汽車轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)求解新方法及其應(yīng)用

李杰，賈長(zhǎng)旺，趙旗

（吉林大學(xué)汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130025）

傳統(tǒng)的汽車?yán)碚撌遣捎镁€性輪胎模型進(jìn)行汽車性能研究的，經(jīng)典的汽車操縱穩(wěn)定性理論也是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的［1］。然而，輪胎非線性對(duì)汽車性能的影響很大，在高速或大轉(zhuǎn)角行駛條件下，輪胎很容易進(jìn)入非線性區(qū)域，如果再使用線性輪胎模型進(jìn)行汽車性能研究，會(huì)造成較大的誤差［2］。

轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)是進(jìn)行汽車轉(zhuǎn)向非線性穩(wěn)定性分析與控制的起點(diǎn)，只有在確定轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)后才能判別汽車轉(zhuǎn)向非線性運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性。穩(wěn)定的轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)決定了汽車非線性轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定的非線性轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)表征了汽車非線性轉(zhuǎn)向穩(wěn)定域的邊界，由此劃分出汽車轉(zhuǎn)向非線性運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定域和非穩(wěn)定域［3］，便于分析和應(yīng)用。通過將轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)作為穩(wěn)定域邊界，可用雙直線［4］或菱形［5-7］等描述汽車非線性運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定域，以此實(shí)現(xiàn)汽車轉(zhuǎn)向非線性穩(wěn)定性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)［8-9］。此外，非線性分岔可能會(huì)在轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)處發(fā)生［10-13］。一旦發(fā)生分岔，汽車很有可能會(huì)變得不穩(wěn)定［14-15］。因此，針對(duì)不同行駛條件，定量確定轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)及其變化規(guī)律，對(duì)汽車非線性轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性分析與控制的研究具有重要意義。

以往求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)，最常用的方法是通過在相平面或者相空間中繪制相軌跡獲得［3-6］，優(yōu)點(diǎn)是清晰直觀。然而，這種圖解法的缺點(diǎn)是只能確定轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的大概位置；并且對(duì)于轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的連續(xù)求解和復(fù)雜汽車模型的轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)求解，這種圖解法也是有一定難度的。

為了克服轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)求解圖解法的缺點(diǎn)，提出了求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的常規(guī)數(shù)值方法和遺傳算法［16］。常規(guī)數(shù)值方法多采用梯度類算法求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)，如下降法、牛頓法或擬牛頓法等，存在初值敏感性問題，即對(duì)初值比較依賴，沒有較好的初值，往往得到較好的結(jié)果。遺傳算法是一種智能算法，具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，不依賴初值，已經(jīng)用于轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的求解，但是遺傳算法存在早熟、停滯、重復(fù)等問題，造成過多的迭代。為克服遺傳算法存在的問題，提出了將遺傳算法與擬牛頓法相結(jié)合求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的混合優(yōu)化算法［17］，取得了不錯(cuò)的效果。但是算法復(fù)雜，耗時(shí)較長(zhǎng)，在求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)時(shí)，會(huì)耗費(fèi)很多時(shí)間。因此，需要對(duì)轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的求解進(jìn)行更多的研究，找到一些更加簡(jiǎn)單和快速求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的方法，以便更好地開展汽車轉(zhuǎn)向非線性穩(wěn)定性分析與控制的相關(guān)研究。

針對(duì)轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)求解問題，在前人研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合汽車轉(zhuǎn)向非線性2自由度模型，提出求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的粒子群算法，對(duì)轉(zhuǎn)角、路面附著系數(shù)和車速分別變化行駛條件的轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)進(jìn)行求解。

1 汽車轉(zhuǎn)向非線性2自由度模型

1.1 汽車模型

汽車轉(zhuǎn)向2自由度模型是最經(jīng)典的操縱穩(wěn)定性模型，可以揭示汽車的基本規(guī)律，應(yīng)用廣泛［1］。因此，選擇汽車轉(zhuǎn)向2自由度模型為研究對(duì)象。考慮汽車的側(cè)向運(yùn)動(dòng)和橫擺運(yùn)動(dòng)兩個(gè)自由度，模型的微分方程表示為：

式中：m為汽車總質(zhì)量；Iz為橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；a為汽車質(zhì)心到前輪的距離；b為汽車質(zhì)心到后輪的距離；ay為汽車質(zhì)心側(cè)向加速度；γ為汽車質(zhì)心橫擺角速度；Fyf為前軸輪胎側(cè)向力；Fyr為后軸輪胎側(cè)向力。

汽車質(zhì)心側(cè)向加速度的計(jì)算公式為：

式中：u為汽車縱向速度，假設(shè)為常速；β為汽車質(zhì)心側(cè)偏角。

將式（3）代入式（1），有：

聯(lián)立式（4）和式（2）進(jìn)行變換，得：

取狀態(tài)變量x=[β，γ]T，將式（5）和式（6）改寫成狀態(tài)方程，有：

1.2 非線性輪胎模型

采用簡(jiǎn)化魔術(shù)公式輪胎模型描述輪胎側(cè)向力，公式為：

式中：μ為路面附著系數(shù)；Fz為車輪垂向載荷；α為輪胎側(cè)偏角；C和B為魔術(shù)輪胎模型參數(shù)。

將式（8）應(yīng)用于前后輪胎時(shí)，需要確定前后輪垂向載荷和前后輪胎側(cè)偏角。前后輪垂向載荷計(jì)算公式為：

式中：Fzf為前輪垂向載荷；Fzr為后輪垂向載荷；g為重力加速度。

前后輪胎側(cè)偏角計(jì)算公式為

式中：αf為前輪胎側(cè)偏角；αr為后輪胎側(cè)偏角；δ為前輪轉(zhuǎn)角。

2 汽車轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)求解

2.1 轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)

式（8）的非線性導(dǎo)致Fy非線性，因此，式（7）就成為非線性方程，可表示為非線性自治系統(tǒng)的形式：

滿足?=0，即同時(shí)滿足?=f1(β，γ)=0和γ?=f2(β，γ)=0的點(diǎn)xe=[βe，γe]T，稱為汽車轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)，簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)。

2.2 粒子群算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是模擬鳥群覓食行為而提出的一種優(yōu)化算法。鳥群在搜索食物時(shí)，會(huì)相互交換信息，每只鳥根據(jù)自身信息與其他鳥信息，再根據(jù)自己與食物的距離對(duì)搜索方向做出調(diào)整。在距離食物最近的鳥的周圍區(qū)域搜索可以更快找到食物，通過鳥之間的合作可以使鳥群最快搜索到食物［18］。

在PSO中，將優(yōu)化問題的解看作是搜索空間中的一只鳥，稱為“粒子”，將鳥群作為“群體”。每個(gè)粒子具有和鳥類捕食類似的行為規(guī)則，從搜索空間的隨機(jī)解出發(fā)，通過逐步迭代搜索問題的最優(yōu)解。在每一步迭代中，粒子根據(jù)本身的最優(yōu)解和整個(gè)群體的最優(yōu)解來(lái)調(diào)整自己的速度，群體更新當(dāng)前最優(yōu)解，從而使個(gè)體和群體逐步優(yōu)化。

下面對(duì)粒子群算法的實(shí)現(xiàn)過程進(jìn)行描述。假設(shè)在一個(gè)D維的搜索空間中，有N個(gè)粒子組成一個(gè)群體。對(duì)于i=1，2，…，N，第i個(gè)粒子的位置表示為一個(gè)D維向量：

第i個(gè)粒子的速度也是一個(gè)D維向量：

第i個(gè)粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置稱為個(gè)體極值，記為：

迄今為止，整個(gè)粒子群搜索到的最優(yōu)位置為全局極值，記為：

在每一步的迭代中，粒子根據(jù)如下公式來(lái)更新自己的速度和位置：

式中：w為慣性權(quán)重；c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2為［0，1］范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)。

粒子群算法流程，如圖1所示。為了實(shí)現(xiàn)粒子群算法，首先，要根據(jù)具體問題，設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)fitness，用于計(jì)算適應(yīng)度；其次，設(shè)置基本參數(shù)，包括維數(shù)D、粒子數(shù)目N、慣性權(quán)重w、學(xué)習(xí)因子c1和c2、最大迭代數(shù)M、精度ε；再次，設(shè)置粒子群初始的位置和速度，既可以設(shè)置為隨機(jī)值，也可以根據(jù)求解的問題設(shè)置相應(yīng)范圍；最后，設(shè)置迭代終止條件，讓迭代次數(shù)k達(dá)到最大迭代次數(shù)M或者適應(yīng)度f(wàn)itness滿足精度要求ε，即：

圖1 粒子群算法流程

2.3 轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)求解的粒子群算法

為了應(yīng)用粒子群算法求解轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)，需要設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)fitness。轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)求解問題，就是找出?=f1(β，γ)=0和?=f2(β，γ)=0的解，可以將其轉(zhuǎn)換為求解適應(yīng)度函數(shù)最小值的數(shù)學(xué)問題，即：

求解轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)的粒子群算法，步驟具體如下：

（1）設(shè)置粒子群算法基本參數(shù)：維數(shù)D、粒子數(shù)目N、慣性權(quán)重w、學(xué)習(xí)因子c1和c2、最大迭代數(shù)M、精度ε。

（2）確定粒子群位置范圍(βmin，βmax)、(γmin，γmax)和速度范圍[-vβm，vβm]、[-vγm，vγm]。

（3）在粒子群位置范圍和速度范圍內(nèi)，生成均勻分布的每個(gè)粒子的位置初值βi、γi和速度初值vβi、vγi，i=1，2，…，N。

（4）由式（21）計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度f(wàn)itness。

（5）通過逐步比較，獲得每個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置βibest、γibest，通過整個(gè)種群比較，獲得群體最優(yōu)位置βbest、γbest。

（6）檢查是否滿足終止條件，即式（20），如果滿足，結(jié)束搜索，輸出當(dāng)前群體最優(yōu)值βbest、γbest；如果不滿足，轉(zhuǎn)向步驟（7）。

（7）迭代更新第k+1步的粒子速度：首先，按照式（18）初步更新每個(gè)粒子速度，得到v′βi、v′γi；其次，要保證速度在限制范圍內(nèi)，因此，第k+1步迭代的粒子速度為：

（8）迭代更新第k+1步的粒子位置：首先，按照式（19）初步計(jì)算每個(gè)粒子位置，得到β′i、γ′i；其次，保證粒子位置在限制范圍內(nèi)，當(dāng)β′i>βmax時(shí)，將β′i依次減去βmax-βmin，直到βi′∈[βmin，βmax]；當(dāng)β′i<βmin時(shí)，將 β′i依 次 加 上 βmax-βmin，直 到β′i∈[βmin，βmax]；粒子位置βik+1為處理后的β′i，按照同樣的方法得到γki+1。

（9）轉(zhuǎn)入步驟（4）。

需要指出的是，粒子群算法是一種啟發(fā)式算法，具有隨機(jī)性，一次求出的結(jié)果不一定都能滿足精度要求。當(dāng)結(jié)果不滿足精度要求時(shí)，通過多次運(yùn)行程序求解或者改變?nèi)撼踔岛颓蠼夥秶瑔栴}就會(huì)得到解決。

3 應(yīng)用分析

3.1 參數(shù)設(shè)置

設(shè)置汽車和輪胎參數(shù)，見表1；設(shè)置粒子群算法參數(shù)，見表2。

表1 汽車參數(shù)

表2 粒子群算法參數(shù)

3.2 不同轉(zhuǎn)角下轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)求解

選擇路面為良好路面，路面附著系數(shù)μ設(shè)置為0.8，車速u設(shè)置為70 km/h，汽車左轉(zhuǎn)和右轉(zhuǎn)情況相同，因此，只需要研究前輪轉(zhuǎn)角δ為正值的情況，范圍取為0～0.2 rad，以0.02 rad為間隔。

求解得到的3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)，如表3～5所示。由這些表可以看出，應(yīng)用粒子群算法求解的轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)都能滿足設(shè)置的精度要求；在某一固定轉(zhuǎn)角下，一共有3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)；隨著前輪轉(zhuǎn)角增大，第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)和第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)的β值增大，γ值變化不大；第2個(gè)平衡點(diǎn)的β值減小，γ值增大。

表3 u=70 km/h和μ=0.8時(shí)的第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

表4 u=70 km/h和μ=0.8時(shí)的第2個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

3.3 不同路面附著系數(shù)下轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)求解

選擇從結(jié)冰路面到良好路面，路面附著系數(shù)μ范圍取0.2～1，以0.1為間隔?？紤]到在結(jié)冰路面上汽車都會(huì)減速慢行，設(shè)置車速u為30 km/h，前輪轉(zhuǎn)角δ為0.1 rad。

求取的轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)，如表6～8所示。由這些表可以看出，應(yīng)用粒子群算法求解的平衡點(diǎn)都能滿足設(shè)置的精度要求；在某一固定路面附著系數(shù)下，一共有3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)；隨著路面附著系數(shù)的增大，第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)β值增大，γ值減??；第2個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)的β值增大，γ值增大；第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)β值增大，γ值減小。

表6 u=30 km/h和δ=0.1 rad時(shí)的第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

3.4 不同車速下轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)求解

選擇路面為良好路面，路面附著系數(shù)μ設(shè)置為0.8，車速u的范圍取30～120 km/h，以10 km/h為間隔，前輪轉(zhuǎn)角δ為0.1 rad。

表5 u=70 km/h和μ=0.8時(shí)的第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

表7 u=30 km/h和δ=0.1 rad時(shí)的第2個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

表8 u=30 km/h和δ=0.1 rad時(shí)的第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

求取的轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)，如表9～11所示。由這些表可以看出，應(yīng)用粒子群算法求解的轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)都能滿足設(shè)置的精度要求；在某一固定車速下，一共有3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)；隨著車速增大，第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)值增大，總體變化不大，值減??；第2個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)的值減小，值先增后減；第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)值減小，值增大。

表9 μ=0.8和δ=0.1 rad時(shí)的第1個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

表10 μ=0.8和δ=0.1 rad時(shí)的第2個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

表11 μ=0.8和δ=0.1rad時(shí)的第3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)

4結(jié)論

（1）建立了汽車轉(zhuǎn)向非線性2自由度模型，其中由微分方程和狀態(tài)方程表示的汽車模型適于任何輪胎模型；給出了轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的定義，提出了求解轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)的粒子群算法，其為智能算法，易于實(shí)現(xiàn)和精度較高，可以達(dá)到設(shè)置的精度要求。

（2）對(duì)3種行駛條件下轉(zhuǎn)向非線性平衡點(diǎn)進(jìn)行了求解，結(jié)果表明，粒子群算法可以求出對(duì)應(yīng)給定精度10-4的3個(gè)轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)；隨著轉(zhuǎn)角、車速的增加和路面附著系數(shù)的減小，轉(zhuǎn)向平衡點(diǎn)的變化范圍減小，第1個(gè)平衡點(diǎn)會(huì)和第2個(gè)平衡點(diǎn)相互靠近，為后續(xù)的汽車轉(zhuǎn)向非線性穩(wěn)定性分析與控制提供了前提。