任意兩個(gè)平面多邊形螺線線圈間互感系數(shù)的解析模型

吳德會(huì)，陳紅富，王曉紅

(廈門大學(xué)航空航天學(xué)院，福建廈門361102)

平面螺線線圈已廣泛應(yīng)用于傳感器領(lǐng)域，如渦流傳感器[1]、無源無線傳感器[2-3]、植入式生物醫(yī)學(xué)傳感器[4]、核磁共振傳感器[5]、位移傳感器[6]和陣列渦流傳感器[7]等.其中，平面螺線線圈之間的互感(mutual inductance，MI)系數(shù)是上述傳感器和執(zhí)行器設(shè)計(jì)和優(yōu)化的重要基本參數(shù).

因此求解具有明確物理意義的MI系數(shù)公式始終是一個(gè)有意義的問題，它可以為設(shè)計(jì)人員提供直觀的見解.在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中，有幾種計(jì)算各種幾何形狀線圈之間的MI系數(shù)的方法，包括麥克斯韋公式[8]、Greenhouse方法[9]、格羅弗方法[10]和諾依曼積分[11].在這些方法中，Greenhouse方法是一種較為有效的方法：一個(gè)多匝線形線圈中總的MI系數(shù)是其兩兩單匝平行線圈之間的MI系數(shù)之和(M總=M1，2+M1,3+…+M1,n).然而，Greenhouse方法通常只適用于線形線圈，并且該方法一般需要計(jì)算機(jī)的輔助和繁瑣的初始值設(shè)置，操作性極其不便.

在現(xiàn)如今的研究中，也有大量關(guān)于圓形和矩形線圈的MI系數(shù)計(jì)算，但是關(guān)于八角形和六邊形線圈的MI系數(shù)研究卻很少.又因?yàn)榘私切魏土呅尉€圈在品質(zhì)因數(shù)方面比矩形線圈具有更好的性能[12].因此，六邊形和八邊形線圈的MI系數(shù)計(jì)算是一項(xiàng)有意義的研究.

據(jù)本文作者所知，六邊形和八邊形線圈的MI系數(shù)僅Tavakkoli等[13]研究過，Tavakkoli等將次級(jí)線形線圈的面積細(xì)分為多個(gè)三角形區(qū)域和正方形區(qū)域，并分別通過積分計(jì)算這些區(qū)域的相應(yīng)磁通量，然后得出總的MI系數(shù)為次級(jí)線圈上的總磁通量之和與激勵(lì)電流的比值.但該方法需要分別計(jì)算多個(gè)不同區(qū)域的磁通量，計(jì)算表達(dá)式比較復(fù)雜，并且該公式中兩線圈僅僅是同軸分布，沒有考慮線圈使用的實(shí)際情況，如線圈是存在相應(yīng)橫截面以及沒有考慮初級(jí)(TX)線圈和次級(jí)(RX)線圈在實(shí)際傳感器應(yīng)用中錯(cuò)位分布的情況，并且Tavakkoli等[13]的方法僅適用于六邊形和八邊形線圈，不適用于其他多邊形線圈.

本文針對(duì)現(xiàn)有問題，將任意多邊形螺線線圈劃分為多個(gè)三角形區(qū)域，統(tǒng)一的區(qū)域劃分簡(jiǎn)化了計(jì)算步驟，基于二階矢量位(SOVP)并引入頂角坐標(biāo)，優(yōu)化了復(fù)雜的MI系數(shù)計(jì)算公式，并且在公式中考慮了線圈橫截面這一幾何參數(shù)以及線圈之間的空間位置布局，從而更符合傳感器實(shí)際應(yīng)用情況.

1 多邊形線圈的電磁場(chǎng)

1.1 多邊形線形線圈

根據(jù)參考文獻(xiàn)[13]可知，螺線線圈可以被近似為一組同心單匝線圈.所以首先考慮具有n條邊的單匝多邊形線形線圈的情況，如圖1所示.任意形狀線形線圈的電磁場(chǎng)問題可以使用SOVP公式解決.根據(jù)Theodolidis等[14]的標(biāo)量勢(shì)計(jì)算公式可得該線形線圈初級(jí)場(chǎng)標(biāo)勢(shì)Wε：

{?Se-i(axs+bys)dxsdys}dadb,

(1)

圖1 n邊形線形線圈Fig.1Polygonal filament coil with n-sides

與Tavakkoli等[13]的方法不同，本文將區(qū)域S細(xì)分為n個(gè)三角形子區(qū)域.由頂點(diǎn)(xi,yi)、(xi+1,yi+1)和原點(diǎn)O組成的子區(qū)域表示為Si,其中：i表示多邊形的第i個(gè)頂點(diǎn)，即以頂點(diǎn)(x0,y0)為第零個(gè)點(diǎn)，按逆時(shí)針數(shù)多邊形的第i個(gè)頂點(diǎn).如圖2所示，子區(qū)域Si表示為：

(2)

其中，ki,ki+1,ki,i+1是三角分區(qū)中三條邊的斜率.設(shè)

(3)

(4)

對(duì)于具有n條邊的多邊形區(qū)域S,有

(5)

(6)

1.2 帶橫截面的多邊形線圈

假設(shè)TX線圈中的導(dǎo)體橫截面為矩形δ×w,其中，δ為線圈厚度，w為線圈寬度，而RX線圈中的導(dǎo)體橫截面為δ′×w′,如圖2所示.

圖2 兩個(gè)帶橫截面的錯(cuò)位分布的單匝多邊形線圈Fig.2Two misaligned single-turn polygonal coils with cross-sections

可以推導(dǎo)出單匝TX線圈的標(biāo)量勢(shì)Wsingle：

(7)

平面多匝螺線線圈如圖3所示，根據(jù)疊加原理，一個(gè)N匝螺線線圈的總標(biāo)量勢(shì)可以被表示為：

(8)

為了計(jì)算方便，引入極坐標(biāo)，即a=kcost,b=ksint.定義螺線線圈函數(shù)為Cspir,并將式(6)代入，可得

(9)

圖3 具有n條邊的 N 匝多邊形螺線線圈(俯視圖)Fig.3N-turns polygonal spiral coils with n-sides (top view)

從圖3中不難看出，第p匝的頂點(diǎn)坐標(biāo)(xp,i,yp,i)可以用極坐標(biāo)表示為：

(10)

其中，rc是中心線半徑，d是線間距.

將式(10)代入式(9)，可以得簡(jiǎn)化表達(dá)式：

(11)

2 多邊形螺線線圈的互感模型

(12)

其中，S表示線形線圈所圍成的區(qū)域，s表示線圈橫截面區(qū)域.

將式(8)和(11)代入(12)得到，

Φ=

(13)

定義螺線線圈函數(shù)的復(fù)共軛為：

(14)

此外，假設(shè)與 RX 線圈存在橫向錯(cuò)位(Δx,Δy),可以進(jìn)一步將螺線線圈函數(shù)的復(fù)共軛重新定義為：

(15)

式(13)中變量的積分z表達(dá)式可以由下式推導(dǎo)出

(16)

其中Δz是TX和RX線圈之間在Z方向上的距離.

將式(15)和(16)代入(13)，可以得到MI的計(jì)算公式：

(17)

由此可見，式 (17)是任意兩個(gè)多邊形螺線線圈之間MI通用計(jì)算公式. TX線圈是具有n條邊且橫截面為δ×w的N匝螺線線圈，RX線圈是m邊且橫截面δ′×w′的M匝螺線線圈.與現(xiàn)有研究相比，本文所提出的計(jì)算模型可以避免每匝線圈之間所有可能組合的互感疊加計(jì)算，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算流程.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的模型的可行性，使用PCB技術(shù)分別制作了八邊形螺線線圈和六邊形螺線線圈(圖4).實(shí)驗(yàn)中使用的八邊形和六邊形螺線線圈的尺寸分別列于表1中.

圖4 螺線線圈示意圖Fig.4Schematic diagram of spiral coil

表1 螺線線圈的幾何參數(shù)

為了開展實(shí)驗(yàn)研究，搭建了如圖5所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以測(cè)量?jī)蓚€(gè)錯(cuò)位線圈之間的互感.該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)主要由HIOKI IM3523 LCR 測(cè)量?jī)x、PCB線圈、換向開關(guān)等組成.

為了證明本文提出的互感計(jì)算模型很好地適用于兩種不同形狀的螺線線圈，因此在接下來的實(shí)驗(yàn)中以八角形螺線線圈作為TX線圈和六邊形螺線線圈作為RX線圈. TX線圈和RX線圈之間的縱向間距Δz、橫向錯(cuò)位(Δx,Δy)皆可調(diào).

圖5 測(cè)量互感的實(shí)驗(yàn)裝置Fig.5Experimental setup for measuring MI between two misaligned coils

(18)

如圖6所示，通過改變Z方向的間距和X與Y兩個(gè)方向的錯(cuò)位距離，設(shè)置兩組驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過程中，使用LCR測(cè)量?jī)x在最大激勵(lì)頻率200 kHz下測(cè)量同相和異相兩個(gè)線圈之間的電感.

圖6 兩個(gè)多邊形線圈的位置分布Fig.6Layouts of two polygonal spiral coils

第一組實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)螺線線圈最初是同軸排列的(即Δx=Δy=0)然后X-方向橫向錯(cuò)位Δx=20 mm與Y-方向橫向錯(cuò)位Δy=20 mm,如圖6(a)所示.在三種位置情況下，改變兩線圈Z-方向之間的間距，從10 mm逐漸增加到100 mm，每次變化的間隔為10 mm.為了驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，使用Mathematica 12.0數(shù)學(xué)軟件對(duì)式(17)進(jìn)行求解，得到相應(yīng)MI的理論值.計(jì)算與實(shí)測(cè)結(jié)果如圖7所示.

圖7 Z方向間距變化的線圈之間的互感Fig.7MI between two polygonal spiral coils with distance change

由圖7可知，互感的測(cè)量值與理論值吻合度很高，其中最大誤差數(shù)值為0.040 9 μH,最小誤差數(shù)值為0.004 7 μH,平均誤差數(shù)值為0.026 04 μH,相對(duì)誤差均小于2.5%.這些實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的模型可以有效地解決兩個(gè)不同形狀的多邊形螺線線圈之間的MI系數(shù)隨間距變化的計(jì)算問題.

第二組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行橫向錯(cuò)位實(shí)驗(yàn).將兩線圈Z方向的間距固定為10 mm，Y方向錯(cuò)位分別設(shè)置為0 mm、20 mm和30 mm，如圖6(b)所示.同時(shí)，X方向錯(cuò)位從0 mm逐漸變?yōu)?00 mm，間隔為10 mm.使用所提出的方法計(jì)算錯(cuò)位分布的兩個(gè)線圈之間的互感，并與測(cè)量值進(jìn)行比較.結(jié)果如圖8所示.

圖8 橫向錯(cuò)位變化的線圈之間的互感Fig.8MI between two polygonal spiral coils with lateral misalignment

從圖8中可以看出，所提出的方法也可用于有效地計(jì)算未對(duì)準(zhǔn)的MI.理論值和測(cè)量值之間的相對(duì)誤差約為3%.這種微小的差異可能是由于測(cè)量設(shè)置中的缺陷造成的，例如縱向間距、橫向錯(cuò)位、線圈的幾何參數(shù)以及連接器引起的寄生電感.

將本文算法與Tavakkoli方法的計(jì)算速度進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示，雖然計(jì)算速度相當(dāng)，但是本文提出的公式更具有通用性.

表2 本文提出的方法與Tavakkoli方法計(jì)算速度對(duì)比

4 結(jié) 論

1) 本文推導(dǎo)了正方形、五邊形、六邊形、八邊形等任意兩個(gè)正多邊形螺線線圈之間互感計(jì)算的一般解析公式. 兩個(gè)線圈可以是不同的線圈尺寸和幾何形狀，例如，八邊形線圈作為TX線圈和六邊形線圈作為RX線圈.

2) 使用所提出的公式解決的布局不僅包括同軸，而且包括不同方向的橫向錯(cuò)位.在分析模型中同樣考慮了導(dǎo)體的橫截面，這更符合實(shí)際線圈的情況.

3) 在本文提出的互感計(jì)算公式中，兩平面螺線線圈之間的互感直接使用TX線圈和RX線圈的系數(shù)計(jì)算.從而有效地避免了計(jì)算每匝線圈之間所有可能組合的互感疊加，因此本文提出的新互感計(jì)算公式比之前的更簡(jiǎn)便.