利用非對(duì)稱阻尼切換控制車體升降的車高求解研究

蔡 琛， 姚嘉凌, 田松梅

(1.南京林業(yè)大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院,南京 210037;2.南京汽車集團(tuán) 汽車工程研究院，南京 210028)

一般而言，懸架減振器的阻尼力并不對(duì)稱相等，為有效減小沖擊和振動(dòng)，往往使懸架減振器伸張行程的阻尼大于壓縮行程的阻尼，減振器阻尼呈現(xiàn)出非對(duì)稱特性[1-2]。Warner[3]對(duì)具有壓縮和伸張阻尼不對(duì)稱特性的減振器進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，首次發(fā)現(xiàn)簧載質(zhì)量在路面激勵(lì)下平衡位置下降。Rajalingham[4]在研究中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，給出的解釋是：懸架振動(dòng)時(shí)，由于阻尼的不對(duì)稱導(dǎo)致懸架彈簧的壓縮量發(fā)生變化，從而引起簧載質(zhì)量振動(dòng)的平衡位置的下降。Balik[5]實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)伸張行程阻尼系數(shù)大于壓縮行程阻尼系數(shù)時(shí)會(huì)引起車體下降，反之，伸張行程阻尼系數(shù)小于壓縮行程阻尼系數(shù)時(shí)會(huì)引起車體上升。

非對(duì)稱阻尼會(huì)使車體振動(dòng)的平衡位置發(fā)生變化，受到這一現(xiàn)象的啟發(fā)，本文創(chuàng)新性地提出了一種基于振動(dòng)利用控制車體升降的思想方法。具體思路是根據(jù)車輛的行駛狀態(tài)，通過(guò)控制半主動(dòng)懸架阻尼可調(diào)減振器伸張和壓縮行程的不對(duì)稱阻尼來(lái)改變車體振動(dòng)的平衡位置，該思想方法可應(yīng)用于汽車高速轉(zhuǎn)向、緊急避讓等極端工況下的車高和姿態(tài)控制、主動(dòng)防側(cè)傾控制[6]等。例如，在高速轉(zhuǎn)向時(shí)通過(guò)左右側(cè)升降使車體向轉(zhuǎn)彎方向傾斜的傾擺控制[7-9]，可有效提高汽車操縱穩(wěn)定性和迅速過(guò)彎能力，防止側(cè)翻。

對(duì)于本文提出的通過(guò)控制半主動(dòng)懸架阻尼可調(diào)減振器伸張和壓縮行程的不對(duì)稱阻尼來(lái)進(jìn)行車高調(diào)節(jié)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，求解車體的升降高度，確定車體升降高度和不對(duì)稱阻尼、車速、路面輸入的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)施這種車體升降控制的前提，依據(jù)這種函數(shù)關(guān)系就可以在一定車速和路面工況下實(shí)時(shí)控制不對(duì)稱阻尼以跟蹤期望的升降高度。

分段線性系統(tǒng)傳遞率對(duì)于外界激勵(lì)振幅具有獨(dú)立性[10]，也就是說(shuō)在同一頻率下輸出響應(yīng)和輸入?yún)?shù)的均方根值比或峰值比是固定不變的。為探究車體升降高度和不對(duì)稱阻尼、車速、路面輸入的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而求解車高，本文利用不對(duì)稱阻尼懸架系統(tǒng)的這種傳遞率的獨(dú)立性將其線性化，從而采用線性系統(tǒng)的求解方法求取路面激勵(lì)下車體升降高度的響應(yīng)。通過(guò)在不同路面激勵(lì)、車速、阻尼不對(duì)稱率工況下進(jìn)行阻尼不對(duì)稱分段線性系統(tǒng)的線性化，求解車體升降高度，通過(guò)函數(shù)擬合得到車體升降高度和不對(duì)稱阻尼、車速、路面輸入的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢愿鶕?jù)這種函數(shù)關(guān)系依據(jù)不同工況下車輛姿態(tài)的需求，調(diào)節(jié)不對(duì)稱阻尼控制車體升降達(dá)到期望的車體高度。這種車體升降不僅是整車的同時(shí)升降，還包括左右兩側(cè)一升一降以控制車體的傾擺姿態(tài)，也可以是車體前后的一升一降以控制車體的俯仰姿態(tài)。最后通過(guò)仿真檢驗(yàn)這種函數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確性。

1 基于振動(dòng)利用控制車體升降的基本思想和方法

為說(shuō)明上述升降控制的思想方法，首先建立1/4車輛阻尼可調(diào)振動(dòng)系統(tǒng)模型。根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)微分方程可表示為

(1)

式中:m2是簧載質(zhì)量;m1是非簧載質(zhì)量;k2是懸架剛度;k1是輪胎剛度;c2是懸架固有阻尼;z2是簧載質(zhì)量位移;z1是非簧載質(zhì)量位移;z0是路面輸入;fd是可調(diào)阻尼力。

控制車體升降進(jìn)行阻尼不對(duì)稱切換控制的基本思想和方法是：

(1) 要控制車體下降，壓縮行程采用小阻尼，伸張行程采用大阻尼，采用如下開關(guān)函數(shù)進(jìn)行阻尼切換控制

(2)

式中:cm為大阻尼系數(shù);c0為小阻尼系數(shù)。

(2) 要控制車體上升，壓縮行程采用大阻尼，伸張行程采用小阻尼，采用如下開關(guān)函數(shù)進(jìn)行阻尼切換控制

(3)

也可采用阻尼力切換控制的形式：

(1) 控制車體下降時(shí)采用

(4)

式中:fm為大阻尼力;f0為小阻尼力0。

(2) 控制車體上升時(shí)采用

(5)

為驗(yàn)證車體升降控制的有效性，進(jìn)行仿真驗(yàn)證。設(shè)定B級(jí)路面下，車速20 m/s，仿真時(shí)間100 s，在50 s后，采用阻尼系數(shù)切換進(jìn)行升降控制。其中仿真參數(shù)：m1=60 kg，m2=412 kg，k1=269 000 N·m-1，k2=26 000 N·m-1，c2=1 200 Ns/m。仿真結(jié)果如圖1～圖4所示。

圖1 車體上升控制(最大阻尼系數(shù)25 000 Ns/m)

圖1～圖2采用式(3)的控制策略進(jìn)行車體上升控制。圖1中c0=0，cm=25 000 Ns/m,車體平衡位置在50 s后迅速上升0.038 m；圖2中c0=0,cm=50 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速上升0.052 m。

圖2 車體上升控制(最大阻尼系數(shù)50 000 Ns/m)

圖3～圖4采用式(2)的控制策略進(jìn)行車體下降控制。圖3中c0=0,cm=25 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速下降0.038 m；圖4中c0=0,cm=50 000 Ns/m，車體平衡位置在50 s后迅速下降0.052 m。

圖3 車體下降控制(最大阻尼系數(shù)25 000 Ns/m)

圖4 車體下降控制(最大阻尼系數(shù)50 000 Ns/m)

從車體升降控制仿真結(jié)果可以看出，進(jìn)行懸架不對(duì)稱阻尼的調(diào)節(jié)可以有效升降車體的平衡位置，其最大阻尼力在4 000 N以內(nèi)，屬于普通可調(diào)阻尼減振器正常的阻尼力范圍。對(duì)4個(gè)懸架可調(diào)減振器同時(shí)或分別進(jìn)行升或降的控制，則可進(jìn)行不同目的的車體姿態(tài)控制。

2 分段線性非線性系統(tǒng)線性化

為有效進(jìn)行車體升降控制，需要研究車體升降高度與不對(duì)稱阻尼、車速、路面輸入等參數(shù)的變化規(guī)律，確定在一定工況下，車體升降高度與不對(duì)稱阻尼的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而控制阻尼升降車體到期望高度。由于分段線性系統(tǒng)是一種強(qiáng)非線性系統(tǒng)，不能通過(guò)線性系統(tǒng)的信號(hào)預(yù)測(cè)方法求解其車體振動(dòng)的響應(yīng)。但分段線性系統(tǒng)有一種非常有用的特性，即其傳遞率對(duì)于外界激勵(lì)振幅具有獨(dú)立性，不管激勵(lì)振幅大小，它的傳遞率不變[11-12]。這種特性和線性系統(tǒng)的傳遞率特性是一樣的，但這個(gè)傳遞率卻不是實(shí)際的線性系統(tǒng)的傳遞率。因此，如果能將這種分段線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化，則車體升降高度就可以采用線性系統(tǒng)的求解方法進(jìn)行求解。也就是在一定工況下，如果能求解出這種線性化后的傳遞率，則在已知路面輸入的情況下通過(guò)傳遞率就可以知道要達(dá)到一定的車體升降高度需要的不對(duì)稱阻尼力是多少。在此，首先將這種阻尼可調(diào)分段線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化。

(6)

式中:σz2(ωi)為懸架位移均方根值;σp(t)為正弦輸入信號(hào)均方根值。圖5為掃頻獲得的懸架位移傳遞率。

圖5 傳遞率仿真

采用最小二乘法，用式(7)的函數(shù)對(duì)圖5的傳遞率曲線進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖6所示。

(7)

圖6 懸架位移傳遞率擬合

擬合得到式(7)中的參數(shù)如表1所示。

表1 傳遞率擬合參數(shù)

設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，使該線性系統(tǒng)的車體位移傳遞率與式(7)的分段線性系統(tǒng)車體位移傳遞率相等，此線性系統(tǒng)微分方程表達(dá)如下

(8)

頻率響應(yīng)函數(shù)表示為

(9)

取

Az2(ω)=|H(jω)|

(10)

可以得到ai,bi與擬合參數(shù)Pi,Qi之間的關(guān)系

(11)

根據(jù)由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式的方法，假設(shè)以p(t)作為輸入，u1(t)=z2(t)-C0p(t)作為第一分量及輸出，進(jìn)一步將微分方程(8)寫成一階線性微分系統(tǒng)

(12)

式中,u1(t)=y(t),p(t)=x(t)。將式(12)代入式(8)，使得輸入信號(hào)的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)為0，可以得到Ci與ai,bi的關(guān)系

(13)

將式(12)寫成狀態(tài)空間方程為

(14)

其中：

(15)

其特征方程為

P(λ)=λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4

(16)

根據(jù)Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)，此線性系統(tǒng)需要滿足的穩(wěn)定性條件為

a1>0,a2>0,a1a2-a3>0

(17)

通過(guò)上述方法，最終確定式(14)的線性系統(tǒng)具有與分段線性非線性懸架系統(tǒng)中簧載質(zhì)量位移相同的傳遞率。在穩(wěn)定性條件下求出系統(tǒng)參數(shù)，列舉部分參數(shù)如表2所示。

表2 線性系統(tǒng)參數(shù)

3 車體升降高度求解

將分段線性非線性系統(tǒng)線性化后就可以采用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行相關(guān)分析和求解。由于求得了傳遞率，則簧載質(zhì)量位移的功率譜密度可通過(guò)傳遞率和路面輸入功率譜密度求出，如下式

(18)

其中路面輸入的功率譜密度Gz0(ω)為

(19)

式中:v是車速(m/s);Gq(n0)是路面不平度系數(shù)(m3);n0是參考空間頻率。

簧載質(zhì)量位移的自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)可以表示為

(20)

令時(shí)延τ=0，則

(21)

則簧載質(zhì)量位移的均方值為

(22)

式中:ψz2為均方差;μz2為平均值。

因此，分段線性系統(tǒng)中懸架位移輸出的均方根值可以近似表達(dá)為

(23)

式中，ωmin=2πfmin，ωmax=2πfmax是路面不平度引起的車輛振動(dòng)的實(shí)際頻率范圍，其中fmin=0.3 Hz，fmax=30 Hz[12]。

采用第2章的方法分別求解不同不對(duì)稱阻尼分段線性非線性懸架系統(tǒng)的線性化狀態(tài)方程及其傳遞率。相似地，懸架系統(tǒng)固有阻尼c2取500 Ns/m，伸張行程可調(diào)阻尼系數(shù)取0，壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)間隔3 000 Ns/m取值，即可調(diào)阻尼系數(shù)取10 000,13 000,16 000,…,61 000 N，從而產(chǎn)生一系列不對(duì)稱阻尼系數(shù)及對(duì)應(yīng)的分段線性系統(tǒng)。在B級(jí)路面輸入下分別求解車體的上升高度。其中n0=0.1 m-1，Gq(n0)=64×10-6m3。車速間隔10 km/h取值，即：v=40,50,…,110 km/h。通過(guò)公式(18)～(23)計(jì)算車體上升高度。部分?jǐn)?shù)據(jù)如表3。

表3 B級(jí)路面下車體升降高度

B級(jí)路面車體上升高度與車速、壓縮行程大阻尼系數(shù)的關(guān)系如圖7所示。

圖7 B級(jí)路面車體升降高度與壓縮行程大阻尼系數(shù)、車速的關(guān)系

從圖7可以看出：在同一車速下，隨著壓縮行程大阻尼系數(shù)不斷增大，車體上升高度近似為線性增長(zhǎng)；在同一壓縮行程大阻尼系數(shù)下，隨著車速不斷增大，車體上升高度也近似為線性增長(zhǎng)。

采用最小二乘法優(yōu)化擬合，可以得到B級(jí)路面下的車體升降高度數(shù)學(xué)模型，如式(24)所示。

(24)

式中，

(25)

式中：H是車體升降高度(m)；cm是壓縮行程的可調(diào)大稱阻尼系數(shù)(Ns/m)；v是車速(m/s)。

擬合指標(biāo)：SSE=0.000 7，R-square=0.978 7。其中SSE代表誤差平方和，其越接近于0，曲線擬合效果越好。R-square為確定系數(shù)，通過(guò)數(shù)據(jù)的變化來(lái)表征擬合效果的好壞，確定系數(shù)的正常范圍為0～1，其越接近于1，模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合的越準(zhǔn)確。

相似地，其他參數(shù)均不變，僅將路面等級(jí)設(shè)置為C級(jí)路面，可以得到C級(jí)路面車體上升高度與車速、壓縮行程大阻尼系數(shù)的關(guān)系，如圖8所示。

圖8 C級(jí)路面車體升降高度與大阻尼系數(shù)、車速的關(guān)系

圖8所顯示的特征與上述相同，且對(duì)比B、C級(jí)路面的模型，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)車速一定，壓縮行程大阻尼系數(shù)一定時(shí)，C級(jí)路面的升降高度大于B級(jí)別路面。

采用最小二乘法優(yōu)化擬合，可以得到C級(jí)路面下的車體升降高度數(shù)學(xué)模型，如(26)所示。

(26)

式中，

(27)

擬合指標(biāo)：SSE=0.003 0，R-square=0.978 7，表明擬合結(jié)果精確度高。

式(24)、(26)為伸張行程的可調(diào)阻尼系數(shù)取0，壓縮行程的間隔取可調(diào)大阻尼系數(shù)得到的B級(jí)路面、C級(jí)路面車體升降函數(shù)。如果反過(guò)來(lái)，壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)取0，伸張行程間隔取可調(diào)大阻尼系數(shù)，則可以得到一樣的函數(shù)，只不過(guò)車體升降高度變成負(fù)號(hào)，限于篇幅，在此略去求解過(guò)程。

4 車體升降高度求解模型的準(zhǔn)確度校驗(yàn)

為驗(yàn)證車體升降高度數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)行仿真驗(yàn)證。分別采用B級(jí)路面、C級(jí)路面作為輸入，采用式(3)的控制策略進(jìn)行車體上升控制，將仿真結(jié)果與模型式(24)、(26)的計(jì)算結(jié)果對(duì)比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表4～5、表6、表7所示。

表4 B級(jí)路面車體升降高度仿真與模型計(jì)算比1

表4表示B級(jí)路面下，采用壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)25 000 Ns/m，伸張行程可調(diào)阻尼系數(shù)為0的控制策略，在不同車速下的仿真高度以及采用式(24)的模型進(jìn)行計(jì)算的升降高度。當(dāng)路面輸入一定、大阻尼系數(shù)一定時(shí)，車速越高車體升降越大。

表5表示B級(jí)路面下，恒定車速為72 km/h，采用壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)為25 000～56 000 Ns/m，伸張行程阻尼系數(shù)為0的控制策略下的仿真高度以及采用式(24)的模型進(jìn)行計(jì)算的升降高度。當(dāng)路面輸入一定、車速一定時(shí)，可調(diào)阻尼系數(shù)越大，車體上升越大，同時(shí)表5的誤差結(jié)果表明式(24)的模型具有較高的精度。

表5 B級(jí)路面車體升降高度仿真與模型計(jì)算對(duì)比2

表6表示C級(jí)路面下，采用壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)為25 000 Ns/m，伸張行程阻尼系數(shù)為0的控制策略，在不同車速下的仿真高度以及采用式(26)的模型進(jìn)行計(jì)算的升降高度。當(dāng)路面輸入一定、可調(diào)阻尼系數(shù)一定時(shí)，車速越高車體升降越大；同時(shí)與表5的結(jié)果對(duì)比表明，在相同的可調(diào)阻尼系數(shù)及車速下，C級(jí)路面下的車體升降高度明顯高于B級(jí)路面。

表6 C級(jí)路面車體升降高度仿真與模型計(jì)算對(duì)比1

表7表示C級(jí)路面下，恒定車速為72 km/h，采用壓縮行程可調(diào)阻尼系數(shù)25 000～56 000 Ns/m，伸張行程可調(diào)阻尼系數(shù)為0的控制策略下的仿真高度以及采用式(26)的模型進(jìn)行計(jì)算的升降高度。當(dāng)路面輸入一定、車速一定時(shí)，可調(diào)阻尼系數(shù)越大，車體升降越大，同時(shí)誤差結(jié)果表明式(26)的模型具有較高的精度。

表7 C級(jí)路面車體升降高度仿真與模型計(jì)算對(duì)比2

因此，所求解的車體升降高度函數(shù)能夠較為準(zhǔn)確地描述阻尼可調(diào)減振器懸架系統(tǒng)在B級(jí)、C級(jí)路面輸入下，車體升降高度與不對(duì)稱阻尼系數(shù)、車速之間的關(guān)系，為阻尼可調(diào)減振器的車高控制提供了依據(jù)。

5 結(jié) 論

(1) 懸架的非對(duì)稱阻尼會(huì)使車體振動(dòng)的平衡位置發(fā)生變化，受到這一現(xiàn)象的啟發(fā)提出基于振動(dòng)利用控制車體升降并給出了阻尼控制的切換函數(shù)，仿真證明了該思想方法能有效實(shí)施車體的升降控制。

(2) 汽車4個(gè)阻尼可調(diào)懸架的單獨(dú)升降控制既可進(jìn)行整車的同時(shí)升降，也可進(jìn)行車體姿態(tài)的控制。

(3) 利用分段線性系統(tǒng)傳遞率對(duì)于外界激勵(lì)振幅具有獨(dú)立性的特性，通過(guò)掃頻激勵(lì)得到此系統(tǒng)的傳遞率，通過(guò)對(duì)這個(gè)傳遞率曲線進(jìn)行擬合求得該傳遞率的函數(shù)表達(dá)，同時(shí)設(shè)計(jì)一種與此分段線性系統(tǒng)具有相同傳遞率的線性系統(tǒng)，進(jìn)而可以通過(guò)線性系統(tǒng)的求解方法求取車體升降高度的均方根值。

(4) 通過(guò)在不同路面激勵(lì)、車速、阻尼不對(duì)稱率工況下進(jìn)行阻尼不對(duì)稱分段線性系統(tǒng)的線性化，求解車體升降高度，通過(guò)函數(shù)擬合得到車體升降高度和不對(duì)稱阻尼、車速、路面輸入的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并對(duì)函數(shù)預(yù)測(cè)車體升降高度的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。利用這種函數(shù)關(guān)系就可以在不同行駛工況下，通過(guò)調(diào)節(jié)不對(duì)稱阻尼控制車體升降高度達(dá)到期望值。