火炮彈丸落點散布的區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

佟妮宸,吳興富,劉啟明

(1.河北工業(yè)大學(xué) 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室, 天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院, 天津 300401； 3.湖南大學(xué) 機械與運載工程學(xué)院, 長沙 410082)

1 引言

火炮屬于火力壓制武器，因具有結(jié)構(gòu)可靠、技術(shù)成熟、彈藥充足、殺傷威力大等諸多優(yōu)勢，在現(xiàn)代戰(zhàn)場中處于不可替代的位置[1-2]。射擊精度是當(dāng)前火炮研究和設(shè)計所涉及的重要技術(shù)指標(biāo)，對彈丸落點散布程度進(jìn)行優(yōu)化，縮小彈丸落點散布范圍是提高火炮射擊精度的重要內(nèi)容。

近年來，學(xué)者們在降低彈丸落點散布程度，提高火炮射擊精度問題上做了大量研究。王麗群等[3-4]基于隨機模型和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，開展了隨機參數(shù)的變化與火炮射擊密集度之間關(guān)系的研究，并獲得了各因素對射擊密集度的影響規(guī)律。雷曉云等[5]基于Monte-Carlo法對影響火炮射擊精度的因素進(jìn)行研究，得到了各因素的變化對彈丸落點散布程度的影響。柏迅等[6]應(yīng)用Monte-Carlo法對火炮外彈道仿真模型進(jìn)行了彈丸落點分布的統(tǒng)計與分析，為后續(xù)對彈丸落點散布問題進(jìn)行優(yōu)化提供了理論支撐。Durson[7]借助PRODAS彈道軟件分析了影響彈丸落點散布的關(guān)鍵參數(shù)對彈丸落點散布產(chǎn)生的影響，為后續(xù)開展彈丸落點散布的區(qū)間優(yōu)化提供了數(shù)據(jù)保障。在火炮外彈道優(yōu)化過程中，很多研究人員通過建立代理模型來描述參數(shù)與彈丸落點散布之間的映射關(guān)系，用高效的代理模型取代復(fù)雜而耗時的仿真模型[8-11]，并基于代理模型對火炮系統(tǒng)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。常見的代理模型有多項式回歸模型[12-13]、Kriging模型[14]、徑向基函數(shù)模型[15-16]等。劉朋科等[17]結(jié)合了Kriging模型和NSGA-Ⅱ優(yōu)化算法，對坦克的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，改善了炮口的響應(yīng)狀態(tài)。侯捷等[18]基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立火炮底架各結(jié)構(gòu)參數(shù)的代理模型，并應(yīng)用MOGA和SQP的組合算法對代理模型進(jìn)行優(yōu)化計算。

盡管學(xué)者們圍繞火炮結(jié)構(gòu)優(yōu)化、代理模型構(gòu)建等方面開展了很多工作，但在不確定性條件下開展火炮外彈道彈丸落點散布的優(yōu)化研究還鮮有提及。為解決這一問題，本文中建立了火炮外彈道不確定參數(shù)與彈丸落點散布的映射模型，并基于該模型，在不確定條件下對彈丸落點散布進(jìn)行區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，從而降低彈丸落點的散布程度，提高火炮的精確打擊能力。

2 基于外彈道理論的彈丸運動軌跡數(shù)值仿真模型

由于火炮實驗存在成本高昂、條件苛刻、設(shè)備特殊等難題，通過實驗手段獲取火炮實驗數(shù)據(jù)效率低、效果差，而數(shù)值模擬是一種有效的分析手段，在火炮外彈道領(lǐng)域受到廣泛應(yīng)用。本節(jié)基于外彈道理論建立了非標(biāo)準(zhǔn)彈道、氣象和地形地球條件下的彈丸質(zhì)心運動微分方程組，并通過龍格庫塔數(shù)值算法對方程進(jìn)行解算，得到了彈丸運動軌跡的仿真模型?？紤]到彈丸在外彈道運動過程中，攻角δ很小，即認(rèn)為δ≡0；另外，考慮到彈丸外形不對稱或者由于質(zhì)量分布不對稱造成質(zhì)心不在彈軸上，也會產(chǎn)生對質(zhì)心的力矩，使得彈丸產(chǎn)生圍繞質(zhì)心的自轉(zhuǎn)運動。為了簡化彈丸在火炮外彈道復(fù)雜的運動過程，現(xiàn)做以下基本假設(shè)：

1) 在整個彈丸運動過程中，攻角為零，即δ≡0；

2) 彈丸的外形和質(zhì)量分布關(guān)于縱軸呈軸對稱的。

基于以上基本假設(shè)，在建立火炮外彈道數(shù)值仿真模型時，可以將彈丸視為質(zhì)點再研究其運動狀態(tài)?？紤]到初速、彈重、藥溫、氣象條件、地理緯度在內(nèi)的諸多因素都會對彈丸運動產(chǎn)生影響，并且這些因素在模擬戰(zhàn)場或者實際戰(zhàn)場中各不相同，為了研究和比較不同條件下彈丸的運動情況，依據(jù)3種國家標(biāo)準(zhǔn)條件(標(biāo)準(zhǔn)彈道條件，標(biāo)準(zhǔn)氣象條件，標(biāo)準(zhǔn)地形、地球條件)[19]，依次探究彈丸在不同條件下的運動響應(yīng)?；诖?，在外彈道理論的基礎(chǔ)上，建立非標(biāo)準(zhǔn)彈道、氣象和地形地球條件下彈丸質(zhì)心運動微分方程組為：

(1)

式(1)中：c=id2×103m-1Z；H(y)=ρ/ρ0N；ρ=p/Rτ；G(vr,cs)=4.737×10-4cx0N(Ma)v；Ma=v/cs；Λ為緯度；Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度；α為x軸與正北方向的夾角；wz為橫風(fēng)，其方向平行于射擊平面；wx為縱風(fēng)，其方向垂直于射擊平面。

通常無法直接求得這類非線性微分方程組的解析解，所以在綜合考慮誤差、精度、穩(wěn)定性等方面后，采用4階Runge-Kutta數(shù)值算法[20-22]對火炮外彈道彈丸質(zhì)心運動微分方程組(1)進(jìn)行求解，Runge-Kutta算法是一種在工程上應(yīng)用十分廣泛的高精度單步算法，主要用于數(shù)值求解微分方程組。應(yīng)用Runge-Kutta算法對該方程組進(jìn)行求解的微分初始條件為：vx=0=v0cosθ0,vy=0=v0sinθ0,vz=0=0。應(yīng)用于火炮外彈道微分方程組的4階Runge-Kutta算法的推導(dǎo)見附錄1?；贛ATLAB編程得到彈丸在火炮外彈道的運動軌跡，如圖1所示。

圖1 火炮外彈道運動軌跡示意圖

3 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型

影響火炮外彈道彈丸落點散布的參數(shù)有很多，這些不確定參數(shù)與彈丸落點散布之間的映射關(guān)系比較復(fù)雜。應(yīng)用傳統(tǒng)的代理模型，難以對火炮外彈道這類高非線性問題的不確定參數(shù)與彈丸落點散布之間復(fù)雜映射關(guān)系進(jìn)行表達(dá)，為了描述二者之間復(fù)雜的映射關(guān)系，本節(jié)基于近似高維模型表達(dá) (approximate high dimensional model representation,AHDMR) 建立了彈丸落點散布的映射模型，應(yīng)用基于AHDMR的代理模型構(gòu)建方法，在不確定性條件下對火炮外彈道彈丸落點散布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，適應(yīng)于傳統(tǒng)代理模型難以處理的炮口狀態(tài)參數(shù)、彈丸特征參數(shù)和空氣動力學(xué)參數(shù)等不確定參數(shù)與火炮外彈道彈丸落點散布之間高非線性映射關(guān)系的問題。

3.1 基于近似高維模型表達(dá)的代理模型算法推導(dǎo)

假設(shè)系統(tǒng)的輸入變量x=(x1,x2,…,xn)∈Mn，輸出響應(yīng)f(x)平方可積，則可以將輸入變量與輸出響應(yīng)之間的映射關(guān)系寫成高維模型表達(dá)(HDMR)[23,24]的形式,即：

(2)

HDMR的各階函數(shù)子項可以通過積分計算得到，有：

(3)

式(3)中：f0是一個常數(shù)，表示函數(shù)的期望；fi(xi)、fij(xi,xj)、fijk(xi,xj,xk)分別表示1階、2階和3階函數(shù)子項；dx～i表示除了變量xi之外所有變量的微分；dx～ij表示除了xi,xj之外所有變量的微分；dx～ijk表示除了xi,xj,xk之外的所有變量的微分。

高維模型中各階函數(shù)子項具有以下性質(zhì)：

s∈{i1,i2,…,im}

(4)

(5)

高維模型中各階函數(shù)子項都是通過積分運算進(jìn)行獨立求解的，然而對于火炮外彈道這類高非線性問題，其概率密度函數(shù)和函數(shù)表達(dá)式都是未知的，通過積分手段難以對各階函數(shù)子項進(jìn)行計算。

因此，引入系數(shù)和正交基函數(shù)，來近似表示高維模型中的各階函數(shù)子項，代替積分求解函數(shù)子項的方式。近似表示的低階函數(shù)子項以及高階函數(shù)子項共同組成了近似高維模型表達(dá)(AHDMR)，其特點是各階函數(shù)子項對系統(tǒng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度隨階次的升高而降低。對于一般非線性問題，近似高維模型表達(dá)的函數(shù)子項最高階次取2～3，即可獲得較好的精度。

在構(gòu)建近似高維模型表達(dá)時，首先對式(2)中各階函數(shù)子項進(jìn)行近似表示，有：

(6)

(7)

表1 均勻分布和高斯分布下基函數(shù)

因此，AHDMR的表示形式為：

(8)

(9)

根據(jù)上述推導(dǎo)，可以將AHDMR 2階代理模型表示為：

(10)

AHDMR 3階代理模型表示為：

(11)

以上即為基于AHDMR的代理模型構(gòu)建過程，為了進(jìn)一步論證所提代理模型構(gòu)建方法的優(yōu)勢，以下將通過2個數(shù)值算例對所建模型的準(zhǔn)確性和適用性進(jìn)行驗證。

3.2 數(shù)值算例

3.2.1算例Ⅰ

為了驗證所提代理模型構(gòu)建法處理復(fù)雜非線性問題的能力，構(gòu)造了一個含多變量交叉作用的非線性函數(shù)f(x)為：

f(x)=(x1·x2·x3)3,{x1,x2,x3}∈[0,1]

(12)

基于2階AHDMR、3階AHDMR方法，以及2次響應(yīng)面和3次響應(yīng)面法[25]，分別建立近似模型，并驗證其模型精度，精度結(jié)果如表2所示。觀察表2中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，4種近似模型的精度都隨著采樣數(shù)量的增加而增加；在樣本點數(shù)量相同時，AHDMR精度高于響應(yīng)面法的精度；3階AHDMR精度高于2階AHDMR的精度，且在采樣點為2 000時，3階AHDMR精度較高，R2≈98%，RMSE≈0.01。從以上分析可以看出，相比其他近似模型，3階AHDMR模型具有較好的建模精度，且采樣數(shù)量越大，模型精度越高。為了更直觀地對4種方法的建模精度進(jìn)行對比，圖2中詳細(xì)比較了500個采樣量的預(yù)測值與理論值之間的差異程度。對比結(jié)果表明，應(yīng)用AHDMR方法對含多變量交互作用的函數(shù)建立代理模型，精度較高，尤其是3階AHDMR方法精度更好，匹配性更高。

3.2.2算例Ⅱ

為了進(jìn)一步驗證AHDMR方法建代理模型的精確性和適用性，對含有多輸入變量的高非線性函數(shù)g(x)應(yīng)用2階AHDMR、3階AHDMR、2次響應(yīng)面和3次響應(yīng)面法建立4種近似模型。函數(shù)g(x)表達(dá)式為：

(13)

計算4種方法建立的代理模型精度，計算結(jié)果如表3所示，從表3中數(shù)據(jù)對比可以看出，隨著采樣數(shù)量的增加，4種近似模型精度都隨之增加；在建模樣本點相同時，AHDMR法建模精度更好，且2階AHDMR的精度始終高于3階AHDMR的精度。通過圖3中樣本數(shù)量為500時4種方法的建模精度比較可知，2階AHDMR法具有更好的建模精度。對比結(jié)果再次表明，響應(yīng)面法不適合用于高非線性問題；AHDMR 3階方法不適合解決高非線性問題，在對這類問題進(jìn)行擬合時，容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，影響其建模精度，這時采用2階AHDMR方法進(jìn)行模型構(gòu)建，反而會得到一個較好的擬合精度。綜上所述，為保證代理模型精度，優(yōu)先采用2階AHDMR構(gòu)建高非線性問題的代理模型。

表2 算例Ⅰ的4種代理模型精度

圖3 算例Ⅱ中4種方法預(yù)測值與準(zhǔn)確值曲線

表3 算例Ⅱ的4種代理模型精度

3.3 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型

影響彈丸落點散布的關(guān)鍵參數(shù)包括彈長d、彈徑L、彈重m、炮口初速度v0、發(fā)射角度θ、橫向風(fēng)速wz和縱向風(fēng)速wx，將其作為輸入變量，將x、z方向上彈丸的落點位置坐標(biāo)作為2元輸出響應(yīng)，用2元組[f(x),g(x)]表示彈丸落點的響應(yīng)。在建立輸入?yún)?shù)與2元輸出響應(yīng)的模型時，樣本的采取十分重要，它關(guān)系到代理模型的穩(wěn)定程度，一般在建立代理模型時有4種較為常用的采樣方法，分別包括蒙特卡洛采樣法(monte carlo sampling)[26]、拉丁超立方采樣法(latin hypercube sampling)[27]、Sobol’采樣法[28]和Halton采樣方法[29]。用以上4種方法對影響彈丸落點散布的關(guān)鍵參數(shù)x=[d,L,m,v0,θ,wx,wz]歸一化后分別進(jìn)行采樣，為了更加直觀清晰地對比各采樣方法的優(yōu)勢，在圖4中展示了應(yīng)用4種方法對變量d,L采樣的分布情況。由圖4可知，基于Sobol’采樣法得到的樣本點分布最均勻，故采用Sobol’法對影響彈丸落點散布的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行采樣。

圖4 4種采樣方法彈丸落點散布示意圖

根據(jù)公式(10)，構(gòu)建包含2個響應(yīng)的火炮外彈道彈丸落點散布近似模型如式(14)所示，x、z2個方向上的輸出響應(yīng)分別用f(x),g(x)表示。

(14)

為了方便理解基于AHDMR彈丸落點散布映射模型的構(gòu)建過程，現(xiàn)將其主要步驟進(jìn)行總結(jié)，如圖5所示。

4 彈丸落點散布區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化

由于加工精度、測量誤差和認(rèn)知水平的限制，導(dǎo)致彈丸落點散布程度不可避免地會受到不確定因素的影響，使得采用傳統(tǒng)的確定性方法無法對彈丸落點散布進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。因此本節(jié)將結(jié)合區(qū)間理論對火炮外彈道彈丸落點散布進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，以降低彈丸落點散布程度，提高火炮精確打擊能力。優(yōu)化火炮外彈道彈丸落點散布等不確定性問題[30]，通常將其先轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化問題，進(jìn)而利用確定性優(yōu)化方法進(jìn)行求解。

確定性問題的多目標(biāo)優(yōu)化模型[31]表示為：

(15)

式(15)中：fi(X)表示優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；gj(X)表示優(yōu)化約束函數(shù)；m,n表示目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的個數(shù)；X表示多維設(shè)計變量。關(guān)于設(shè)計變量X的取值范圍，有2種表示形式為：

XI=[XL,XU]={X∈R|XI≤X≤XU}

(16)

XI=[Xc-Xr,Xc+Xr]=Xc+[-1,1]Xr

(17)

式(16)、式(17)中：XU,XL分別是區(qū)間數(shù)XI的上下界；Xc,Xr分別是區(qū)間XI的中心和半徑。

圖5 基于AHDMR的彈丸落點散布映射模型構(gòu)建流程框圖

在滿足約束條件情況下，對式(15)多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，可以得到設(shè)計參數(shù)最佳值Xopt和目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值fopt。然而通過確定性問題的優(yōu)化模型難以對受不確定因素影響的彈丸落點散布程度進(jìn)行優(yōu)化求解，因此，針對火炮彈丸落點散布的不確定性優(yōu)化問題，擬基于區(qū)間理論，建立其考慮不確定因素影響的區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化模型[32]，具體構(gòu)建過程如下：

步驟1需要先將不確定因素加入到確定性優(yōu)化模型中，建立不確定性區(qū)間優(yōu)化模型，即：

(18)

步驟2不確定性優(yōu)化目標(biāo)轉(zhuǎn)化為2個確定性優(yōu)化目標(biāo)，即：

(19)

(20)

式(19)、式(20)中：ξ為區(qū)間設(shè)計變量的評價系數(shù)；γi為某一設(shè)計變量的不確定性水平。ξ的值增大，即區(qū)間內(nèi)設(shè)計變量的不確定性水平在提高，進(jìn)而表示允許出現(xiàn)的誤差越大，綜合成本相應(yīng)會降低。

步驟3引入?yún)^(qū)間可能度p對約束條件進(jìn)行不確定性轉(zhuǎn)換，有：

根據(jù)式(19)—(21)的計算，可以將不確定性優(yōu)化模型式(18)轉(zhuǎn)化為：

(22)

式(22)中，λj表示約束條件的可能度系數(shù)。λj值越小，對約束條件的要求越低，滿足約束條件的可能性就越大，其計算公式為：

(23)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]對影響彈丸落點散布參數(shù)的敏感性分析結(jié)果可知，彈長L、彈重m、發(fā)射角度θ的敏感性程度較高，故將其作為優(yōu)化變量，而敏感性程度較低的變量d,v0設(shè)定為設(shè)計初值，風(fēng)速wx,wz為不可設(shè)計變量。將彈丸落點射程和偏差的平均值xa,xz和公算偏差Ex,Ez作為對變量進(jìn)行優(yōu)化時的評價準(zhǔn)則，關(guān)于4個評價準(zhǔn)則Ex,Ez,xa,xz的計算公式分別為[19]：

(24)

(25)

式(24)、式(25)中：xi,zi分別表示n發(fā)彈中任意第i發(fā)彈的射程和側(cè)偏；xa,za分別表示n發(fā)彈的射程均值和側(cè)偏均值；Ex,Ez分別表示射程和側(cè)偏的公算偏差。

基于上述所構(gòu)建的火炮外彈道彈丸落點散布近似高維模型，以彈丸落點在x、z方向上散布程度的評價指標(biāo)Ex,Ez為優(yōu)化目標(biāo)，以xa,xz為約束條件，構(gòu)建彈丸落點散布的區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化模型，即：

(26)

式(26)中：xa0為不確定性水平為0時，彈丸在x方向上的落點坐標(biāo)xa0=14 233 m；xz0為不確定性水平為0時，彈丸在z方向上的落點坐標(biāo)xz0=285.66 m；XU,XL分表表示區(qū)間的上下界；Xc,Xr分別表示區(qū)間中心和區(qū)間半徑。

基于非支配序列優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)對上述區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化求解，設(shè)置種群數(shù)目為200、迭代次數(shù)為200，迭代循環(huán)終止后，生成70個優(yōu)化解集，從中選出10組優(yōu)化數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其數(shù)據(jù)如表4所示。

由表4中數(shù)據(jù)顯示，ξ的值不同時，各個設(shè)計變量區(qū)間中心和區(qū)間半徑的值也各不相同，且隨著評價系數(shù)ξ增加，設(shè)計變量的區(qū)間中心值在減小，區(qū)間半徑的值增加，即-ξ的減小會使設(shè)計要求降低。

表4 火炮外彈道系統(tǒng)區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計部分解集

圖6為火炮外彈道系統(tǒng)Pareto最優(yōu)解對應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)與評價系數(shù)的關(guān)系圖，由圖6可知，隨著評價系數(shù)的增加，優(yōu)化目標(biāo)的值Ex,Ez也隨之增加，即彈丸落點散布程度減小。

圖6 火炮外彈道系統(tǒng)的Pareto最優(yōu)解示意圖

為了比較優(yōu)化前后的變化，將火炮外彈道關(guān)鍵變量的初值作為優(yōu)化前的參數(shù)設(shè)計，選擇評價系數(shù)ξ最大時，即對應(yīng)優(yōu)化結(jié)果的第10組數(shù)據(jù)作為優(yōu)化后的參數(shù)設(shè)計。通過優(yōu)化前后對比分析，Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%。在不影響射程的前提下，彈丸落點散布程度得以減小，彈丸擊打目標(biāo)的精確性得到很好的改善。

5 結(jié)論

在火炮外彈道研究中，精準(zhǔn)打擊能力是衡量火炮作戰(zhàn)能力的重要指標(biāo)。然而由于不確定性因素的存在導(dǎo)致彈丸落點散布增大，火炮擊打能力降低。因此為了提高火炮的精準(zhǔn)打擊能力，在不確定性條件下，對火炮外彈道彈丸落點散布進(jìn)行優(yōu)化，研究結(jié)論如下：

1) 在理想彈道條件下，應(yīng)用外彈道理論建立了考慮不確定性影響的火炮外彈道仿真模型，發(fā)展了一種基于AHDMR的代理模型構(gòu)建方法，并通過數(shù)值算例驗證了其準(zhǔn)確性與適用性。

2) 以彈丸落點在x、z方向上的公算偏差Ex,Ez為優(yōu)化目標(biāo)，以彈丸落點的散布中心xa,xz為約束條件，開展考慮不確定性影響的火炮外彈道區(qū)間多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，結(jié)合非支配序列優(yōu)化算法(NSGA-Ⅱ)求解優(yōu)化結(jié)果，結(jié)果表明彈丸落點散布的評價指標(biāo)Ex降低了11.4%，Ez降低了1.13%，即通過本文的優(yōu)化，火炮的精準(zhǔn)打擊目標(biāo)能力有明顯提高。

本文研究結(jié)果對提高彈丸精準(zhǔn)打擊能力和優(yōu)化火炮綜合性能具有重要的指導(dǎo)意義和應(yīng)用價值。