冪零矩陣下二次矩陣方程AXA=XAX的反交換解*

葉祥興，蔣明諭，劉 佳，韓蕊，陳小燕

(1.贛南師范大學(xué) a.數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院; b.贛南師范大學(xué) 圖書(shū)館，江西 贛州 341000;2.瑞昌市第二中學(xué)，江西 瑞昌 332200)

1 引言

令A(yù)是一個(gè)n×n的冪零矩陣，本文的目的是找到二次矩陣方程

AXA=XAX

(1)

的所有反交換解.這個(gè)非線(xiàn)性方程也被稱(chēng)為Yang-Baxter型矩陣方程，因?yàn)樗谛问缴吓c經(jīng)典的Yang-Baxter矩陣方程[1-2]相似.Yang-Baxter方程出現(xiàn)在物理學(xué)和數(shù)學(xué)的許多分支中，如統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、場(chǎng)論和低維量子可積系統(tǒng)、量子群、三維拓?fù)?、紐結(jié)理論等.

Yang-Baxter型矩陣方程有2個(gè)平凡解X=0和X=A，但當(dāng)A為任意矩陣時(shí)，找到方程(1)的非平凡解是比較困難的，這是因?yàn)榻夥匠?1)就是解一類(lèi)二次多項(xiàng)式方程組.最近幾年，對(duì)矩陣方程(1)找到了部分解[3-9].大部分研究結(jié)果是基于A滿(mǎn)足一定條件時(shí)求出方程(1)的所有交換解.例如當(dāng)A為指數(shù)為3的冪零矩陣，在滿(mǎn)足可交換條件AX=XA時(shí)文獻(xiàn)[10]求出方程(1)的交換解結(jié)構(gòu)，當(dāng)矩陣A為任意的冪零矩陣，滿(mǎn)足相同可交換條件時(shí)文獻(xiàn)[11]給出了方程(1)的交換解結(jié)構(gòu).當(dāng)矩陣A為指數(shù)為3的冪零矩陣，在滿(mǎn)足可交換條件AX=-XA時(shí)文獻(xiàn)[12]給出方程(1)的所有反交換解的結(jié)構(gòu).若A為任意的冪零矩陣，本文主要目的是找到方程(1)的所有反交換解.

2 A為若爾當(dāng)塊

由文獻(xiàn)[13]引理3.1可知若J是A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則求解方程(1)可以轉(zhuǎn)化為求解下列簡(jiǎn)化的方程

JYJ=YJY

(2)

令B為方程(1)的解、K為方程(2)的解且B=UKU-1,U滿(mǎn)足A=UJU-1,若AB=-BA，則JK=-KJ.

其中有關(guān)于特征值λ的t×t個(gè)若爾當(dāng)塊.若特征值為0，則對(duì)應(yīng)若爾當(dāng)塊Jt(0)滿(mǎn)足Jt(0)t=0.

(3)

或

(4)

其中k1,...,kv為任意的復(fù)數(shù).

證明令K= ?kij?，容易得到Jm(0)K的第(i,j)項(xiàng)為ki+1,j,i=1,…,m-1,j=1,…,n，第(m,j)項(xiàng)的所有元素為0,同樣-KJn(0)的第(i,j)項(xiàng)為-ki,j-1,i=1,…,m,j=2,…,n，第(i,1)項(xiàng)的所有元素為0.通過(guò)計(jì)算得到Jm(0)K=-KJn(0)的充要條件為

ki,j-1=-ki+1，j=ki+2,j+1=-ki+3,j+2=ki+4,j+5=-ki+5,j+6=…其中i=1,…,m,j=2,…,n.

且主對(duì)角線(xiàn)以下元素全為0.因此K由(3)(4)給出，其中ki≡k1i,i=1,…,v.

若AB=-BA,則B是方程(1)的解的充要條件為B(A-B)A=0.若AB=-BA=-A2或AB=-BA=-B2,則(A-B)A=0或B(A-B)=0.當(dāng)J=Jn(0)時(shí)，由此可以算出方程(2)的反交換解，用下面這個(gè)定理來(lái)表示.

定理1當(dāng)J=Jn(0)時(shí)，方程(2)的所有反交換解為

(5)

其中c和d為任意的數(shù).

證明當(dāng)n=2和n=3時(shí)容易驗(yàn)證，這里假設(shè)n≥4，由引理1知滿(mǎn)足JK=-KJ的解K的結(jié)構(gòu)如(3)和(4)所示.已知K(J-K)J=0.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

計(jì)算可得K(J-K)J第一行元素分別為：

因?yàn)镵(J-K)J=0，則k1=0,k2(1+k2)=0，則k2=0或k2=-1；k3,k4,…,kn-2都為0，kn-1,kn為任意的數(shù)，則K的結(jié)構(gòu)如(5)所示.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，用類(lèi)似方法得到

計(jì)算可得K(J-K)J第一行元素分別為:

因?yàn)镵(J-K)J=0，則k1=0,k2(1+k2)=0，則k2=0或k2=-1；k3,k4,…,kn-2都為0,kn-1,kn為任意的數(shù)，則K的結(jié)構(gòu)如(5)所示.

3 A為任意冪零矩陣

令A(yù)為指數(shù)為z(z>1)的任意冪零矩陣，z為滿(mǎn)足Az=0的最小整數(shù).我們簡(jiǎn)化符號(hào)，把矩陣A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型J寫(xiě)成

其中0m表示m×m的零矩陣，若爾當(dāng)塊Jt(0)為t×t的,Jt中含有st個(gè)Jt(0).為了求解方程(2)，按照J(rèn)的形式將矩陣K分塊，令K為z×z的塊矩陣即

3）加強(qiáng)基礎(chǔ)學(xué)校與科研機(jī)構(gòu)、企業(yè)單位的對(duì)接。課堂不是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的唯一途徑，學(xué)?？梢远ㄆ谘?qǐng)科研人員、企業(yè)人士對(duì)學(xué)生進(jìn)行培養(yǎng)指導(dǎo)；同時(shí)，學(xué)校應(yīng)為對(duì)特定領(lǐng)域感興趣的學(xué)生提供接觸相關(guān)專(zhuān)業(yè)知識(shí)、器材的途徑，讓學(xué)生在較低年齡即可初步接觸專(zhuān)業(yè)問(wèn)題及情境。

(6)

其中K11是m×m的，Kii是isi×isi,i=2,…,z.因?yàn)?/p>

由JK=-KJ可得

得到上述方程組后，依次計(jì)算.首先分析方程JtKt1=0,t=2,…,z.將矩陣Kt1分塊得到

則

用同樣的方法解方程K1tJt=0,t=2,…,z，將矩陣K1t分塊得到

計(jì)算可得

現(xiàn)在來(lái)解方程JiKij=-KijJj,i,j=2,…,z，將Kij分塊得

(7)

i>j且j為偶數(shù)時(shí)，

(8)

i≤j且i為奇數(shù)時(shí)，

(9)

i≤j且i為偶數(shù)時(shí)，

(10)

找到方程JK=-KJ的所有解后，再求解方程K(J-K)J=0.因?yàn)?/p>

定理2令A(yù)為指數(shù)是z的冪零矩陣，A=UJU-1，其中J為A的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，則方程(1)的所有反交換解為B=UKU-1，其中K是z×z的且結(jié)構(gòu)如(6)所示，滿(mǎn)足：

(11)

4 數(shù)值例子

第3節(jié)已經(jīng)給出了任意冪零矩陣下的Yang-Baxter型矩陣方程的反交換解的表現(xiàn)形式，本節(jié)給出2個(gè)具體例子來(lái)更直接的說(shuō)明主要結(jié)果.

(12)

依次求解方程組(12)，其中第1個(gè)方程的解在例1中給出，通過(guò)求解第2個(gè)方程可得q11t11=0,求解第3個(gè)方程可得t11z11=0,求解第4個(gè)方程可得t11=0,z11q11=0.v11是任意的，當(dāng)z11=0時(shí)，q11是任意的；當(dāng)q11=0時(shí)，z11是任意的.因此Yang-Baxter型矩陣方程(1)的反交換解為

其中k,d1,d2,b1,b2,c11,h11,f11,w11,v11為任意復(fù)數(shù).

5 結(jié)論

對(duì)于非線(xiàn)性矩陣方程(1)，當(dāng)A為任意冪零矩陣時(shí)，通過(guò)求解JK=-KJ找到K的結(jié)構(gòu)，在求解等價(jià)方程K(J-K)J=0進(jìn)而找到了(1)的所有反交換解.但是對(duì)于一個(gè)任意的冪零矩陣，找到方程(1)的所有非交換解是十分困難的，因此這將是未來(lái)研究的一個(gè)方向.