指向深度學習的高三復習課教學與啟示
——以2021年新高考全國I卷解析幾何為例

王思儉 (江蘇省蘇州中學 215007)

1 問題提出

高考命題已經從能力立意轉到素養(yǎng)導向[1]，素養(yǎng)導向的高考命題引導中學教師尊重學生學習的主體地位，激發(fā)學生學習的主觀能動性，養(yǎng)成學生良好的深度學習習慣，達到終身學習的目標．目前不少高三課堂教學并不是以發(fā)展學生的思維能力為主，往往集中于教學生如何能夠快捷、有效地解題，教師只是重視題海訓練，讓學生機械模仿刷題，靠學生自己去“悟”，卻完全不在意學生是否實現了應有的理解，從而也就必然會造成“機械學習”的盛行.這對學生未來的數學學習產生嚴重的消極影響，降低了教學“促進學生發(fā)展”的教育功能．

高三復習課要根據學生的需求選取合適的經典問題進行合理設計，這樣做不僅有利于打通各章節(jié)知識的聯結，還能滲透思想方法，提升學生深度學習的能力和數學思維品質．因此，加強“深度學習”的研究，把握課程育人的核心，提高數學課堂的效率，是亟待解決的問題．筆者受教師教研網的邀請，于2022年3月6日以《一道高考題的深度探究》為題給全國部分優(yōu)秀骨干教師和徐州市高三數學教師開設了一節(jié)研究課(騰訊會議課堂)，旨在探求激發(fā)學生深度學習的教學方式．

2 基于深度學習的高三二輪復習教學設計

2.1 學情分析

本節(jié)課的授課對象是本校與中國科學技術大學聯辦的少年預備班高三學生，原有31位學生，2021年被中國科學技術大學少年學院提前錄取8位，2022年2月被清華大學丘成桐女子數學競賽錄取一名，被北京大學數學精英班和物理精英班各錄取一名．該班數學學業(yè)成績位列蘇州大市前3名，學生的學習熱情很高，思維活躍，創(chuàng)新思維能力強，解決問題的思路較多，但表述不嚴謹．

2.2 教學設計理念以及教學過程

·設計理念

哈爾莫斯認為問題是數學的心臟[2]，是科學探索的出發(fā)點和動力．在數學課堂教學中，沒有經典問題的設計就沒有學生的思維活動，有了經典問題，學生的好奇心才能被激發(fā)，思維才能被啟動．學生正是帶著對這一經典問題的不斷思考與挖掘，在生生、師生的不斷對話與交流的過程中，完成數學學習內容各自特征及其相互關系的整體把握.正是因為有了經典問題的設計，課堂才得以向著一個全新的方面逐層展開，才能逐步引導學生真正成為深度學習的主人．

本次教學設計的路線圖如圖1，以此構成了一個典型的“深度學習”的探究學習過程．

·教學目標

(1)通過一道典型高考真題的探究，學會觀察問題、發(fā)現問題、提出問題，培養(yǎng)數據分析、數學抽象等素養(yǎng)；(2)滲透數學思想方法，增強數學活動經驗，會用數學思維去分析問題并解決問題，強化數學研討交流的意識，提升數學運算、數學模型素養(yǎng)；(3)經歷代數、幾何視角探究直線與圓錐曲線綜合性問題的過程，體驗其中的數學思想，會用數學語言描述事件，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)．

2.3 教學過程

·解析經典，促進學生的深度聯系

對于高考真題，教師要舍得花時間去探究，并結合學生提出的“念頭”，根據學情，精心設計開展課堂教學，這樣的課堂才會有精彩的綻放．為此，筆者設計了以下高考真題的教學．

設計意圖經典的問題是深度學習的起點，能激發(fā)學生的數學思維，喚起學生對數學的好奇心，引起學生的共鳴．通過經典高考真題把基本曲線的方程與代數、三角、參數等知識、方法聯結起來，讓學生融會貫通，靈活遷移，從而提高數學解題能力．

(過程略，答案：0)

師：你們給出兩種不同解法，從一題多解中學會將知識進行有機融合，這樣可以促進深度學習．參考蘇教版《高中數學·選擇性必修一》第92頁練習第1題：“在△ABC中，BC的長為2，|AB-AC|=1，試確定點A在怎樣的曲線上運動.”立足雙曲線定義，寫出點A的軌跡方程，于是改寫定義中的相關數據即得第(1)小題．結合人教A版選修4-4(2017年版)第38頁例4：“已知AB,CD是中心為O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角(銳角)相等，求證：PA·PB=PC·PD.”將“橢圓內的交點P”改為“曲線外一點T”，再將“結論”改為“已知條件”，這時發(fā)現四個交點共圓，聯想到圓的相交弦定理，于是進行逆向思維，便可得到高考真題．

設計意圖分析高考真題的源頭和命題思路，領悟真題所蘊含的數學思想方法的精髓．

·類比聯想，促進學生的深度遷移

問題引領是深度學習的起點[3]15．因此，它所關注的已不只是教師如何發(fā)揮應有的主導作用，也直接關系到了如何很好地調動學生的學習積極性.教師要鼓勵學生大膽進行類比聯想，提出新的問題，從而切實體現他們在數學活動中的主體地位，只有這樣，學生才能積極地參與課堂教學，進行深度學習．鑒于此，筆者設計以下問題：

師：你們能發(fā)現新問題嗎？

(學生展開熱烈討論，提出很多問題并逐一 解決)

問題3已知拋物線C:y2=2x，設點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交拋物線C于A,B兩點和P,Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．

師：很好！你們不僅研究逆命題，而且將問題延拓到橢圓和拋物線中了，后一個問題的點T不是在具體的直線上，具有一般性，并且給出了詳細的求解過程，你們還有什么發(fā)現？

設計意圖重現經典問題往往會產生連鎖效應，會引導出一系列新的、富有強烈吸引力的問題結論，讓學生的數學思維走向深入、走向深刻，實現深度學習．

問題4已知拋物線E:y2=2x，過點T(1,2)、傾斜角互補的兩直線l1和l2與曲線E分別交于A,B兩點與C,D兩點，并組成四邊形ABCD，求證：直線AC的斜率與直線的BD的斜率之和為0．

問題5已知拋物線E:y2=2x內接四邊形ABCD，直線AC的傾斜角與直線BD的傾斜角互補，求證：直線AB的斜率與直線CD的斜率之和為0．

師：很好！求解過程中要先考慮直線AB和CD的斜率不存在的情況，然后再設直線方程求解．大家繼續(xù)探索，能否再發(fā)現新的問題？

師：你們在圓錐曲線中探究了內接四邊形的對邊傾斜角與對角線傾斜角之間的關系．

設計意圖通過恰當的設問、追問、反問、辯駁，引導學生更加深入地進行思考和探究．

·抽象概括，促進學生的深度理解

深度學習的主要含義是：數學學習必須超越具體的知識技能，深入到思維層面，由具體的數學方法和策略過渡到一般的思維策略與思維品質的提升．我們利用“方法論指導下的數學教學”[3]177-178，幫助學生學會自主學習，啟迪思維．在教學中，我們如何能夠處理好“問題引領、學法指導”與“層層推進，逐步深入”之間的關系，更好地發(fā)揮習題、高考題的育人功能，這就需要教師做好“整體設計的開放性”．鑒于此，筆者設計了如下問題．

師：同學們，討論圓錐曲線內接四邊形的對邊與對角線傾斜角之間的關系后，你們能否概括出一般結論？

問題8已知拋物線C:y2=2px(p≠0)，設點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，求證：TA·TB=TP·TQ的充要條件是直線AB與PQ的傾斜角互補．

問題9已知有心二次曲線C:ax2+by2=r2(a>0，r>0，a≠b，b≠0)，設點T不在曲線C上，過點T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點，求證：TA·TB=TP·TQ的充要條件是直線AB與PQ的傾斜角互補．

問題10若曲線mx2+ny2=1(mn≠0,m≠n)(或C:y2=2px(p≠0))有內接四邊形ABCD，則其一組對邊傾斜角互補的充要條件是對角線的傾斜角互補．

設計意圖用好的問題引發(fā)學生養(yǎng)成良好的數學學習習慣，培養(yǎng)學生的抽象概括能力．

師：我們已經探究了點T在曲線外的一些重要結論，大家總結概括得很好！從特殊到一般的思維方法是眾多科學發(fā)現的重要途徑，因此你們在日常學習中要靈活運用．同學們還有什么“新 發(fā)現”？

當聽到學生在議論“還有點在曲線上沒有討論”“內接四邊形退化為內接三角形”時，筆者設計了如下問題：

師：已知過拋物線C:y2=4x上點T(1,2)作傾斜角互補的兩條直線l1,l2，與拋物線C交于點A,B，試探究直線AB的斜率是否為定值？能推廣嗎？

設計意圖根據學生的質疑，教師給出問題，激發(fā)學生深邃的數學思考，發(fā)展學生的空間想象能力．

師：很好！有心二次曲線的運算量較大，稍有不慎就會出現差錯，因此對數學運算能力應該加強訓練．

此時又聽到“給出定斜率可以研究定點T一定在曲線上嗎？”，為此，筆者又設計如下問題：

師：已知拋物線C:y2=4x和定點T，斜率為1的直線l與拋物線C交于點A,B，若直線TA,TB的傾斜角互補，求點T的坐標．你們能推廣嗎？

設計意圖在學生已經沒有問題的時候，提出一個有訓練價值、有思維含量，且能夠有效促進學生深度學習的數學問題，應成為我們的重要教學任務．

師：非常棒！你們經過共同努力探索了過點T的兩條直線與曲線相交時，點T在曲線外或點T在曲線上，兩直線傾斜角互補的充要條件．探索過程中充分展示出你們堅強的意志和銳意進取的精神．

3 教學啟示

教師要積極幫助學生從在教師指導下進行學習，逐步轉變?yōu)楠毩⑺伎?、自主學習，包括善于進行同學之間的合作與互動性學習、師生之間的交流性學習，使學生真正成為學習的主人，成為全面而有個性的社會主義建設人才．

3.1 典例引入促進學生主動參與

波利亞曾說過：“令人討厭的藝術就是把什么都說出來”[4]116，新課標提倡自主探究和創(chuàng)造性學習，這正是深度學習的具體要求．這就要求教師要尊重學生的主體性，提供充分的思考空間，讓學生主動參與到教學中來，在積極主動的探究過程中表達自己的想法，修正自己的發(fā)現，完善自己的知識結構．如筆者設計“一課一題高考真題探究”，這樣激發(fā)學生積極思考，積極提出自己的解法.其中參數方程法最簡潔，這種解法突出參數法的優(yōu)勢，既培養(yǎng)了學生的解題能力，又培養(yǎng)了學生的數學思維習慣，使已有的知識和方法具有更大的遷移性．再如學生自覺探究其逆命題是否成立，靈活類比到橢圓、拋物線中的相關結論，等等．因此，要引導學生牢固地樹立終身學習的思想，并切實提高自身學習的能力，知識寬廣、知道更多，頻繁更新知識，并運用它創(chuàng)造性地解決新問題，而不僅僅是完成一道道常規(guī)習題的演練．如此的中學數學教學讓學生積極主動參與到課堂中來，教師不再是課堂的主宰，也不是扮演知識的絕對擁有者，而是學生自主學習和深度學習的策劃者、交流的組織者、討論的引導者、結果的欣賞者．

3.2 探究過程促進學生智力參與

中學數學課堂教學的首要目的是教會學生思考[4]129，特別要重視長時間的思考與反思，不要輕易放棄每個“念頭”，可以更換角度去思考問題，往往會頓悟出解決問題的新思路．學會反思解決問題過程中在哪里遇到了障礙？如何逾越？目前還缺少什么知識和方法？等等．

要使學生全身心參與到課堂教學中來，必須要有高質量的問題．“沒有好的問題，就無法誘發(fā)深入的數學思維，深度學習就不可能真正發(fā)生．”[3]179-180筆者選擇了經典高考真題，誘發(fā)學生深度探究，從雙曲線類比到橢圓、拋物線中的相關結論，同時也探究了“如果兩條直線的傾斜角互補，則線段之積相等、所產生的四邊形的兩條對角線斜率之和為0”，又引導學生繼續(xù)探究各個問題的逆命題是否成立、抽象概括一般結論．在即將沒有問題探究的瞬間，教師加重語氣道：“已經討論了點T在曲線外的情況．”再一次誘發(fā)學生深度思考深度參與，提出新問題，探究點T在曲線上、兩條弦的傾斜角互補時，相應終點連線的結論，也探究其逆命題，繼而概括出一般結論．一個又一個問題逐漸被學生們引出來，學生的數學思維也就趨向深刻．

3.3 相互評價促進學生合作參與

探索是數學的生命線．[5]隨著教學環(huán)節(jié)的開展，課堂由“教師獨角戲”轉變?yōu)椤皩W生提出問題、合作探究”．如“曲線上斜率為定值的弦端點與某一定點連線的傾斜角互補時，定點在何處？”，教師鼓勵學生合作探究，相互評價，先由具體問題探究求解思路，然后再推廣到一般情況，讓學生分組討論并交流自己探究過程中所遇到的困惑，分享自己的探究成果．再如，在推廣到一般情況時，學生運算出現錯誤，此時，同學之間相互交流、尋找錯誤原因，最后得到圓滿解決．教師要為學生搭建深度合作交流的平臺，在討論交流中，學生對數學思想方法的理解逐步趨向正確、完整和成熟，對數學的認識、體驗也越來越豐富、深刻，對數學的價值、情感逐漸趨向深刻、濃厚．讓學生清楚地認識到合作的重要性，相互借鑒，取長補短，完善自身的認知結構．由此可見，教師必須精心設置問題情境，才能引發(fā)交流思辨、促進深度學習、發(fā)展核心素養(yǎng)、打造高效課堂.