韋達定理：歷史、教育價值及啟示

黃賢明 (江蘇省蘇州高新區(qū)景山實驗初級中學(xué)校 215129)

韋達定理是一元n次方程根與系數(shù)關(guān)系的定理，本文主要討論一元二次方程的情況．在現(xiàn)行教材中，韋達定理一般編排在一元二次方程的解法之后，在中學(xué)階段具有較為廣泛的應(yīng)用價值．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中韋達定理為選學(xué)內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱新課標(biāo))則將韋達定理重設(shè)為考試內(nèi)容，說明韋達定理的教育價值不容忽視．研究韋達定理的起源與發(fā)展，不難發(fā)現(xiàn)其蘊藏著深厚的歷史底蘊，是HPM教學(xué)研究的重要素材；同時韋達定理作為數(shù)學(xué)定理，在其發(fā)現(xiàn)、探索、證明、應(yīng)用等環(huán)節(jié)中也涉及到數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)的 培養(yǎng)．因此，本文從歷史和教育價值兩個方面透析了韋達定理，以期提出韋達定理教學(xué)的建議與啟示．

1 韋達定理的歷史

1.1 韋達定理的起源與發(fā)展

韋達定理從起源、發(fā)現(xiàn)、完善、證明到推廣歷經(jīng)了數(shù)百年，歷史上對于方程的根與系數(shù)關(guān)系的探索可以追溯到16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡丹 (G.Cardano,1501—1576)、法國數(shù)學(xué)家佩勒蒂耶(J.Peletier,1517—1582)、意大利數(shù)學(xué)家邦貝利(R.Bombelli,1526—1572)都發(fā)現(xiàn)了方程的根與系數(shù)的規(guī)律[1]．1615年，法國數(shù)學(xué)家韋達(F.Vieta,1540—1603)在《方程的理解與修正》一書中給出了形如-x2+px=q(p,q>0)的方程的兩根之和為p，兩根之積為q，但韋達并沒有考慮重根和負根的情況．1629年荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾(A.Girard,1595—1632)在《代數(shù)新發(fā)明》中討論了一般n次方程的根與系數(shù)關(guān)系，并將根推廣到負數(shù)、虛數(shù)，且發(fā)現(xiàn)了方程根的“冪和公式”．直到18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707—1783)、法國數(shù)學(xué)家拉克洛瓦(S.F.Lacroix,1765—1843)等人才給出了韋達定理的嚴格證明[2]．在19世紀(jì)蘇格蘭數(shù)學(xué)家華里斯(W.Wallace,1768—1842)利用韋達定理得到一元二次方程的求根公式[3]．由韋達定理的歷史可以看出，求根公式的出現(xiàn)遠晚于韋達定理，并非教科書所編排的順序，其次早期韋達定理考慮的是二次項系數(shù)為1的一元二次方程．

1.2 韋達定理的證明

縱觀韋達定理的歷史發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家都為定理的證明作出了貢獻，并且他們的證明思想都圍繞著設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想．

(1)韋達代入相減法．

在證明中，韋達并沒有考慮到重根的情況，但他是最早以定理的形式探究方程的根與系數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)家，并且在他的證明過程中也蘊藏著設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想與代入相減的數(shù)學(xué)方法．

(2)吉拉爾代入相減法．

數(shù)學(xué)家吉拉爾的證明是站在韋達的“肩膀”上，證明思想與方法都類似于韋達的證明．但該證明彌補了對重根情況的討論，且韋達定理的形式也與如今教材中所呈現(xiàn)的相同．

(3)歐拉因式分解法．

設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為x1和x2，則原方程可化為(x-x1)(x-x2)=0，即x2+px+q=x2-(x1+x2)x+x1x2，比較系數(shù)，得x1+x2=-p，x1x2=q．

歐拉的證明也是采用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想，但與韋達證明的不同就是利用所設(shè)兩根對方程進行因式分解，比較系數(shù)得到定理，這也是人教版教材中所采用的證明方法．

(4)拉克洛瓦“新證法”．

拉克洛瓦在證明中沒有將兩根全部設(shè)出，通過只設(shè)一根的方式，讓另一根通過運算推理獲得．

2 韋達定理的教育價值

2.1 串聯(lián)中學(xué)解題的重要法寶

在初中階段，韋達定理并沒有得到較為深入的探究與應(yīng)用，其主要用于解決判斷方程根的符號這類問題．此外，從課外拓展的視角下，韋達定理還可以用于求解特殊的方程組、分式方程、不定方程等問題[4]．在高中階段，韋達定理在解析幾何的求解中較為常見，尤其是涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，借助韋達定理可以巧妙地設(shè)而不求、簡化運算．在韋達定理的證明方法中，利用因式分解法可以將一元二次方程推廣到一元n次方程，走向定理的一般化．因此，韋達定理在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，其內(nèi)容、思想、方法都是學(xué)生的重要法寶．

2.2 發(fā)展核心素養(yǎng)的重要載體

新課改以來，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法受到一線教師的重點關(guān)注．韋達定理作為數(shù)學(xué)定理，其本身就具備較強的嚴謹性和邏輯性．在教學(xué)實踐中，不同的教學(xué)設(shè)計下，韋達定理能夠達到不同的培養(yǎng)目標(biāo)．以蘇科版教材的設(shè)計為例，在觀察、比較具體方程及其根的關(guān)系的活動中，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與合情推理能力；在使用求根公式證明定理環(huán)節(jié)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)．除了教材的設(shè)計，教師還能從不同的視角對韋達定理的教學(xué)進行再設(shè)計．例如，基于5E教學(xué)模式并融合了因式分解法證明韋達定理、利用韋達定理證明求根公式等活動，讓邏輯推理素養(yǎng)串聯(lián)起整個課堂[5]．再如，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律環(huán)節(jié)中設(shè)計“數(shù)學(xué)趣味游戲”，讓學(xué)生根據(jù)已給方程的根構(gòu)造一元二次方程，并得出猜想，該環(huán)節(jié)側(cè)重于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展，同時也涉及歸納推理、逆向思維等能力培養(yǎng)[6]．

2.3 浸潤德育美育的重要素材

在韋達定理發(fā)展的歷史長河中，一批批執(zhí)著追求真理的數(shù)學(xué)家們前赴后繼，他們的故事、生平與成就中蘊含的理想信念與精神品質(zhì)匯聚成莊重、嚴肅、令人敬仰的數(shù)學(xué)精神．教學(xué)中將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)精神滲透在定理的發(fā)現(xiàn)中，使其相互映照，讓學(xué)生在定理的學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)精神、豐富歷史文化底蘊，并將精神融入學(xué)習(xí)生活中，指導(dǎo)學(xué)生未來的發(fā)展，達到數(shù)學(xué)史的“德育之效”．

此外，數(shù)學(xué)美是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容，其實質(zhì)在于理性精神和結(jié)構(gòu)美．從價值追求上，韋達定理引導(dǎo)人們追求盡善盡美的理性精神；從表現(xiàn)形式上，韋達定理既包含著和諧美，也包含著簡潔美．和諧美體現(xiàn)于對稱式x+y和xy具有簡單和諧的對稱內(nèi)涵[7]．簡潔美在于復(fù)雜的一元二次方程兩根之和與兩根之積僅用兩個系數(shù)的比值就能簡潔地表示出來．

3 啟示

3.1 對教師觀念的啟示

教師是教學(xué)的組織者，教師對待韋達定理的教學(xué)態(tài)度決定了其教育價值的發(fā)揮程度．在新課標(biāo)頒布之前，有些教師就認為：韋達定理是選學(xué)內(nèi)容，考試不作要求，就可以跳過該內(nèi)容的教學(xué)，或讓學(xué)生自主閱讀教材就行．若直接“遺棄”韋達定理，這既不符合數(shù)學(xué)教學(xué)的全面性與基礎(chǔ)性，影響學(xué)生后續(xù)高中階段的學(xué)習(xí)，也喪失了培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法，滲透德育美育的重要契機，這對學(xué)生與教師而言都是一大遺憾．隨著新課標(biāo)的頒布，教師先要擺正意識，正確地對待韋達定理的教學(xué)，積極研究教材、研究教學(xué)、研究學(xué)生，真正做到理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生，將韋達定理的教育價值落到實處．

3.2 對教材編寫的啟示

教材是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的首要選擇，也是教師教學(xué)的重要參考．不同的教材對于韋達定理的編寫也有所不同，表1從定理發(fā)現(xiàn)、定理證明與例題內(nèi)容三個方面比較了四個版本教材中對于韋達定理內(nèi)容的編排與設(shè)計．

表1 四個版本教材中對于韋達定理內(nèi)容的編排與設(shè)計

就定理發(fā)現(xiàn)而言，人教版從因式分解法出發(fā)，以邏輯推理(理性)視角發(fā)現(xiàn)定理，其他三個版本均從具體的方程出發(fā)，以數(shù)學(xué)猜想(感性)視角發(fā)現(xiàn)定理．就定理的證明而言，主要利用公式法證明，

其優(yōu)點是貼合學(xué)生近期學(xué)習(xí)的內(nèi)容，更方便、也更容易想到．但這種證明方法不符合歷史發(fā)展規(guī)律(先有韋達定理，后有求根公式)，并且一元五次及以上的高次方程沒有求根公式，該方法是無法推廣的；同時，用公式法證明也會讓學(xué)生產(chǎn)生對韋達定理學(xué)習(xí)意義的質(zhì)疑，即：都能求出方程的具體兩根了，為何還要探究兩根之和與兩根之積．就例題內(nèi)容而言，四版教材選取的例題都較為單一，只圍繞韋達定理的簡單應(yīng)用(給出具體的一元二次方程，求出兩根和與兩根積)，沒有從定理逆用的角度選擇例題．

綜上，教材的編寫更側(cè)重于對定理本身的發(fā)現(xiàn)與探索，而忽略了韋達定理的發(fā)展歷史．為更好發(fā)揮韋達定理的教育價值，教材的編寫可以重構(gòu)韋達定理的發(fā)展史，多角度融入韋達定理的不同證明方法，創(chuàng)設(shè)求根公式與韋達定理相互驗證的環(huán)節(jié)，并嘗試多方面地設(shè)置例題、分層次地設(shè)計課后練習(xí)，讓學(xué)生從教材中感受到韋達定理的歷史底蘊與價值．

3.3 對教學(xué)設(shè)計的啟示

表2 韋達定理教學(xué)的五個環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計

續(xù)表

3.4 對作業(yè)設(shè)計的啟示

在“雙減”的背景下，作業(yè)的設(shè)計更要體現(xiàn)診斷、鞏固、分析學(xué)情等功能，并鼓勵以分層、彈性和個性化的形式設(shè)計作業(yè)．新課標(biāo)對于韋達定理的教學(xué)要求是“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”[9]，因此，在韋達定理的作業(yè)設(shè)計環(huán)節(jié)更應(yīng)立足基礎(chǔ)、指向文化，使不同層次的學(xué)生都得到相應(yīng)的發(fā)展．為協(xié)調(diào)不同學(xué)生的知識基礎(chǔ)、思維模式以及學(xué)習(xí)能力存在的差異，教師可以設(shè)置分層、個性化、拓展性作業(yè)．例如，A層作業(yè)可以選擇課本中的習(xí)題，進行韋達定理的簡單應(yīng)用，加深對韋達定理的認識；B層作業(yè)可以選擇韋達定理深入應(yīng)用或涉及課堂數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)題，如求證一元三次方程的韋達定理等等；拓展性作業(yè)可以數(shù)學(xué)寫作為載體，涉及韋達定理的歷史、探索韋達定理的“美”、韋達定理的證明、韋達定理與求根公式的關(guān)系、設(shè)而不求的思想及應(yīng)用等主題，引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資料、圖書館等收集相關(guān)材料，形成自己的“一家之言”，同時也激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，為學(xué)生課外閱讀提供指導(dǎo)方向，并促使學(xué)生在閱讀整理中，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)、文化素養(yǎng)．

作業(yè)的設(shè)計與布置延伸了韋達定理的教學(xué)，讓學(xué)生在分層、個性化、拓展性作業(yè)中形成對韋達定理的多元化認識，使其教育價值真正在學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的道路上留下深深的“烙印”，成為他們未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)旅途中的“寶藏”．