基于車險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)的GAMLSS模型研究

楊小藜 孫 榮

（1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；2.重慶工商大學(xué) 社會(huì)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067）

一、引言

2020年9月，車險(xiǎn)綜合改革正式開啟，進(jìn)一步提高了車險(xiǎn)費(fèi)率的市場(chǎng)化程度。雖然車險(xiǎn)費(fèi)改有良好的發(fā)展勢(shì)頭，但車險(xiǎn)市場(chǎng)仍然存在諸多問題。在車險(xiǎn)費(fèi)率逐漸放開的背景下，市場(chǎng)對(duì)財(cái)險(xiǎn)公司的定價(jià)能力和產(chǎn)品創(chuàng)新能力提出了更高要求，車險(xiǎn)費(fèi)率市場(chǎng)化改革已經(jīng)成為當(dāng)前監(jiān)管和研究的一大熱門，如何運(yùn)用精算方法優(yōu)化車險(xiǎn)費(fèi)率厘定模式，使其更加科學(xué)精準(zhǔn)，成為研究者的關(guān)注點(diǎn)。在非壽險(xiǎn)精算領(lǐng)域，人們普遍采用的是廣義線性模型（GLM），該模型的基本結(jié)構(gòu)涵蓋了隨機(jī)成分、系統(tǒng)成分以及連接函數(shù)，隨機(jī)成分的特點(diǎn)是在滿足獨(dú)立的條件下突破傳統(tǒng)的觀測(cè)變量屬于正態(tài)分布的假設(shè)，從而擴(kuò)展到更通用的指數(shù)分布族。系統(tǒng)成分是指解釋變量的線性組合形式，再通過連接函數(shù)創(chuàng)建響應(yīng)變量的均值參數(shù)和解釋變量間的線性聯(lián)系。廣義線性混合模型（GLMM）能夠通過加入隨機(jī)效應(yīng)從而對(duì)不同觀測(cè)之間的相關(guān)性和因?yàn)闆]有觀測(cè)到的特征引起的異質(zhì)性問題加以解釋。廣義線性模型（GLM）的另一個(gè)發(fā)展方向是廣義可加模型（GAM），該模型的主要不同點(diǎn)是在系統(tǒng)成分中有個(gè)別解釋變量可以用非參數(shù)等方法，進(jìn)而通過平滑處理、樣條展開等形式對(duì)因變量的均值函數(shù)加以解釋。這類模型主要用于實(shí)際工作中需要分析連續(xù)型變量的情況，該模型相較于傳統(tǒng)的GLM模型可以優(yōu)化建模效果，更好地解釋各變量對(duì)因變量的影響。

基于位置、尺度和形狀參數(shù)的廣義可加模型（GAMLSS）由Rigby和Stasinopoulos在2005年提出。拓展的廣義可加模型相較于GLM、GLMM和GAM模型具有更突出的優(yōu)勢(shì)：一是在隨機(jī)成分方面，觀測(cè)值分布族不再局限于指數(shù)分布族，可以擴(kuò)展到更一般的高度偏斜、連續(xù)型或離散型分布，類似零調(diào)整伽馬分布等。二是在系統(tǒng)成分中，涵蓋了解釋變量的參數(shù)形式和非參數(shù)形式，同時(shí)設(shè)置隨機(jī)效應(yīng)解釋異質(zhì)性等問題。三是在連接函數(shù)方面，通過連接函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)因變量分布的包括尺度和形狀參數(shù)在內(nèi)的所有參數(shù)建立回歸模型。由此可見，在當(dāng)前進(jìn)行精算領(lǐng)域研究中，GAMLSS模型擁有突出的優(yōu)勢(shì)。GAMLSS模型允許將響應(yīng)變量分布的所有參數(shù)建模為解釋變量的線性、非線性或者平滑函數(shù)[1]。

GAMLSS模型是包含GLM、GAM、GLMM模型的更一般的模型，除此以外還包括零調(diào)整逆高斯模型[2]和離散參數(shù)模型[3]在內(nèi)的其他拓展模型。Klein和Denuit（2014）[4]通過一組比利時(shí)汽車保險(xiǎn)組合的詳細(xì)案例，分別利用負(fù)二項(xiàng)和零膨脹泊松分布擬合索賠頻率，通過基于零調(diào)整建立對(duì)數(shù)正態(tài)和逆高斯分布依次對(duì)索賠額進(jìn)行建模。呂定海和黃大慶（2013）[5]基于國(guó)外一組損失數(shù)據(jù)率先探討GAMLSS模型在索賠頻率和索賠額方面的應(yīng)用，將其結(jié)果和GLM模型對(duì)比，得出了GLM模型在考慮混合、截?cái)喾植嫉确矫姹憩F(xiàn)乏力的結(jié)論。孫維偉和陳偉珂（2016）[6]主要考慮了零值存在的影響，故對(duì)索賠次數(shù)和索賠額各自在零膨脹、零調(diào)整有限混合分布的假設(shè)下建立GAMLSS模型，用EM算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。劉新紅和馮媛等（2017）[7]針對(duì)縱向數(shù)據(jù)通常存在異質(zhì)性問題進(jìn)行重點(diǎn)討論，證實(shí)了加入隨機(jī)效應(yīng)的GAMLSS模型可以更加靈活地解釋個(gè)體保單的差異性，同時(shí)不同時(shí)期的同一個(gè)體的相關(guān)結(jié)構(gòu)保持不變。王選鶴和孟生旺等（2017）[8]對(duì)損失分布的尾部特征運(yùn)用密度函數(shù)極限法進(jìn)行刻畫，考慮二型廣義貝塔（GB2）分布假設(shè)下的GAMLSS定價(jià)模型并將其運(yùn)用到索賠額模型中。

二、理論介紹

（一）GAMLSS模型

與廣義線性模型、廣義線性混合模型和廣義可加模型不同，基于位置、尺度和形狀參數(shù)的廣義可加模型（GAMLSS）是更有一般性、概括性的模型，該模型擁有拓展響應(yīng)變量的分布族范圍的功能，從而更有利于描述具有偏度和高峰度、過離散等特征在內(nèi)的索賠數(shù)據(jù)。GAMLSS模型的另一項(xiàng)功能是可以同時(shí)對(duì)位置、尺度和形狀參數(shù)建立回歸模型，使模型更加全面精確地刻畫數(shù)據(jù)特征，理論和實(shí)踐方面都比傳統(tǒng)的GLM模型等更加精細(xì)和科學(xué)。

GAMLSS模型假設(shè)響應(yīng)變量y=（y1，y2，…，yn）Τ各自相互獨(dú)立，參數(shù)向量為θi=（θi1，…，θip）Τ，觀測(cè)值響應(yīng)變量的密度函數(shù)為f（yi|θi），通過連接函數(shù)gk（·）表示分布參數(shù)與解釋變量間的關(guān)系：

其中，θk和ηk為n維隨機(jī)向量，Xk和Zjk均是已知的設(shè)計(jì)矩陣，參數(shù)向量βk=（β1k，…，βJ'kk）Τ，變量γjk來自多維正態(tài)分布。

根據(jù)以上結(jié)構(gòu)形式，可以建立的各個(gè)分布參數(shù)的模型為：

式中，μ、σ、ν、τ分別代表位置參數(shù)、尺度參數(shù)、偏度和峰度參數(shù)。

（二）零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布是泊松與伽馬分布的混合分布，其概率密度函數(shù)為：

當(dāng)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)中不含零值時(shí)稱該現(xiàn)象為零截?cái)?，相?yīng)的零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布的密度函數(shù)形式如下：

（三）伽馬分布

指數(shù)分布族中包含了常見的伽馬分布，通常該分布用于擬合索賠額等連續(xù)型變量，其概率函數(shù)形式如下：

（四）逆高斯分布

逆高斯分布同樣主要用于擬合索賠額大于零的連續(xù)型變量，通過圖1可以看出當(dāng)均值和方差都相同時(shí)，如果索賠數(shù)據(jù)呈現(xiàn)尖峰厚尾型狀態(tài)，那么逆高斯分布比伽馬分布更適合刻畫索賠數(shù)據(jù)，它的概率密度函數(shù)如下：

圖1 相同條件下的伽馬和逆高斯分布圖

三、實(shí)證研究

（一）數(shù)據(jù)描述

本文數(shù)據(jù)集源于瑞典第三方汽車保險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源：www.statsci.org）。該數(shù)據(jù)集整體包含7個(gè)變量，其中有風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)（Insured）、索賠次數(shù)（Claims）、總索賠額（Payment）；4個(gè)影響因素分別是每年駕駛的公里數(shù)（Kilometres，分5類）、行駛地區(qū)（Zone，分7類）、無賠款折扣等級(jí)（Bonus，分7類）、車型（Make，分9類）。

（二）模型構(gòu)建

原始數(shù)據(jù)中共有2182個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，為了方便對(duì)索賠強(qiáng)度建模，首先篩除索賠次數(shù)為0的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，這樣一共包含了1797個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)，并基于此數(shù)據(jù)集展開索賠頻率和索賠強(qiáng)度的建模。通過初步分析，將各個(gè)影響因子中觀測(cè)值個(gè)數(shù)較多的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)設(shè)為基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)類別，各個(gè)因子的基準(zhǔn)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)分別為Kilometres=2、Zone=4、Bonus=7、Make=9。

圖2 索賠頻率分布圖

圖3 索賠強(qiáng)度分布圖

構(gòu)建響應(yīng)變量的模型時(shí)，將索賠次數(shù)作為因變量，將風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)的對(duì)數(shù)作為調(diào)整項(xiàng)建立索賠頻率模型。由各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類別的索賠額與索賠次數(shù)之比求得索賠強(qiáng)度的值，即平均每次的賠款金額。針對(duì)索賠頻率，分別考慮傳統(tǒng)的泊松分布、負(fù)二項(xiàng)分布和零截?cái)喾植?，從而建立相?yīng)的廣義線性模型（GLM）和拓展的廣義可加模型（GAMLSS）。針對(duì)索賠強(qiáng)度模型，分別考慮伽馬分布和逆高斯分布，通過GAMLSS模型建立只含均值參數(shù)的模型和含有所有參數(shù)的模型，并比較它們的擬合效果。

（三）模型診斷和選擇

利用AIC和BIC最小信息準(zhǔn)則以及分位殘差QQ圖，對(duì)模型效果進(jìn)行診斷和篩選。AIC和BIC度量模型中的損失信息量，所以這兩項(xiàng)值都應(yīng)該越小越好，即值越小，模型的精確度越高。分位殘差QQ圖中，用對(duì)角線近似擬合樣本數(shù)據(jù)，即觀測(cè)數(shù)據(jù)與對(duì)角線越貼近說明模型的擬合效果越可靠。綜合考慮信息準(zhǔn)則和QQ圖的情況，能夠使模型選擇更加可靠、科學(xué)。

表1 索賠頻率

表2 索賠強(qiáng)度

圖4 泊松分布GLM模型

圖5 零截?cái)嗖此煞植糋AMLSS模型

圖6 負(fù)二項(xiàng)分布GLM模型

圖7 零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布GAMLSS模型

圖8 伽馬分布GAMLSS模型

圖9 逆高斯分布GAMLSS模型

模型選擇方面，通過比較AIC、BIC以及分位殘差圖，可以得出以下結(jié)論：對(duì)于索賠頻率模型，基于負(fù)二項(xiàng)分布的廣義線性模型優(yōu)于泊松廣義線性模型；而考慮零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)模型后，發(fā)現(xiàn)該模型的綜合表現(xiàn)最為突出，即選擇零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布的GAMLSS模型擬合索賠頻率。對(duì)于索賠強(qiáng)度模型，不論是伽馬分布還是逆高斯分布，考慮位置、尺度參數(shù)的GAMLSS模型都比只含有位置參數(shù)的GLM模型更精確可靠。最終選擇基于逆高斯分布的GAMLSS模型擬合索賠強(qiáng)度。

通過參數(shù)估計(jì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于索賠頻率模型，零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布的GAMLSS模型有良好的擬合效果，大部分變量在分布參數(shù)下表現(xiàn)顯著。對(duì)于索賠強(qiáng)度模型，各個(gè)影響因子對(duì)位置、尺度參數(shù)的影響大部分顯著性較高，說明能夠估計(jì)所有分布參數(shù)的GAMLSS模型更具優(yōu)勢(shì)。回歸系數(shù)中，行駛里程數(shù)對(duì)索賠頻率有正向影響，即行駛里程數(shù)越大，發(fā)生索賠的概率越大。在所有地區(qū)中，大城市比農(nóng)村地區(qū)、小城市更易發(fā)生事故，這與大城市車流量、人流量更大，道路更加擁堵有關(guān)。對(duì)于無折扣賠款因子，無折扣賠款等級(jí)越高，對(duì)應(yīng)的索賠發(fā)生概率越低。車型因子方面，索賠頻率最高的是車型5，最低的是車型4；車型8的索賠強(qiáng)度最高，車型4的索賠強(qiáng)度最低。通過各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)對(duì)索賠頻率和索賠強(qiáng)度的回歸系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，這些因子對(duì)索賠頻率和索賠強(qiáng)度的影響不一致，即兩者可能存在負(fù)相關(guān)關(guān)系；在索賠強(qiáng)度模型中，各個(gè)因子對(duì)位置參數(shù)和尺度參數(shù)的影響幾乎相反。

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

（續(xù)表）

當(dāng)行駛里程數(shù)為1、地區(qū)為1、無賠款折扣等級(jí)為1、車型為1時(shí)，對(duì)應(yīng)索賠頻率的期望為0.169，索賠強(qiáng)度的期望為4447.067，從而對(duì)應(yīng)的純保費(fèi)應(yīng)為751.554。

四、結(jié)論

基于位置、尺度和形狀參數(shù)的廣義可加模型（GAMLSS）突破了常見的指數(shù)分布族，拓展了因變量的分布類型，使模型更加適用實(shí)際數(shù)據(jù)需求。GAMLSS模型的另一個(gè)突出特點(diǎn)是，可以對(duì)分布族中涉及的所有參數(shù)分別創(chuàng)建回歸模型，這比以往只能估計(jì)均值參數(shù)的模型更加符合理論基礎(chǔ)，從而體現(xiàn)該模型的可靠性。本文基于GLM和GAMLSS模型，依次對(duì)索賠頻率和索賠強(qiáng)度進(jìn)行分析，按照信息準(zhǔn)則和殘差QQ圖對(duì)模型加以診斷和選擇，通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于零截?cái)嘭?fù)二項(xiàng)分布的GAMLSS模型能較好地?cái)M合索賠頻率，基于逆高斯分布的GAMLSS模型能較好地?cái)M合索賠強(qiáng)度。同時(shí)，對(duì)因變量的所有分布參數(shù)建立GAMLSS模型的表現(xiàn)明顯優(yōu)于只有位置參數(shù)的模型，由此說明對(duì)所有參數(shù)建立GAMLSS模型得到的效果會(huì)更加科學(xué)、精確。