交叉形成了方格圖。

教師出示方格圖。（如下圖6）

圖6

師：請點(diǎn)屏幕暫停，在自己畫的方格圖上，照樣子涂出6 塊方格顏色。學(xué)生涂色操作。

師：這是一個神奇的圖形，我現(xiàn)在把它剪下來，瞧，折疊并圍一下就可以變成什么？

教師用動畫演示把圖形折、圍變成一個正方體。（如上圖7）

圖7

生：成了一個正方體了，我也想試一下……

師：嗯，你們可以暫停播放嘗試一下喲！你會有更多發(fā)現(xiàn)的，是不是也能帶來一些思考呢？

生：我想到了平時堆作業(yè)本的情況，發(fā)現(xiàn)了如果用很多同樣的正方形的紙也可以堆出正方體。

師：當(dāng)正方形有了厚度就慢慢“長成”了正方體，就像學(xué)習(xí)知識，除了知識面變廣，還要對知識有一定深度的了解，這樣才是真學(xué)習(xí)。

【思想路徑】此環(huán)節(jié)通過橫向和縱向等距平行線組的垂直繪制，畫出眾多方格，讓正方體展開圖有了生長背景；然后順?biāo)浦?，進(jìn)行組合圖形（正方體展開圖）的涂、剪和折。從線到面，這時又過渡到正方體，發(fā)展不著痕跡，體現(xiàn)圖形知識之間的密切聯(lián)系，學(xué)生的形象思維、抽象思維及創(chuàng)造性思維，在教師的增值引導(dǎo)、鼓勵和評價中進(jìn)一步整合。

五、窺體促思，多維觀察融通

此處教學(xué)，先要將多個正方體進(jìn)行拼搭形成組合體，從觀察一個組合體多個面，然后引導(dǎo)觀察多個組合體的多個面，在三維和二維的關(guān)聯(lián)碰撞中，整合多維空間發(fā)現(xiàn)。

師：老師課前收集了一些同學(xué)折、圍、粘好的這樣相同的小正方體，我們可以搭建出各種各樣的立體圖形。瞧，這里就有三位同學(xué)用5 個小立方體搭成的形體，請將觀察到的形狀和方向連一連。先點(diǎn)屏幕暫停。

學(xué)生操作連線。

師：好了，是不是這樣？（如圖8）

圖8

師：你們真厲害！有同學(xué)用4 個相同的小正方體組成了下面的三組組合體，如果從同一個方向觀察，你看到的是否相同？（如圖9）點(diǎn)屏幕暫停想一想、畫一畫。

生：我發(fā)現(xiàn)上面看都是橫著的三個正方形，都相同；還發(fā)現(xiàn)從前面看第一個是L 型、第二個是倒“T”字型、右邊是左右相反的L 型；從右邊看都是豎著的兩個正方形，是相同的。

師：哪個或哪幾個組合體，前面和后面看到的平面圖形是一樣的？（如圖9）

圖9

生：第二個組合體前、后看到的平面都是倒“T”字形，其余兩個組合體看到的是前、后相反的。

師：有沒有哪些組合體不同面看到的是相同的？

生：第一個組合體的前面和第三個組合體后面看到是一樣的……

【思想路徑】前面的教學(xué)是從點(diǎn)、線、面、體逐步深入的，這里的教學(xué)是體、面交融，從正方體的不同搭配對比和視角的轉(zhuǎn)換中尋找平面，學(xué)生的觀察和想象在三維和二維中變換。這部分教學(xué)內(nèi)容相對比較抽象，需要較強(qiáng)的空間想象力，因此，筆者在這里重點(diǎn)進(jìn)行了三重進(jìn)階對比訓(xùn)練：一是“一體多面”，即通過一個組合體進(jìn)行多面觀察，喚醒學(xué)生的觀察方法；二是“多體同面”，即通過三組組合體進(jìn)行同方向觀察，發(fā)現(xiàn)面的相同和不同（正方體數(shù)量相同、觀察角度相同，觀察結(jié)果有可能相同也可能不同）；三是“多體多面”，即多組組合體自我不同面之間對比，不同組合體不同面之間進(jìn)行對比。此環(huán)節(jié)的思維挖掘空間是具有彈性的，靈活的評價也能促成自我增值與個體成長的拔節(jié)。

六、組面構(gòu)體，逆向思維建構(gòu)

在豐富面、體的學(xué)習(xí)感悟后，這個環(huán)節(jié)，學(xué)生將觀察到的不同面進(jìn)行關(guān)聯(lián)并且聯(lián)想出組合體。教學(xué)將再次引導(dǎo)學(xué)生從面的不同屬性和形狀中，進(jìn)行操作、聯(lián)想和體的復(fù)原。實施教學(xué)中，需要對圖形計數(shù)和空間思維的語言表述能力培養(yǎng)加以關(guān)注。

師：一個立體圖形，從上面看到的形狀是“田”字形，從前面看到的形狀是“L”形（如圖10）。搭這樣的立體圖形至少需要幾個小立方體？點(diǎn)屏幕暫停，可以想一想，也可以用自己準(zhǔn)備的小方塊拼一拼。師：你思考好了嗎？

生（師）：從上面看可以知道，最下面最起碼有一層，共四個。從前面看可以知道，另外一個可以放左后方，也可以用俯視圖來幫助理解，左后方有2 個小方塊，其余都是一個小方塊；同樣，也可能在第二層左前方還有一個，用俯視圖看，左前方標(biāo)2 個，其余標(biāo)1 個。由于要求最少，所以左前和左后只要出現(xiàn)一個。（如圖10）

圖10

師：你不僅觀察力強(qiáng)，而且還將立體和平面結(jié)合起來思考，很厲害！大家可以暫停播放，再動手?jǐn)[一擺，再看一看上面和前面形狀，再閉眼想一想平面和立體圖形。

【思想路徑】從平面組構(gòu)猜想立體，和第五部分“窺體促思”從立體想平面，形成了很好的前后呼應(yīng)結(jié)構(gòu)。同時，這里滲透了多角度觀察、合理安排觀察順序來解決問題的教學(xué)策略。學(xué)生在問題解決中通過擺、想和有策略地分析，個性化地自主提升圖形分析能力；學(xué)生在從二維到三維的逆向思維中，凸顯了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的數(shù)學(xué)新課標(biāo)（2022 年版）思想。

七、剖體敏思，有序推理升值

這里的教學(xué)環(huán)節(jié)將會讓體的構(gòu)造趨于綜合化，將1 個體積單位看做“500 毫升”，需要讓學(xué)生通過有序的觀察、思維、推理，進(jìn)行數(shù)方塊計算水的升數(shù)。

師：這像不像一個建筑？其實這是一堆很薄的容器，每個正方體容器都裝500 毫升水，這些容器一共裝了多少升水？要想解決這個問題，需要先解決什么問題？（如下圖11）

生：需要知道一共多少個正方體容器。

師：請同學(xué)們點(diǎn)屏幕暫停，思考解決，當(dāng)然也可以擺一擺。

學(xué)生獨(dú)立思考。

生1（師）：瞧，從最上層起，上面第一層很明顯有1 個；第二層有3 個；第三層比第二層多3 個，一共6 個；最后第四層比第三層多4 個，一共10 個。（如圖11）

圖11

生2：加起來一共20 個小立方體，由于兩個500 毫升就是1 升，也就是10 升。

師：你們的思路很清晰。估計還有同學(xué)豎著來數(shù)小立方體算總個數(shù)的。只要有序，都可以，大家可以試著有序地數(shù)一數(shù)。

【思想路徑】此處教學(xué)關(guān)注“序”字：首先，重視“從問題出發(fā)”進(jìn)行逆向思維，從分析問題中尋找思維的起點(diǎn)；其次，在小方塊組合體數(shù)量的推理、分析中，關(guān)注剖析小方塊數(shù)量的“序”，可以一層層有序地計數(shù)，也可以一列列地有序想象，在“拆”“拼”形體中也滲透微積分思想。利用有序分析和有序觀察，學(xué)生的圖形想象和思維力在有條不紊中不斷進(jìn)步；對復(fù)雜形體的觀察、計數(shù)在“序”中建立了策略模型；同時，學(xué)生對體的單位意識和容積的計量意識也在“有序累加”的統(tǒng)整中形成了新萌芽。

八、整構(gòu)反饋，知情評價增值

在整合反饋環(huán)節(jié)，教師將采用一邊回顧一邊用關(guān)鍵詞進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)連接；之后，教師借助大數(shù)據(jù)平臺再進(jìn)行信息化反饋，以了解學(xué)生的學(xué)情和學(xué)習(xí)心理，讓總結(jié)和反饋都體現(xiàn)出“整合”下的增值。

師：今天這節(jié)數(shù)學(xué)“微復(fù)習(xí)課”就要結(jié)束了，請回顧一下。這節(jié)課我們復(fù)習(xí)了什么？

生（師）：先復(fù)習(xí)了各種線，通過線的運(yùn)動引出了同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，還對線的位置關(guān)系和角進(jìn)行了分類梳理，還觀察了平面創(chuàng)造出的立方體形成的組合體；我們知道了線可以創(chuàng)造出面，面可以創(chuàng)造出立體，立體和平面是互相交融；我們還能運(yùn)用圖形知識，運(yùn)用各種策略解決很多生活中的實際問題。（如圖12）

圖12

師：最后，請同學(xué)們點(diǎn)擊鏈接或者掃描二維碼提交本課學(xué)習(xí)作業(yè)情況反饋單，https://www.wjx.cn/vj/mW2c78c.aspx。

【思想路徑】總結(jié)環(huán)節(jié)，在圖形知識點(diǎn)、圖形知識塊和圖形知識面與圖形知識體的串聯(lián)和融通中逐步完善。筆者在學(xué)生充分和深度訓(xùn)練后，以簡要的思維導(dǎo)圖的形式，協(xié)助他們整體構(gòu)建出圖形生長的支架，便于學(xué)生把自己零散的圖形知識“吸附”到本課復(fù)習(xí)的知識支架上，進(jìn)行再聯(lián)結(jié)與再整構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生圖形“知與能”深度融合和廣域性生長，并施以數(shù)學(xué)語言表述和增值評價的營養(yǎng)。在本課的最后，筆者利用問卷星，讓學(xué)生把自己的錯誤情況進(jìn)行定量提交，同時也讓孩子們把收獲反思進(jìn)行定性陳述。

基于微視頻的這樣的微設(shè)計，融入IT、AI、VR 等多媒互聯(lián)技術(shù)，將虛擬的環(huán)境、實體的學(xué)習(xí)者和生成性教學(xué)內(nèi)容多重融合，四位一體，并利用云計算和大數(shù)據(jù)對反饋結(jié)果進(jìn)行收集和分析，在互動中，使學(xué)生把學(xué)習(xí)過程中的“有效失敗”轉(zhuǎn)變?yōu)樽约豪^續(xù)成長的“有效成功”。

以上“微整復(fù)習(xí)”是基于四年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需求，形成“教、學(xué)、評、思、改”閉環(huán)螺旋上升的和“磁性”生長的生態(tài)結(jié)構(gòu)；在整合性“微”實施中，可以促進(jìn)師生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。對于數(shù)學(xué)語言的“述”和評價值的“增”，教師可以在線下的開發(fā)中也會有新的實踐體悟。