CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型及其在國際原油價格預(yù)測中的應(yīng)用

趙 興 王星惠 楊夢夢

(安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化進(jìn)程不斷加速，國際原油期貨市場的風(fēng)險逐步加大，一些極端的情況時有發(fā)生。近年來，國際原油價格震蕩頻繁，新冠疫情暴發(fā)導(dǎo)致國際原油價格暴跌為負(fù)數(shù)。國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展需要原油作為支撐，我國經(jīng)濟(jì)處于上升期，能夠準(zhǔn)確把握國際原油價格波動對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定發(fā)展有重要意義。

1 文獻(xiàn)綜述

許多學(xué)者對原油價格的預(yù)測研究通常使用ARIMA模型與GARCH模型等計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。如丁靜之，閔騏等[1]156-159使用ARIMA模型直接對原油價格預(yù)測；魏蓉蓉、葉圣偉[2]68-69用ARIMA模型對原油價格的波動進(jìn)行了分析；姚小劍和吳文潔[3]1-4使用GARCH族模型分析了原油價格波動特征。近年來，LSTM(長短期記憶網(wǎng)絡(luò))、SVR(支持向量回歸)和KNN(最鄰近規(guī)則分類)等機器學(xué)習(xí)的方法也都被廣泛地運用在原油價格的預(yù)測上，如潘少偉、李輝等[4]180-185使用LSTM模型對原油價格進(jìn)行了預(yù)測；慕曉茜、何佳等[5]4585-4589使用SVR模型對原油期貨價格進(jìn)行了短期預(yù)測；楚新元、盧愛珍等[6]15-22等使用KNN模型對原油價格進(jìn)行了研究。然而，各種模型都有一定的局限性，直接對原始序列應(yīng)用某種單一的預(yù)測模型時，所得到的預(yù)測結(jié)果都會存在改良空間。因此，近些年來越來越多的學(xué)者將組合模型的預(yù)測方法應(yīng)用到該領(lǐng)域。如許南、廖施煜等[7]234-236使用混合型PSO-BP模型對原油期貨價格進(jìn)行了預(yù)測；曹新悅、賀春林等[8]418-425使用X12-ARIMA和LSTM組合模型對城市蔬菜價格波動規(guī)律進(jìn)行了研究。然而，組合模型雖然較好地將各模型的優(yōu)缺點進(jìn)行了中和，但直接將模型應(yīng)用于原始序列的分析方法仍然不能完全提取原始序列中的特征，而經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法則可以在一定程度上解決這個問題。如楊云飛、鮑玉昆等[9]1884-1889使用EMD-SVMs的組合模型對原油價格進(jìn)行了預(yù)測；姚洪剛和沐年國[10]239-244使用EMD-LSTM模型對金融時間序列進(jìn)行了分析；Wu Y X，Wu Q B[11]114-124等使用EEMD-LSTM的組合模型對原油價格進(jìn)行了預(yù)測；李政毓[12]1-67使用EEMD-ARIMA-LSTM組合模型對原油價格進(jìn)行了預(yù)測；崔金鑫和鄒輝文[13]28-39使用CEEMDAN-PSO-ELM模型對原油期貨價格進(jìn)行了預(yù)測；邸浩、趙學(xué)軍等[14]72-76將EEMD模型和LSTM-Adaboost模型結(jié)合對商品價格進(jìn)行了預(yù)測。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法是先將原始序列進(jìn)行分解后再進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果再進(jìn)行加和重構(gòu)，有效提高了模型預(yù)測的效率，也是近年來預(yù)測研究的熱點之一。

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)模型由Huang,Shen等[15]903-995創(chuàng)造性地提出，可以將原始信號分解為不同頻率的若干個模態(tài)分量(IMF)和殘差分量(即趨勢項)。EMD模型的特點在于可以完全按照自身的特征對原始序列進(jìn)行分解，具有自適應(yīng)性。然而，EMD模型卻有著容易出現(xiàn)模態(tài)混淆的缺點。Wu，Huang[16]1-41提出了集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EEMD)模型，有效解決了模態(tài)混淆的問題。通過向原始序列添加噪聲來避免模態(tài)混淆的發(fā)生，但因為存在噪聲殘余導(dǎo)致重構(gòu)誤差的問題。在預(yù)測過程中，模態(tài)分解的重構(gòu)誤差會影響最終的預(yù)測結(jié)果。María,Marcelo等[17]4144-4147提出的適應(yīng)白噪聲的完全集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)模型則可以在模態(tài)分量不含殘余噪聲的同時避免模態(tài)混淆的發(fā)生，有效地解決了上述的兩個問題。因此，CEEMDAN模型在重構(gòu)預(yù)測的過程中顯現(xiàn)出一定優(yōu)勢。

本文基于原油價格預(yù)測，期間引入了CEEMDAN模型，使用CEEMDAN模型將原始序列分解為不同頻率的模態(tài)分量和殘差分量，再用ARIMA模型分別對各個分量和趨勢項進(jìn)行擬合預(yù)測并在最后加和重構(gòu)。由于分解所得的高頻分量波動非常頻繁，ARIMA模型并不能很好地捕捉其特征，因而可以使用GARCH模型對高頻分量的擬合殘差平方序列進(jìn)行進(jìn)一步擬合，即用GARCH模型對殘差的預(yù)測值來對高頻分量的ARIMA預(yù)測值進(jìn)行修正。因此，建立了CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型。在CEEMDAN-ARIMA模型基礎(chǔ)之上，提出了對高頻分量有必要檢驗其殘差序列是否具有ARCH效應(yīng)的原則，使用ARIMA-GARCH模型將分量中所含的信息盡可能提取出來，實現(xiàn)更好的預(yù)測效果。

2 模型介紹

2.1 模型設(shè)定

2.1.1 EMD分解原理

EMD模型又稱經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，是由Huang,Shen等[15]903-905提出的一種根據(jù)時間序列的局部時變特征，將序列分解為若干個模態(tài)分量(IMF)和殘差分量(即趨勢項)的模型。所獲得的IMF需要滿足以下2個基本原則：任意IMF的極值點與零點的個數(shù)之差小于等于1；任意IMF的局部極大值和局部極小值的包絡(luò)線之和均值為0。

EMD分解步驟如下：

第一步，三次樣條插值法對原始序列x(t)中所有的局部極大值和極小值進(jìn)行擬合，形成上下包絡(luò)線，記做u(t)與i(t)；

第二步，計算上下包絡(luò)線u(t)與i(t)的均值o(t)，見(1)式：

(1)

第三步，將原序列x(t)與o(t)相減得到新序列p(t)，見(2)式：

p(t)=x(t)-o(t)

(2)

第四步，若p(t)滿足IMF的2個基本條件，則將p(t)作為EMD分解的第一個模態(tài)分量IMF1；若p(t)不滿足IMF的2個基本條件，則將p(t)定義為原序列，重復(fù)第一至第三步直到其滿足IMF的基本條件，得到第一個模態(tài)分量IMF1；

第五步，將原始序列x(t)減去IMF1，得到r1(t)，見(3)式：

r1(t)=x(t)-IMF1

(3)

第六步，將r1(t)作為下一個要分解的原始序列，重復(fù)第一至第五步，直至得到殘余分量rn(t)小于預(yù)先設(shè)定值，或為單調(diào)函數(shù)、常數(shù)時，分解完畢。在分解完成之后，原始序列x(t)見(4)式：

(4)

然而EMD模型在實際的應(yīng)用過程中會有模態(tài)混淆的情況發(fā)生。下文中的EEMD模型則可以解決模態(tài)混淆的問題。

2.1.2 EEMD模型分解原理

EEMD模型又稱集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，由Wu和Huang[16]1-41提出，利用多重白噪聲均值為0的特點，通過加入白噪聲的原始序列進(jìn)行EMD分解，再將得到的模態(tài)分量取均值以達(dá)到控制噪聲對分解結(jié)果的影響。

EEMD分解步驟如下：

第一步，預(yù)先確定添加白噪聲次數(shù)Nε和白噪聲振幅系數(shù)ε；

第二步，在原始序列x(t)中加入白噪聲序列，得到Nε個染噪序列見(5)式：

xj(t)=x(t)+εnj(t)

(5)

其中nj(t)為第j次添加的白噪聲序列，xj(t)表示第j個染噪序列；

第三步，對得到的染噪序列進(jìn)行EMD分解，得到Nε組模態(tài)分量IMFij，和Nε個殘余分量rj(t)；

第四步，對第三步中獲得的Nε組模態(tài)分量中的第i個分量和Nε個殘余分量分別進(jìn)行平均，見(6)、(7)式:

(6)

(7)

第五步，最終分解結(jié)果x(t)見(8)式:

(8)

在EEMD模型中，雖然解決了EMD模型的模態(tài)混淆的問題，但其分解所得到的各個模態(tài)分量卻會存在殘留的噪聲，進(jìn)而帶來重構(gòu)誤差的問題，會在一定程度上影響最終的分析結(jié)果。

2.1.3 CEEMDAN模型

CEEMDAN模型又稱具有自適應(yīng)白噪聲的完全集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，由María,Marcelo等[17]4144-4147提出，是EEMD模型的改進(jìn)版算法，該模型在解決模態(tài)混淆問題的同時還解決了噪聲殘余的問題。分解步驟如下。

第一步，預(yù)先確定添加白噪聲次數(shù)Nε和第i次添加的白噪聲振幅系數(shù)εi；

第二步，在原始序列x(t)中加入白噪聲序列，得到Nε個染噪序列，見(9)式：

xj(t)=x(t)+ε1nj(t)

(9)

其中nj(t)為向原始序列中添加的第j個白噪聲序列，xj(t)表示第j個染噪序列；

第三步，對得到的Nε個染噪序列進(jìn)行EMD分解，將得到的Nε個第1個IMF分量加總平均即為CEEMDAN分解的第一個分量cIMF1，見(10)式：

(10)

第四步，進(jìn)一步得到殘余分量r1(t)=x(t)-cIMF1，將r1(t)當(dāng)作x(t)重復(fù)第二至第三步直至殘余分量rn(t)不能進(jìn)行EMD分解而得到n個模態(tài)分量cIMFi；

第五步，最終分解結(jié)果x(t)見(11)式

(11)

2.1.4 ARIMA模型

ARIMA模型全稱為回歸移動平均模型[18]94，是一種在時間序列預(yù)測中較為常見的模型。ARIMA模型有三種基本類型：自回歸(AR)模型、移動平均模型(MA)、自回歸移動平均模型(ARMA)，見(12)式：

xt=φ0+φ1xt-1+φ2xt-2+…+φpxt-p+at+θ1at-1+θ2at-2+…+θqat-q

(12)

其中at為殘差序列，p表示自回歸項數(shù)，q表示移動平均項數(shù)，φ0,φ1,φ2,…,φp表示需要估計的自回歸系數(shù)，θ0,θ1,θ2,…,θp表示需要估計的移動平均系數(shù)。當(dāng)q=0或p=0時，其可轉(zhuǎn)化為AR模型或MA模型。由于ARMA模型只能處理過程平穩(wěn)的時間序列，因此，如果要分析非平穩(wěn)的時間序列，則需要對原始序列進(jìn)行d次差分，將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，然后再用ARMA模型進(jìn)行分析。

2.1.5 GARCH模型

GARCH模型全稱為廣義自回歸條件異方差模型，由Bollerslev[19]307-327在ARCH模型的基礎(chǔ)上提出。在ARCH的模型的基礎(chǔ)上，將滯后階段引入條件方差，得到廣義ARCH模型，見(13)式。

(13)

2.1.6 CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型

ARIMA-GARCH模型即在用ARIMA模型對原始序列進(jìn)行擬合建模后，將得到的殘差序列進(jìn)行ARCH效應(yīng)檢驗，若存在ARCH效應(yīng)，則再用GARCH模型對其進(jìn)行擬合，盡可能提取出殘差序列中的殘余信息，將其預(yù)測結(jié)果用于對ARIMA的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，見(14)式。

(14)

文中涉及的記號與術(shù)語可參見[1,10-11]。若X是拓?fù)淇臻g,F?X,F在X中的閉包記為clF,在涉及多個空間時,為區(qū)分起見也記作clXF?？臻gX的全體開集與全體閉集分別記為Ο(x)與Γ(x)。

進(jìn)一步，根據(jù)模態(tài)分量的實際情況將ARIMA-GARCH模型或ARIMA模型應(yīng)用于CEEMDAN模型分解所得的高頻分量與低頻分量進(jìn)行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果加和得到最終的預(yù)測值，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型的預(yù)測流程見圖1。

圖1 CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型的預(yù)測流程

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

為更加準(zhǔn)確地分析國際原油價格波動的特征并進(jìn)行預(yù)測，本文選擇使用WTI原油期貨價格作為分析對象。WTI原油期貨在保持其價格高度透明的同時還有著優(yōu)良的流動性，是世界原油市場上的三大基準(zhǔn)價格之一。所有與美國有貿(mào)易往來的原油產(chǎn)品在計價時都以WTI的價格作為基準(zhǔn)。

本文選取2020年8月26日至2021年8月25日的WTI原油收盤價作為原始數(shù)據(jù)。由上述模型介紹可知，CEEMDAN模型對原始序列的數(shù)據(jù)并沒有特殊的要求，而ARIMA模型則要求數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性。然而，僅僅是原始數(shù)據(jù)本身具有平穩(wěn)性是不夠的，為了使CEEMDAN模型分解所得的IMF分量可以擬合ARIMA模型，還要求原始數(shù)據(jù)通過CEEMDAN分解所得的IMF分量也具有平穩(wěn)性。若存在部分分量不符合平穩(wěn)性要求，則進(jìn)行相應(yīng)的平穩(wěn)性轉(zhuǎn)換。因此，本文使用ADF檢驗對WTI原油收盤價及其IMF分量進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，各序列的平穩(wěn)性檢驗結(jié)果見表1。

表1 各序列的平穩(wěn)性檢驗結(jié)果

由表1檢驗結(jié)果可知，選用的WTI原油收盤價的數(shù)據(jù)從特征上是適合本文模型的。在預(yù)測方法上，選取滾動預(yù)測的方法，文中使用的原始數(shù)據(jù)共有262個樣本單位，選擇將前232個樣本單位(2020年8月26日至2021年7月13日)作為初始樣本。初始樣本中數(shù)據(jù)在原始數(shù)據(jù)中的占比超過了85%，可以為模型提供足夠的先驗信息，很好地擬合原始序列的特征。在此基礎(chǔ)上，將用初始樣本模擬的模型向前預(yù)測一步，得到2021年7月13日的預(yù)測值，之后再將2021年7月13日的真實值加入初始樣本重新擬合模型，重復(fù)以上步驟直至得到了2021年8月25日的預(yù)測值。這樣就保證了在選取的原始數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，獲得的每一個預(yù)測值都充分利用了原始數(shù)據(jù)中的信息，確保了預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。

3.2 模型擬合

將WTI原油收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行CEEMDAN分解，得到4個IMF分量以及一個趨勢項，原始序列CEEMDAN分解結(jié)果見圖2。對分解的4個IMF分量以及趨勢項在2020年8月26日至2021年7月13日期間的數(shù)據(jù)擬合ARIMA模型，IMF分量與趨勢項的ARIMA擬合參數(shù)見表2。

隨著分量序列的頻率降低，ARIMA模型擬合的效果也越來越好，IMF分量與趨勢項的ARIMA擬合結(jié)果見圖3。因此進(jìn)一步計算各IMF分量及趨勢項與原始序列的相關(guān)系數(shù)，將序列區(qū)分為高頻與低頻。根據(jù)計算，IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、趨勢項與原始序列之間的相關(guān)系數(shù)分別為0.0670、-0.0679、-0.0064、0.4426、0.9751。因此IMF1、IMF2、IMF3被判定為高頻分量，有必要檢驗其中的ARCH效應(yīng)，嘗試進(jìn)一步從中提取信息。

表2 IMF分量與趨勢項的ARIMA擬合參數(shù)

圖2 原始序列CEEMDAN分解結(jié)果

圖3 IMF分量與趨勢項的ARIMA擬合結(jié)果

圖4 高頻IMF的擬合殘差平方序列分布圖

圖5 IMF1、IMF2的殘差平方序列Ljung-Box檢驗結(jié)果

IMF1、IMF2的殘差平方序列Ljung-Box檢驗結(jié)果見圖5。從圖5可以看出，IMF1、IMF2的殘差平方序列檢驗得到的Q統(tǒng)計量的p值均小于0.05，即以上2個殘差平方序列都顯著地表現(xiàn)出了ARCH效應(yīng)，可以進(jìn)一步進(jìn)行GARCH模型的擬合，從中提取有效信息。在GARCH模型的擬合中，本文對IMF1、IMF2擬合GARCH(1,1)模型，分別得到(15)式、(16)式：

(15)

(16)

3.3 價格預(yù)測

首先對2020年8月26日至2021年7月13日期間的數(shù)據(jù)用表2中的ARIMA模型對各分量與趨勢項進(jìn)行動態(tài)預(yù)測，分別得到5個預(yù)測樣本，再用(14)式對IMF1、IMF2的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，修正結(jié)果見表3。

表3 IMF1、IMF2的預(yù)測值、修正值、真實值對比

根據(jù)表3可以看到，擬合的GARCH(1,1)模型有效修正了原預(yù)測值，使IMF1、IMF2的預(yù)測值更為準(zhǔn)確，從而進(jìn)一步提高了整體預(yù)測的準(zhǔn)確度。將得到的IMF1、IMF2的修正預(yù)測值與IMF3、IMF4、trend的預(yù)測值進(jìn)行加和，得到最終的預(yù)測結(jié)果，4種模型預(yù)測結(jié)果對比見圖6。

圖6 4種模型預(yù)測結(jié)果對比

從圖6可以看出，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型的預(yù)測值比其他模型的預(yù)測值更為精準(zhǔn)。模型的預(yù)測數(shù)據(jù)在整體更加貼近原始數(shù)據(jù)的同時，對原始數(shù)據(jù)的趨勢與波動的反應(yīng)也更為準(zhǔn)確，相比CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型，其他的模型則表現(xiàn)出了滯后性，也不能準(zhǔn)確捕捉原始數(shù)據(jù)趨勢的缺陷。為了有效評估模型預(yù)測的效果，本文選用均方根誤差(RMSE)和對稱平均絕對百分比誤差(SMAPE)來對模型的預(yù)測效果進(jìn)行評估。

RMSE與SMAPE計算方法見(17)、(18)式：

(17)

(18)

進(jìn)一步使用RMSE與SMAPE2個指標(biāo)來評價以上的4個預(yù)測模型的預(yù)測效果。指標(biāo)值越小則表明預(yù)測誤差越小，模型的預(yù)測效果越好。

表4 4種模型預(yù)測效果評價

從表4可以看出，由于GARCH模型可以將殘差序列中的有效信息進(jìn)一步提取出來，GARCH模型與ARIMA模型和CEEMDAN-ARIMA模型的結(jié)合都在一定程度上優(yōu)于ARIMA模型和CEEMDAN-ARIMA模型，實現(xiàn)了更高的預(yù)測精度。另一方面，CEEMDAN-ARIMA模型的預(yù)測效果也顯著優(yōu)于ARIMA模型，即后者可以通過分解重構(gòu)的方法使ARIMA模型可以更加精細(xì)地捕捉原始序列中的信息，從而提高了預(yù)測的精度。然而，ARIMA模型并不能很好地擬合CEEMDAN模型分解所得高頻分量，這時則會導(dǎo)致對高頻分量的預(yù)測效率低下，從而在重構(gòu)預(yù)測值時影響最終的結(jié)果。因此，在使用CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型時，可以補齊ARIMA模型難以擬合高頻序列的缺陷，使有效信息被更為充分地利用。理論和實證的分析也顯示，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型在預(yù)測原油價格的研究中具有明顯的優(yōu)勢。

4 結(jié) 語

本文提出了一種新的預(yù)測模型——CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型。該模型通過選用無模態(tài)混淆和重構(gòu)誤差的CEEMDAN模型，提高了對分量進(jìn)行擬合預(yù)測后重構(gòu)預(yù)測值的精度。另一方面，對各個分量初步擬合ARIMA模型并對擬合的殘差序列進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)高頻分量在擬合ARIMA模型后的殘差平方序列中存在ARCH效應(yīng)的問題。即以CEEMDAN-ARIMA模型為基礎(chǔ)，提出了通過對高頻序列的殘差平方序列擬合GARCH模型，以修正原有的ARIMA模型預(yù)測值，達(dá)到更高的預(yù)測精度的預(yù)測方法。

實證中，將2020年8月26日至2021年7月13日期間的國際原油價格作為原始數(shù)據(jù)并分為訓(xùn)練集與測試集，預(yù)測測試集最后30天的國際原油價格。實證結(jié)果表明，在對比預(yù)測模型中，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型的預(yù)測精度最高。在面對原油價格波動時的表現(xiàn)也顯著優(yōu)于其他的模型。如在2021年7月中下旬原油價格的銳降與反彈以及2021年8月上旬的波動中，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型的預(yù)測值都與真實值非常接近，沒有表現(xiàn)出任何的滯后性?？梢?，在國際原油價格的預(yù)測中，CEEMDAN-ARIMA-GARCH模型可以更及時、更準(zhǔn)確地對價格的波動做出反應(yīng)，這對在國際原油市場中規(guī)避風(fēng)險以及尋求獲利機會都有著相當(dāng)重要的現(xiàn)實意義。