采用改進(jìn)快速變冪次趨近律的滑?？刂品椒?/h1>

2022-12-12 12:23:48李艷孫蕊夏宇古嬋

西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)訂閱 2022年12期 收藏

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)

李艷,孫蕊,夏宇,古嬋

(1.陜西科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院,710021,西安;2.陜西農(nóng)產(chǎn)品加工技術(shù)研究院,710021,西安)

滑模變結(jié)構(gòu)控制算法,是一類特殊的非線性控制,主要體現(xiàn)在控制的不連續(xù)性,它可以在動(dòng)態(tài)過(guò)程中根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)偏差有目的性的不斷變化,迫使其按預(yù)定狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)[1-3]?；？刂埔蚱漤憫?yīng)速度快、動(dòng)態(tài)性能好、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)及外界擾動(dòng)不靈敏等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、電機(jī)、航空航天等不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題中[4-7]。

傳統(tǒng)的滑模控制方法由于切換裝置的不連續(xù)開(kāi)關(guān)性及其動(dòng)作的遲滯性,導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。抖振現(xiàn)象的存在會(huì)激發(fā)系統(tǒng)的未建模動(dòng)態(tài),破壞執(zhí)行機(jī)構(gòu),消耗巨大能量,導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)引發(fā)振蕩。因此,如何減弱甚至消除滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振現(xiàn)象一直是人們的研究熱點(diǎn)[8-11]。針對(duì)抖振問(wèn)題,研究學(xué)者采用準(zhǔn)滑模法[12]、智能控制結(jié)合法[13-15]、基于趨近律控制法[16]等削弱抖振現(xiàn)象。其中趨近律就是削弱滑?？刂浦卸墩竦囊环N方法,其可以極大地改善系統(tǒng)趨近過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。1996年高為炳[17]分析抖振產(chǎn)生的原因,提出等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律和一般趨近律4種趨近律,通過(guò)調(diào)節(jié)趨近律的參數(shù)來(lái)削弱抖振,改善了系統(tǒng)趨近過(guò)程的動(dòng)態(tài)品質(zhì),為后續(xù)趨近律的發(fā)展提供基礎(chǔ),但他所提的經(jīng)典趨近律可調(diào)節(jié)參數(shù)少且較為固定,在實(shí)際過(guò)程中控制性能受限,因此眾多學(xué)者致力于研究改變冪次項(xiàng)和趨近律階次,來(lái)提高系統(tǒng)魯棒性及響應(yīng)速度、同時(shí)削弱抖振。

林洪振等[18]提出一種快速冪次趨近律的全局滑模跟蹤控制器,并應(yīng)用于水田植保機(jī)的路徑跟蹤控制系統(tǒng)中,使得滑模算法的抖振降低,同時(shí)解決趨近模態(tài)對(duì)擾動(dòng)靈敏的問(wèn)題。張國(guó)山等[19]在傳統(tǒng)冪次趨近律的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)處理,同時(shí)引入新型函數(shù),設(shè)計(jì)出一種新型滑模冪次趨近律控制法,解決了系統(tǒng)抖振過(guò)大的問(wèn)題,保證其快速收斂。陳闖等[20]設(shè)計(jì)出一種改進(jìn)滑模指數(shù)趨近律的觀測(cè)器,并用于電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制問(wèn)題。該控制器可以對(duì)系統(tǒng)做自適應(yīng)控制,有效削弱抖振現(xiàn)象。廖瑛等[21]改進(jìn)了傳統(tǒng)快速冪次趨近律,設(shè)計(jì)了一種雙冪次組合函數(shù)趨近律,在[0,δ]范圍內(nèi)大大提高收斂速度,組合函數(shù)的連續(xù)性避免了抖振的產(chǎn)生,但是fal函數(shù)兩項(xiàng)的收斂速率差異過(guò)大,同時(shí)趨近律不能自適應(yīng)改變速度。Pan等[22]結(jié)合雙冪次趨近律與等速趨近律構(gòu)造出一種新型雙冪次趨近律積分滑模算法,提高了變結(jié)構(gòu)控制的響應(yīng)速度,但是等速趨近律的加入導(dǎo)致抖振問(wèn)題在滑模面上具有間斷性。楊新巖等[23]采用分段函數(shù)設(shè)計(jì)了一種分段滑模冪次趨近律,不僅可以針對(duì)不同階段設(shè)計(jì)不同趨近律,而且收斂速度快,在滑模面上無(wú)抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生,但是其調(diào)節(jié)參數(shù)較多,要求控制器的計(jì)算能力較高。

基于上述研究,本文針對(duì)傳統(tǒng)冪次趨近律中抖振現(xiàn)象突出,收斂速度慢、趨近時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題,設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)快速滑模變冪次趨近律。該趨近律在一般冪次趨近律的基礎(chǔ)上增加了變指數(shù)冪次項(xiàng),可以對(duì)系統(tǒng)的速率進(jìn)行分階段針對(duì)性調(diào)節(jié),提高了系統(tǒng)全程趨近的速率,并且可以保證系統(tǒng)的有限時(shí)間收斂性。當(dāng)受到外界干擾時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)及一階導(dǎo)數(shù)依舊可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)態(tài)誤差界內(nèi)。通過(guò)仿真對(duì)比驗(yàn)證本文所提改進(jìn)快速變冪次趨近律相對(duì)于現(xiàn)有幾種趨近律,具有更快的收斂速度及響應(yīng)時(shí)間,其動(dòng)態(tài)品質(zhì)也較高。

1 改進(jìn)快速變冪次趨近律設(shè)計(jì)

1.1 相關(guān)工作基礎(chǔ)

抖振問(wèn)題的存在嚴(yán)重阻礙著滑模控制應(yīng)用及其進(jìn)一步發(fā)展,因此解決控制系統(tǒng)的抖振成為提高滑?？刂菩阅艿年P(guān)鍵,其中趨近律就是削弱滑模控制中抖振的一種方法[24]。

快速冪次趨近律和雙冪次趨近律為

(1)

s(0)=s0

(2)

1.2 改進(jìn)快速變冪次趨近律

結(jié)合上述兩種冪次趨近律的基礎(chǔ),對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)而言,本文提出一種改進(jìn)的快速變冪次趨近律,即

(3)

(4)

式中k1>0,k2>0,k3>0,a>1,0

2 改進(jìn)快速變冪次趨近律特性分析

2.1 滑動(dòng)模態(tài)存在性及可達(dá)性證明

定理1對(duì)于滑模冪次趨近律(3),滑模變量s可以在其作用下運(yùn)動(dòng)至平衡點(diǎn)s=0。

證明由式(3)可知

(5)

2.2 穩(wěn)態(tài)抖振分析

對(duì)于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律

(6)

式中kσ>0,εσ>0,其極限形式為

(7)

可以看出,系統(tǒng)沒(méi)有穩(wěn)定于平衡點(diǎn)位置,而在平衡點(diǎn)附近作幅值為εσ的抖振運(yùn)動(dòng)。

2.3 趨近速率分析

(8)

(9)

(10)

證明假設(shè)s0>a>1,系統(tǒng)趨近過(guò)程可以分為3個(gè)階段。系統(tǒng)從s0到s(t1)=1,此時(shí)式(3)可以寫(xiě)為

(11)

(12)

假設(shè)存在中間變量y=s1-a,式(11)可寫(xiě)成

(13)

(14)

對(duì)式(14)兩邊進(jìn)行積分可得

(15)

求解式(13),即

(16)

(17)

當(dāng)時(shí)間t=0時(shí),s=s0,可得常數(shù)

(18)

由式(17)、(18)可求解式(12),得系統(tǒng)從s0運(yùn)動(dòng)到s(t1)所需時(shí)間

(19)

可知系統(tǒng)從s0運(yùn)動(dòng)到s(t1)所需時(shí)間小于T1。同理可求得系統(tǒng)從s(t1)=1運(yùn)動(dòng)到s(t2)=b和從s(t2)=b運(yùn)動(dòng)到s(t3)=0的時(shí)間T2、T3,即

(20)

(21)

所以,系統(tǒng)從s(t1)=1運(yùn)動(dòng)到s(t2)=b所需要的時(shí)間小于T2,從s(t2)=b運(yùn)動(dòng)到s(t3)=0所需要的時(shí)間小于T3。

綜上所述,收斂時(shí)間可寫(xiě)為

(22)

(23)

(24)

此外,系統(tǒng)的收斂時(shí)間小于T1+T2+T3。

2.4 干擾穩(wěn)態(tài)誤差界分析

通過(guò)上文的分析可知改進(jìn)的快速變冪次趨近律可以使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)至平衡點(diǎn)。而當(dāng)系統(tǒng)受外界不確定擾動(dòng)時(shí),該趨近律只能讓系統(tǒng)抵達(dá)平衡點(diǎn)附近的一個(gè)鄰域內(nèi),這個(gè)鄰域就被稱為干擾穩(wěn)定界。

對(duì)于不確定非線性系統(tǒng)

(25)

(26)

(27)

-k1|s|γsgn(s)-k2|s|bsgn(s)-k3s

(28)

可得

-k1|s|γsgn(s)-k2|s|bsgn(s)-k3s+d′

(29)

定理3考慮存在不確定的外加干擾系統(tǒng)(29),如果滿足|d′|≤δ,δ為大于0的常數(shù),則該系統(tǒng)的狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到以下區(qū)域

(30)

(31)

證明選擇Lyapunov函數(shù)

V=0.5s2

(32)

求導(dǎo)可得

-k1|s|γ+1-k2|s|b+1-k3s2+δ|s|

(33)

式(33)可以變形為

(34)

(35)

(36)

由引理1可知,滑模變量s可以在限定時(shí)間內(nèi)收斂至區(qū)域(34)內(nèi),代入式(33)可得

(37)

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 單輸入單輸出系統(tǒng)仿真對(duì)比

考慮系統(tǒng)

(38)

式中:u為控制輸入;d(t)為總擾動(dòng)且有界。分別使用本文所提改進(jìn)快速變冪次趨近律u1、快速冪次趨近律u2、雙冪次趨近律u3、文獻(xiàn)[14]所提新型雙冪次組合函數(shù)趨近律u4及文獻(xiàn)[16]所提分段滑模冪次趨近律u5,來(lái)設(shè)計(jì)控制輸入u,同時(shí)進(jìn)行仿真對(duì)比,其中k1=1,a=0.5。

圖1 s隨時(shí)間收斂曲線對(duì)比圖

圖隨時(shí)間收斂曲線對(duì)比圖

3.2 干擾穩(wěn)態(tài)誤差界仿真

假設(shè)對(duì)于不確定系統(tǒng)及所受外界總擾動(dòng)統(tǒng)一用d(t)表示,將滑模初值設(shè)為8,同時(shí)用各趨近律的穩(wěn)態(tài)誤差界進(jìn)行仿真對(duì)比。

干擾上界δ=8,d=2cost+sin2t。s及ds的收斂曲線仿真結(jié)果如圖3、圖4所示。

圖3 外加干擾下s收斂曲線

圖4 外加干擾下ds收斂曲線

圖5 不同趨近律下控制信號(hào)u收斂曲線對(duì)比

由圖5可知,本文所提改進(jìn)快速變冪次趨近律對(duì)于外界擾動(dòng)具最優(yōu)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)且穩(wěn)態(tài)誤差界最小。同時(shí),當(dāng)系統(tǒng)存在外界擾動(dòng)或不確定因素時(shí),滑模變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)鄰域附近。所以在實(shí)際情況中,可以使用非線性觀測(cè)器進(jìn)行狀態(tài)估計(jì),控制系統(tǒng)達(dá)到最有效果。

3.3 趨近律在履帶移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制中的應(yīng)用

3.3.1 仿真模型

履帶機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為

(39)

式中:x、y為機(jī)器人實(shí)際位置;θ為機(jī)器人實(shí)際前進(jìn)的偏移角;v、ω分別為機(jī)器人的實(shí)際線速度、角速度。

理想條件下其軌跡跟蹤誤差模型為

(40)

對(duì)式(40)求導(dǎo)并結(jié)合式(39)可得

(41)

式中vr、ωr為機(jī)器人期望線速度、角速度。履帶機(jī)器人的軌跡跟蹤目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的控制輸入v、ω,使得機(jī)器人的軌跡跟蹤誤差xe、ye和θe均可在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂至0,確保機(jī)器人精確跟蹤參考軌跡。

由此設(shè)計(jì)滑?？刂浦械幕Ｃ娼Y(jié)構(gòu)為

(42)

式中ωr≠0且為常數(shù)。

改進(jìn)快速變冪次趨近律公式為

(43)

由式(41)、(42)、(43)可得軌跡跟蹤運(yùn)動(dòng)控制器的表達(dá)式

ω=ωr+μ11s1+μ12|s1|λ1sgn(s1)+

μ13|s1|bsgn(s1)

(44)

μ22|s2|λ2sgn(s2)+μ23|s2|bsgn(s2)]

(45)

3.3.2 仿真實(shí)驗(yàn)研究

無(wú)上界干擾時(shí),分別使用上述趨近律對(duì)機(jī)器人進(jìn)行仿真對(duì)比。圖6、圖7分別為不同趨近律下滑模動(dòng)態(tài)s1、s2隨時(shí)間的變化曲線,圖8、圖9分別為不同趨近律下角速度、線速度隨時(shí)間的變化曲線。為了保證比較的一致性,各趨近律參數(shù)由輸入初始條件計(jì)算確定。

圖6 不同趨近律下s1隨時(shí)間變化情況

圖7 不同趨近律下s2隨時(shí)間變化情況

圖8 不同趨近律下角速度隨時(shí)間變化情況

圖9 不同趨近律下線速度隨時(shí)間變化情況

由圖6～9及表1可知,本文所提改進(jìn)快速變冪次趨近律收斂時(shí)間最短、速度最快,且系統(tǒng)在趨近平衡零點(diǎn)時(shí)幾乎無(wú)抖振現(xiàn)象的產(chǎn)生,相比于其他趨近律具備更優(yōu)的性能。

表1 不同趨近律仿真結(jié)果對(duì)比

3.3.3 實(shí)際環(huán)境運(yùn)行結(jié)果

為充分驗(yàn)證改進(jìn)快速變冪次趨近律滑模軌跡跟蹤控制器的準(zhǔn)確性,將對(duì)實(shí)際環(huán)境中的履帶小做軌跡跟蹤實(shí)驗(yàn)。以樹(shù)莓派為硬件系統(tǒng)的核心控制器,以WHEELTEC IMU慣性導(dǎo)航模塊為接收設(shè)備,速度精度、位置測(cè)量精度分別為0.02 m/s、0.01 m,角度分辨率小于0.01°,角度重復(fù)性小于0.1°。用Matlab 2019對(duì)其進(jìn)行仿真環(huán)境的搭建。機(jī)器人的跟蹤路徑取為圓形,表達(dá)式為

(46)

假設(shè)期望速度不變且機(jī)器人沒(méi)有負(fù)載,運(yùn)行結(jié)果如圖10～12所示。由圖10～12可知,基于改進(jìn)快速變冪次趨近律的履帶小車能較為平滑地跟蹤圓形給定軌跡。

圖10 原始速度下的圓形軌跡跟蹤曲線

圖11 原始速度下的軌跡跟蹤誤差曲線

圖12 原始速度下的實(shí)際速度變化曲線

若增加機(jī)器人的負(fù)載,也即增大線速度和角速度,選取參考速度為vr=5.2 m/s,ωr=4 rad/s,運(yùn)行結(jié)果如圖13～15所示。

由圖13～15可知,其他條件不變,當(dāng)速度增大時(shí),軌跡跟蹤誤差范圍增大,速度波動(dòng)起伏增大,但基于改進(jìn)快速變冪次趨近律的履帶小車仍然能夠跟蹤圓形給定軌跡。研究結(jié)果更加準(zhǔn)確地驗(yàn)證了本文所提趨近律具有很好的跟蹤效果。

圖13 速度增長(zhǎng)后的圓形軌跡跟蹤曲線

圖14 速度增長(zhǎng)后的軌跡跟蹤誤差曲線

圖15 速度增長(zhǎng)后的實(shí)際速度變化曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種改進(jìn)的快速變冪次趨近律,相比于一般的快速冪次趨近律和雙冪次趨近律具有更快的收斂速度和更短的趨近時(shí)間,同時(shí)在一定程度上削弱抖振。理論證明了該趨近律的可達(dá)性及存在性,給出了穩(wěn)態(tài)誤差界和趨近速率,同時(shí)詳細(xì)推導(dǎo)了固定時(shí)間及干擾穩(wěn)定界的表達(dá)式。當(dāng)系統(tǒng)存在外界擾動(dòng)和不確定性時(shí),其狀態(tài)可以收斂至平衡零點(diǎn)的有界鄰域內(nèi),仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提理論的準(zhǔn)確有效性。此外,本文所提趨近律理論上也可以應(yīng)用于滑模面的設(shè)計(jì)及履帶移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制中。

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