四面體垂心研究的進(jìn)展*

曾建國

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

與三角形中三條高交于一點(diǎn)(垂心)的情形不同，四面體的四條高不一定交于一點(diǎn).因此，當(dāng)人們運(yùn)用類比的思維方法嘗試將垂心概念引申到四面體時(shí)遇到了不少困難.盡管如此，人們?nèi)匀辉谒拿骟w垂心研究的道路上不懈努力、不斷探索，取得了豐碩的研究成果.本文對四面體垂心研究的歷程進(jìn)行回顧，并介紹近年來有關(guān)四面體垂心研究的進(jìn)展.

1 傳統(tǒng)意義的四面體垂心

按傳統(tǒng)意義的三角形垂心定義(三條高的交點(diǎn))類比至四面體中時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，只有一類特殊的四面體——垂心四面體(三組對棱互相垂直的四面體)的四條高交于一點(diǎn)，此類四面體具有傳統(tǒng)意義的垂心.

在四面體中，如果兩組對棱分別垂直，則第三組對棱也垂直，即有

命題1[1]四面體的四條高交于一點(diǎn)的充要條件是兩組對棱分別垂直.

定義1垂心四面體的四條高交于一點(diǎn)，稱為四面體的垂心.

在三角形中，垂心、重心、外心三點(diǎn)共線，即有歐拉線定理(Euler，1765年).

命題2[2]三角形的外心O、重心G、垂心H共線，且OG∶GH=1∶2.

命題2引申至垂心四面體中，就得垂心四面體的歐拉線定理.

命題3[3]垂心四面體的外心O、重心G、垂心H共線，且OG∶GH=1∶1.

1995年，馮華根據(jù)命題3及四面體的萊布尼茲公式[4]證明了垂心四面體的垂心的一個(gè)性質(zhì).

命題4[5]設(shè)垂心四面體A1A2A3A4的垂心為H，外接球半徑為R，則

(1)

三角形中與垂心有關(guān)的其他性質(zhì)也可以類比移植到垂心四面體中.例如，人們將三角形九點(diǎn)圓定理推廣至垂心四面體中，得到了垂心四面體的兩類“十二點(diǎn)球定理”.

第1類十二點(diǎn)球定理是法國數(shù)學(xué)家普魯海(Prouhet)于1863年發(fā)現(xiàn)的.

命題5[2,6]垂心四面體中，垂心到四面體各頂點(diǎn)的連線的第一個(gè)3等分點(diǎn)、四面體各面的垂心和重心，共12點(diǎn)共球，其球心為外心與垂心連線的第二個(gè)3等分點(diǎn)，半徑為四面體外接球半徑的三分之一.

第2類十二點(diǎn)球定理是法國數(shù)學(xué)家坦佩萊(Temperley)與萊維(Lévy)于1881年發(fā)現(xiàn)的.

命題6[2,7]垂心四面體中，每個(gè)側(cè)面三角形的三條高的垂足、6條棱的中點(diǎn)共12點(diǎn)共球，球心是四面體的重心.

但由于傳統(tǒng)意義的垂心概念僅適用于垂心四面體，因此所有推廣的結(jié)論也僅對垂心四面體成立，不適用于一般四面體.

2 垂心概念在四面體中的其他類比推廣

由于傳統(tǒng)意義的垂心概念無法類比推廣至一般的四面體中，致使三角形垂心的大量優(yōu)美性質(zhì)難于類比推廣至四面體中.于是人們另辟蹊徑，嘗試用其他方法推廣垂心概念.

2.1 蒙日點(diǎn)

2010年，耿恒考[8]類比三角形的高線并引申得到四面體的“高面”——過四面體的一條棱的中點(diǎn)垂直于對棱的平面，并證明了四面體的6個(gè)高面必交于一點(diǎn)，稱其為四面體的“垂心”.事實(shí)上，這樣類比得到的“垂心”就是四面體的“蒙日點(diǎn)”，是法國數(shù)學(xué)家蒙日(G.Monge)于1811年發(fā)現(xiàn)的[2].

命題7四面體的每條棱的中點(diǎn)向它的對棱引垂面，6個(gè)垂面必交于一點(diǎn)M.

另一位法國數(shù)學(xué)家曼海姆(V.M.A.Manheim,1831-1906)也作過一種類比推廣，用另一種方法得到一般四面體的“垂心”(也與蒙日點(diǎn)合同)[2].

命題8設(shè)四面體A1A2A3A4頂點(diǎn)Ai所對側(cè)面三角形的垂心為Hi，四面體(自頂點(diǎn)Ai引出)的高線為hi，則由hi與Hi(i=1,2,3,4)確定的四個(gè)平面交于一點(diǎn)H.

事實(shí)上，命題8中的垂心H與蒙日點(diǎn)M合同(曼海姆本人已證明)[1].因此我們將命題7與命題8中定義的四面體的“垂心”統(tǒng)稱為四面體的蒙日點(diǎn).

有趣的是，四面體的外心、重心、蒙日點(diǎn)三點(diǎn)也共線，即有[2]

命題9四面體的外心O、重心G、蒙日點(diǎn)M三點(diǎn)共線，且OG∶GM=1∶1.

對照命題2可知，在垂心四面體中，蒙日點(diǎn)與垂心為同一點(diǎn).因此，一般四面體的蒙日點(diǎn)是四面體垂心概念的推廣.因此我們完全有理由把命題9中的直線稱為一般四面體的“歐拉線”.

2.2 偽垂心

一般四面體的偽垂心概念是熊曾潤教授在2005年建立的.

從這一向量表示形式的角度進(jìn)行類比，可得四面體的偽垂心概念如下[9]

偽垂心也在四面體的歐拉線上，即有[9]

命題10四面體的外心O、重心G、偽垂心W三點(diǎn)共線，且OG∶GW=1∶3.

偽垂心是四面體一個(gè)新的特殊點(diǎn).根據(jù)定義2可以推得偽垂心的許多有趣性質(zhì)，例如[9]

命題11設(shè)四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，偽垂心為W，則

2.3 歐拉球心

2005年，熊曾潤教授將三角形的九點(diǎn)圓(又稱歐拉圓)引申推廣至四面體中，得四面體的歐拉球面概念[10-11].

定義3設(shè)四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，頂點(diǎn)Aj所對的側(cè)面記作Δj(j=1,2,3,4)，

我們先討論四面體的歐拉球心與垂心的關(guān)系.

命題12四面體的外心O、重心G、歐拉球心E三點(diǎn)共線，且OG∶GE=1∶1.

對照命題12與命題9即知四面體的歐拉球心與蒙日點(diǎn)合同.進(jìn)而可知，垂心四面體的歐拉球心就是其垂心[12].

對于任一給定的四面體，耿恒考定義的垂心[8]、蒙日點(diǎn)[2]、曼海姆定義的垂心[2]、歐拉球心[10-11]均為同一點(diǎn)(以下統(tǒng)一稱歐拉球心).類比推廣的角度、方法各不相同，得到的竟是同一個(gè)點(diǎn)！真可謂“殊途同歸”.這一定算得上是幾何研究歷史上的一件趣事.

綜上所述可知：任一給定四面體存在惟一的歐拉球心；垂心四面體的歐拉球心就是其垂心.由此可見，四面體的歐拉球心是垂心四面體的垂心概念的推廣.垂心四面體的垂心具有一般四面體歐拉球心的所有性質(zhì)，而一般四面體的歐拉球心不一定具有垂心四面體垂心的某些性質(zhì).

因此，研究四面體歐拉球心的性質(zhì)比研究垂心性質(zhì)具有更為廣泛的意義.

現(xiàn)列舉四面體歐拉球心的兩個(gè)性質(zhì).

命題13[12]四面體的歐拉球心到一棱中點(diǎn)的距離等于外心到對棱中點(diǎn)的距離.即：若四面體A1A2A3A4的外心為O、歐拉球心為E，M、N分別是棱A1A2、A3A4的中點(diǎn)，則有OM∥NE且OM=NE.

前文所述垂心四面體垂心的一個(gè)性質(zhì)(命題4)也可以推廣至一般四面體中.

與歐拉球心有關(guān)的四面體歐拉球面的性質(zhì)更為精彩.

四面體歐拉球面是三角形九點(diǎn)圓在四面體中的類比推廣，由此得到的一系列共球點(diǎn)性質(zhì)令人嘆為觀止，如

命題15[9,13]四面體A1A2A3A4的歐拉球面必通過12個(gè)特殊點(diǎn)，即：各頂點(diǎn)Aj與偽垂心H連線的中點(diǎn)Mj(j=1,2,3,4)；各側(cè)面Δj的歐拉球心Ej(j=1,2,3,4)；過點(diǎn)Ej作直線與直線AjH垂直相交的垂足Dj(j=1,2,3,4).

命題16[11,14]設(shè)四面體A1A2A3A4的外接球球心為O、半徑為R，其偽垂心為H，頂點(diǎn)Aj所對的側(cè)面Δj的歐拉球心為Ej，過點(diǎn)Ej作直線與直線AjH垂直相交于Dj，且設(shè)此直線交外接球面O于Bj、Cj兩點(diǎn)，則ΔAjBjCj的九點(diǎn)圓必在四面體A1A2A3A4的歐拉球面上(j=1,2,3,4).

命題16表明：四面體的歐拉球面通過4×9=36個(gè)特殊點(diǎn)．

回顧四面體垂心研究的歷程和研究成果發(fā)現(xiàn)，熊曾潤先生所作的工作是最重要的.

3 四面體垂心概念的后續(xù)研究

四面體垂心概念的研究歷程展現(xiàn)了類比推理的巧妙方法和強(qiáng)大威力，同時(shí)也啟發(fā)我們可進(jìn)一步開展本課題研究的方向.事實(shí)上，以下兩方面的研究已經(jīng)取得了初步進(jìn)展：將四面體的垂心、歐拉球心、重心等概念一般化，進(jìn)而研究四面體的k號心[13,15]；將四面體的垂心(包括其他心)概念進(jìn)一步推廣至球內(nèi)接多面體[9]、n維單形[16]、乃至n維有限點(diǎn)集[17-18]中.

(謹(jǐn)以此文紀(jì)念熊曾潤教授逝世6周年)