求解病態(tài)積分方程的Tikhonov-Lavrentiev正則化方法*

謝飛平，張 榮

(贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

在很多科學(xué)領(lǐng)域,我們都會(huì)遇到病態(tài)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.熟知的病態(tài)問(wèn)題有：X射線層析成像,圖像和信號(hào)處理,熱傳導(dǎo),參數(shù)識(shí)別,模式識(shí)別,逆散射等.在病態(tài)問(wèn)題中,第一類(lèi)Fredholm積分方程[1]是其非常重要的類(lèi)型之一.早期的求解病態(tài)問(wèn)題的重要方法,是Tikhonov的選擇法[2]和Ivanov的擬解法[3-4].為了克服選擇法和擬解法的缺陷,Phillips和Tikhonov于20世紀(jì)70年代分別獨(dú)立提出了求解病態(tài)問(wèn)題的穩(wěn)定方法：正則化方法[3,5].其中Tikhonov于1963年提出的Tikhonov正則化方法的基本思想是利用具體問(wèn)題的某些附加信息對(duì)不適定問(wèn)題解的概念重新定義,進(jìn)而引進(jìn)穩(wěn)定泛函,構(gòu)造展平泛函,通過(guò)求展平泛函的極小點(diǎn)來(lái)給出原問(wèn)題的近似解的一種穩(wěn)定的方法.除了Tikhonov正則化方法之外,常用的正則化方法還有：Lavrentiev正則化方法[6-8],Landweber迭代法[9-11],共軛梯度法[12-15]等.

1991年,Hanke在文獻(xiàn)[7]提出半迭代法作為正則化方法.1995年,Plato在文獻(xiàn)[16]給出求解線性病態(tài)方程的迭代法和參數(shù)法,1996年在文獻(xiàn)[17]分析偏差原理下各種迭代法和參數(shù)法的收斂率及數(shù)值實(shí)驗(yàn)效果.2008年,Chen在文獻(xiàn)[18]討論一個(gè)快速多尺度Galerkin法求解病態(tài)問(wèn)題,得到先驗(yàn)參數(shù)選擇和偏差原理下近似解的最優(yōu)收斂率.2011年,Luo在文獻(xiàn)[19]中基于最優(yōu)投影方法,構(gòu)造求解病態(tài)積分方程的截?cái)嗫焖賂ikhonov迭代算法,與傳統(tǒng)的算法相比,得到了相同的收斂率,但減少了內(nèi)積個(gè)數(shù).2011年,Luo在文獻(xiàn)[19]提出一種迭代的Tikhonov正則化方法求解病態(tài)問(wèn)題,并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明該方法的有效性和可行性.隨著病態(tài)問(wèn)題的深入研究,出現(xiàn)了越來(lái)越多的正則化方法.理論分析和實(shí)驗(yàn)表明,正則化近似解的收斂速度與正則化方法和正則化參數(shù)選取策略有關(guān).2015年,Luo在文獻(xiàn)[20]提出Richardson迭代正則化方法求解第一類(lèi)Fredholm積分方程.

本文第2節(jié)基于Tikhonov正則化和Levrentiev正則化方法,針對(duì)具有高光滑性的病態(tài)問(wèn)題提出了一種新的正則化方法;第3節(jié)分析了該方法所得近似解的收斂性;第4節(jié)證明了偏差原理下的收斂率.

2 Tikhonov-Lavrentiev正則化方法

在本節(jié)中,我們提出一種新的方法求解病態(tài)問(wèn)題,并說(shuō)明了這種新方法的正則化性質(zhì).

考慮的病態(tài)問(wèn)題的一般形式如下：

Kx=y,

(1)

(αI+(αI+K)2)x=(αI+K)y.

(2)

根據(jù)奇異系統(tǒng)(μj,xj,xj),可得

(3)

定義1一族有界線性算子R∶X→X,α>0稱(chēng)為方程(1)的正則化算子.如果它滿足

(4)

對(duì)所有的x∈X成立,α稱(chēng)為正則化參數(shù).顯然,

根據(jù)文獻(xiàn)[21]的定理3.2.1,我們有下面的結(jié)論.

引理1設(shè)緊線性算子的奇異系統(tǒng)是(μj,xj,xj),函數(shù)q(α,μ)∶(0,∞)×(0,‖K‖]→R,滿足下列性質(zhì)：

則有下列結(jié)論：

A.算子

是一個(gè)正則化算子,且有估計(jì)‖Rα‖≤c(α)；

B.如果取α=α(δ)在α→0,δc(α(δ))→0,則α=α(δ)是允許的取法.

3 收斂性分析

在本節(jié)中,我們分析所提正則化方法(2)在不同情況下的收斂性.

在實(shí)際中,雖然右端項(xiàng)y只能測(cè)得其擾動(dòng)值yδ,但是可知擾動(dòng)值的偏差范圍為δ,即

‖y-yδ‖≤δ.

(5)

事實(shí)上,我們求解的病態(tài)方程為Kx=yδ.因此,含有擾動(dòng)的正則化方程為

(6)

(7)

4 偏差原理

(8)

接下來(lái),給出下面的迭代停止準(zhǔn)則.

--------------------------------------------------------------------------------------------算法1(偏差原理)

(9)

--------------------------------------------------------------------------------------------

(10)

由插值不等式：‖Astz‖≤C‖ASz‖t‖z‖1-s,z∈X(其中00,C>0),推得