數(shù)形結合思想在小學數(shù)學教學中的實踐運用

□江蘇省江陰市青陽實驗小學 吳曉燕

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結合思想作為小學數(shù)學思想中的一種，對數(shù)學教學有著至關重要的影響。文章詳細闡述了數(shù)形結合思想的相關內容，對支持這一思想教學的理論加以分析。同時，文章從小學數(shù)學教學實際情況出發(fā)，根據(jù)數(shù)形結合思想的主要內涵從“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結合”三個角度提出幾點教學建議，以供參考。

一、“數(shù)形結合”思想的相關界定

“數(shù)”“形”是數(shù)學研究的基本對象，當條件適宜時，“數(shù)”與“形”二者之間可以相互轉化，這種轉化被稱為“數(shù)形結合”?！皵?shù)形結合”思想基于數(shù)形結合衍生而來，是一種將抽象數(shù)量關系與直觀圖形結合起來分析問題的一種思想方法。這一思想的應用范圍極廣，可被用于解代數(shù)問題、幾何問題等多種問題?？傮w來說，數(shù)形結合思想的應用類型可被分為“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結合”三類。

二、小學數(shù)學數(shù)形結合思想應用教學原則

第一，思想應用教學內容要與小學數(shù)學教學內容契合。小學數(shù)學的教學重點在于啟蒙學生的數(shù)學觀念，使學生掌握基礎的數(shù)學知識和基本的數(shù)學技能，為日后的初、高中數(shù)學學習奠定基礎。教師應圍繞小學數(shù)學教學的某一問題或幾個問題進行思想教學，使學生能借助具體思想方法解決學習問題。

第二，思想應用教學要尊重學生的學習意愿。每一名小學生都是一個獨立的個體，其學習興趣、學習能力存在差異。針對不同學生的具體情況制定個性化的教學方案，通過因材施教的方法讓學生認識數(shù)形結合思想，繼而領悟這一思想，從而增強思想應用教學效果。

第三，思想應用教學要精簡。小學數(shù)學課堂教學時間短暫，且教學環(huán)節(jié)眾多，為了在課上完成基本教學內容，并充分鍛煉學生的綜合能力，教師應精簡思想教學內容。精簡內容并不意味著刪減內容，而是要求教師使用簡潔、凝練的語言指出思想教學的關鍵，幫助學生梳理問題解決思路，從而達到化難為簡的教學目的。

三、小學數(shù)學數(shù)形結合思想實踐應用策略

（一）把握“以形助數(shù)”，培養(yǎng)代數(shù)運算能力

數(shù)學代數(shù)問題較為抽象，部分學生在學習此類問題時存在理解困難的問題，影響代數(shù)教學效果。將數(shù)形結合思想應用到代數(shù)教學中，使用直觀的“形”表示抽象的“數(shù)”，使學生借助“形”理解數(shù)、感知數(shù)、計算數(shù)，從而提升其代數(shù)運算能力。

1.基本圖形導入教學，激發(fā)學生數(shù)感

研究發(fā)現(xiàn)，小學數(shù)學題目多以量的形式展現(xiàn)，其內容大多是量與量的關系。然而，量的教學過于抽象，學生接觸過多抽象的數(shù)字題目容易混淆所學知識，造成思維的混亂。對此，教師可采取“以形助數(shù)”教學方法，通過將抽象的數(shù)字、數(shù)量關系轉化為可直觀觀察的圖形，幫助學生理解數(shù)的意義、代數(shù)運算的意義，從而激發(fā)學生的數(shù)感。

以蘇教版二年級數(shù)學上冊“表內乘法”一課的教學為例，為了讓學生知道2、3、4 乘法口訣的來源，理解每句乘法口訣的意義，學會計算4 以內的兩個數(shù)相乘，教師使用基本圖形導入知識點，進行教學：教師手持兩顆小紅星，在黑板上粘貼兩顆小紅星，提出問題：一共有多少顆小紅星？學生回答：2+2=4，一共有4 顆小紅星。之后，教師在墻上粘貼兩顆小紅星，繼續(xù)提問：現(xiàn)在一共有多少顆小紅星？學生用數(shù)數(shù)、加法計算的方式給出回答：現(xiàn)在有6 顆小紅星。這時，教師從另一個角度切入進行提問：如果兩顆小紅星是一組紅星，那么現(xiàn)在有幾組紅星？一組紅星幾顆小星星？兩組呢？三組呢？借助圖形，讓學生理解 2×1=2、2×2=4、2×3=6 的意義，使其掌握的乘法計算。

上述案例，教師借助基礎圖形形象地展示抽象的數(shù)量關系，降低學生學習代數(shù)問題的難度，使學生真正理解代數(shù)運算的含義，掌握具體方法。

2.圖形模型繪制教學，發(fā)展轉化思維

應用題教學是小學代數(shù)教學的主要內容之一。由于應用習題涉及的知識點較多，學生必須耗費較多的時間、精力進行計算，才能解決此類題目。將以形助數(shù)思想應用到應用題教學中，指導學生轉換角度思考代數(shù)應用題，尋求簡便算法，從而提高學生的應用題求解效率。對此，教師可在課上指導學生繪制應用題模型，讓學生借助線段圖、實物圖等多種圖形快速解決復雜問題。

以蘇教版三年級數(shù)學上冊“間隔排列”的教學為例，問題如下：果園里一栽了一排楊樹共80 棵，每兩棵之間相隔2 米，第1 棵到第80 棵共有多少米？這道問題較為抽象，考查學生間隔排列的計算思維。為了讓學生更好地理解題意，確定正確的解題思路，教師繪制表示間隔問題的線段圖，并用彩色粉筆標注間隔、間距等關鍵信息。借助模型，教師提出問題，引導學生思考：第1 棵到第80 棵樹之間有多少個間隔？由于數(shù)量過于龐大，學生一時間計算不出來，這時教師可給出簡單數(shù)學模型，如第1 棵到第4 棵樹、第1 棵到第5 棵樹模型等，讓其找到計算間隔的規(guī)律，并列式79×2=158，得出問題答案。之后，教師組織學生總結、反思解題過程，使學生意識到線段模型的優(yōu)勢，學會用模型轉化的思維看待數(shù)學問題。

上述案例，教師在應用題教學過程中引入線段模型，借助線段模型簡化復雜應用題，使學生厘清計算思路，久而久之提升學生的計算思維水平。

（二）把握“以數(shù)解形”，培養(yǎng)幾何分析能力

1.數(shù)字信息解析圖形，增強抽象意識

隨著教學工作的展開，小學數(shù)學幾何教學內容的難度逐步提高，幾何問題與代數(shù)問題的聯(lián)系也愈發(fā)緊密。教學過程中，部分學生由于缺乏空間意識、空間觀念在學習幾何知識時出現(xiàn)問題，導致對基本知識點掌握不牢固，無法應用所學知識解決復雜幾何問題。教師可將“以數(shù)解形”思想方法應用到教學中，通過代數(shù)的方式將立體幾何問題轉變?yōu)槠矫鎲栴}、代數(shù)問題，以此解決學生空間思維能力不足的問題。同時，教師還可指導學生將數(shù)字信息代入圖形中，通過數(shù)字解析的方法加強學生對幾何圖形的認識，從而增強其空間觀念。

以蘇教版四年級數(shù)學下冊“三角形、平行四邊形和梯形”一課的教學為例，為了讓學生理解多邊形的內角與邊數(shù)之間的關系，使學生在比較、歸納多邊形時形成良好的空間觀念，教師應用數(shù)形結合思想進行教學。教師給每組學生發(fā)放提前準備的四邊形，提出問題：你手中的四邊形四個內角的和是多少？讓學生使用量角器測量角的度數(shù)，得到四邊形內角和為360°的結果。之后，教師發(fā)放五邊形、六邊形、七邊形，提出同樣的問題，讓學生進行測量、讀數(shù)、記錄操作，得到五邊形內角和為 540°、720°、900°的結果。結合測量、計算的數(shù)據(jù)信息，教師組織學生討論：從這些測量結果中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？多邊形內角和有哪些簡便計算方法？通過組織討論，讓學生將數(shù)字信息與幾何信息串聯(lián)起來，得出邊形內角和=（邊長-2）×180°的規(guī)律，加強學生對以數(shù)解形的感悟。

上述案例，教師借助數(shù)字信息讓學生挖掘幾何圖形中蘊藏的數(shù)學關系，使學生在對比分析數(shù)字信息的過程中找到數(shù)學規(guī)律，從而增強其抽象能力。

2.公式定理對照結構，發(fā)展邏輯思維

小學幾何教學內容同樣涉及計算公式、計算定理?！耙詳?shù)解形”思想方法對解決學生幾何學習淺層學習問題有重要幫助。教師可在教學過程中指導學生拼、剪、裁圖形，并讓學生將圖形的尺寸標記在具體位置上，讓學生在實際操作、計算過程中理解幾何公式。以蘇教版五年級數(shù)學上冊“多邊形的面積”一課教學為例，教學平行四邊形的面積相關知識時，為了讓學生充分理解S平行四邊形= 底 × 高這一幾何面積計算公式，教師組織數(shù)學實驗：學生以小組為單位，準備同樣大小的多個平行四邊形、剪刀、刻度尺、記錄表等工具，讓學生使用剪、裁、拼、接的方式實驗探究平行四邊形的面積。實驗中，學生使用刻度尺量出平行四邊形的底邊長、斜邊長、高，并將數(shù)據(jù)標注在圖形上，之后嘗試不同方法求圖形面積。比如，有學生將平行四邊形剪成一個長方形、兩個全等三角形，并使用刻度尺測量長方形的長、寬，測量三角形的底、高，結合數(shù)據(jù)求出面積記錄在表格中；有學生使用剪刀將平行四邊形一側的三角形剪下，通過拼接的方式拼到另一側，使平行四邊形變成一個大長方形，接著測量大長方形的長和寬，得到圖形面積。之后，教師展示公式S平行四邊形= 底 × 高，讓學生對照實驗數(shù)據(jù)、公式計算結果探究平行四邊形面積的計算定理，使學生在以數(shù)解形的過程中形成嚴密的邏輯。

上述案例，教師從以數(shù)解形的角度出發(fā)組織數(shù)學實驗，讓學生在實驗過程中得到豐富的數(shù)學數(shù)據(jù)，并根據(jù)數(shù)據(jù)反思幾何公式、幾何定理，使學生在實驗中提升邏輯推理能力。

（三）把握“數(shù)形結合”，培養(yǎng)數(shù)學綜合素養(yǎng)

“數(shù)”與“形”的互變在小學數(shù)學教學內容中有較多體現(xiàn)。在講解重難點、講解復雜習題時，教師可將“數(shù)形結合”思想應用到教學中，讓學生在學習過程中找出“數(shù)”與“形”之間的互化關聯(lián)，學會見“形”聯(lián)想“數(shù)”，見“數(shù)”聯(lián)想“形”。

1.“數(shù)形結合”攻克難點，發(fā)展深度思維

小學數(shù)學教學中不乏難以理解的復雜知識點。教學時，教師不僅要對知識點的概念、含義進行講解，還要引導學生向知識的更深處探索，使其挖掘數(shù)學知識點的本質，加速學生對知識的內化與吸收。數(shù)形結合思想的應用有助于化簡復雜問題，使學生借助直觀的幾何圖示形象化問題，從而提高學生的學習效率。教師要在適宜的情況下應用數(shù)形結合思想，指導學生攻克疑難點，深化學生的理性思維。

以蘇教版六年級數(shù)學上冊“分數(shù)除法”一課的教學為例，本課的教學難點包括讓學生學會分析題目中的數(shù)量關系、明確分數(shù)除法的原理、掌握分數(shù)除以整數(shù)的計算方法。針對重點，教師提出導入問題：打字員打一份文件，打了20 分鐘后還剩，平均每分鐘打這份文件的幾分之幾？初讀這一題目時，學生被題目中復雜的數(shù)量關系繞暈，無法正確列式解答。這時，教師板書圖形，將全部文件看作“1”，繪制出一個大長方形，根據(jù)題意將長方形平均分成5 份，將還剩文件部分使用藍色粉筆繪制陰影，剩余的長方形代表已打完文件數(shù)量。接著，教師再使用粉色彩筆將的長方形平均分為20 份，每一份粉色陰影部分的小長方形是大長方形的通過使用不同顏色粉筆對圖形的不同部分做出標記，使復雜的數(shù)學問題直觀起來。這時，教師再讓學生結合圖形思考原問題，使學生列出算式，并結合圖形將算式轉化為，從中悟出分數(shù)除法的計算原理。在此基礎上，教師再展開變式教學，讓學生使用數(shù)形結合的思想方法解決類似問題，從而加強學生對分數(shù)除法原理的理解。

教學重難點時，教師可先提出典型問題，并畫圖幫助學生理解問題中不同數(shù)量關系的含義。接著，讓學生依照圖形內容列式、計算，使學生在觀圖過程中理解代數(shù)運算的原理，從而深化其學習思維。

2.“數(shù)形結合”組織探究，發(fā)展探究思維

助力學生思維發(fā)展是目前小學數(shù)學教學的重點。教學過程中，教師要一改過去教學思想，認識到培養(yǎng)學生學習主動性的必要性，在合適的情況下組織探究教學活動，使學生的自主思考、合作探究思維得以發(fā)展。此過程中，教師要將“數(shù)形結合”思想良好融入，使學生在探究學習過程中總結出數(shù)化形、形化數(shù)的學習方法，為學生的思維進階奠定良好基礎。

以蘇教版六年級數(shù)學下冊“圓柱和圓錐”一課的教學為例，教師組織探究活動：超市里有一圓柱體的薯片，已知圓柱體的底面直徑長度為11cm，圓柱體的高為15cm，圓柱體外貼有某品牌的包裝紙，求出薯片外包裝紙的面積。這一問題是典型的求立體幾何表面積的問題，讓學生自主思考、合作探究這一問題答案，可激發(fā)學生“數(shù)形結合”思想的應用潛力，使其學會從變換的角度出發(fā)思考數(shù)學問題，使學生思考問題的方式更加靈活。探究過程中，有學生使用卡紙模擬出薯片盒的形狀，其他學生則按照題意在練習本上繪制出圓柱體的圖形，并將圖形的三視圖繪制在一旁。通過將數(shù)轉化為形，學生發(fā)現(xiàn)圓柱體表面積的計算問題可被轉化為長方形表面積、圓形表面積計算問題。根據(jù)這一思路，學生分別列式S長方形= 11π × 15 ≈ 518cm2、S= π × 5.52≈ 95cm2、518 + 95 = 613cm2，探 究 出 問題答案。探究過程中，學生充分應用了“數(shù)形結合”的思想方法，確定了清晰的解題思路。

上述案例，教師在課上組織學生探究活動，出示數(shù)學案例讓學生探究問題答案。此過程中，教師點撥學生應用“以數(shù)助形”“以形助數(shù)”的思想方法簡化探究過程，使學生學會使用簡單方法完成對問題的深度探究。

四、結語

綜上所述，在小學數(shù)學教學過程中應用數(shù)形結合思想，對培養(yǎng)學生的數(shù)感、抽象思維、空間意識、綜合能力有著重要意義。教師要認識到數(shù)形結合思想教學的必要性，結合相關理論設計科學、合理的思想教學方案，確保學生能在學習過程中了解數(shù)形結合思想，同時學會使用這一思想解決數(shù)學疑難問題。