網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的動力學(xué)建模及其平衡點穩(wěn)定性分析

高衛(wèi)國, 蔡永麗

(淮陰師范學(xué)院 a. 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院; b. 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展,謠言傳播方式逐漸從人與人之間的口口相傳演變?yōu)橥ㄟ^微博、微信和抖音等新媒體社交平臺傳播, 且具有傳播速度快、影響范圍廣和危害程度高等特點, 故突發(fā)事件中網(wǎng)絡(luò)謠言傳播規(guī)律的研究尤為重要. 1964年, Daley等[1]率先利用傳染病動力學(xué)方法將人群分為無知者、傳謠者以及聽說過謠言但不傳謠者三類,研究了謠言傳播規(guī)律.此后, 大批學(xué)者應(yīng)用動力學(xué)模型探討謠言傳播機理,并為制定抑制網(wǎng)絡(luò)謠言擴散的相關(guān)策略提供了科學(xué)依據(jù). Zhao等[2]考慮不同傳謠者之間的通信對謠言傳播的影響 ,建立新的易感者-感染者-易感者(susceptible-infectious-susceptible, SIS)謠言傳播模型, 驗證行波解的存在性, 并分析了不同擴散形式對謠言傳播的影響; Zhang等[3]認(rèn)為真實信息傳播者的初始值越大謠言傳播者的峰值越小, 謠言傳播終止時間則越短; Huo等[4-6]考慮異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中的社會強化和遺忘因素, 證實謠言的最終大小與社會強化程度相關(guān), 還探討了考慮心理因素和時滯的謠言傳播模型的最優(yōu)控制問題, 通過建立具有脈沖效應(yīng)的官方信息與謠言傳播之間的相互作用模型,得到謠言消除和系統(tǒng)持久性的閾值; Yin等[7]探討了謠言和反謠言對信息傳播動力學(xué)的影響機制; Sun等[8]考慮心理因素對謠言傳播的影響建立了謠言傳播模型, 結(jié)果表明信任和關(guān)聯(lián)機制會擴大謠言規(guī)模和縮短終止時間; Cheng等[9]通過刪除謠言帖子或?qū)嵤┛破战逃炔呗钥刂浦{言傳播規(guī)模并優(yōu)化成本; 趙敏等[10]建立了一類具有政府控制效應(yīng)的社交網(wǎng)絡(luò)謠言傳播模型, 結(jié)果表明政府等相關(guān)部門采取積極的應(yīng)對策略有利于謠言傳播的有效控制. 謠言傳播的影響機制頗多,如監(jiān)管機構(gòu)對謠言的監(jiān)管效應(yīng)[11]、空間因素[12-13]及隨機因素[14-15]等．本文擬考慮政府干預(yù)效應(yīng)和智者影響力等因素對網(wǎng)絡(luò)謠言傳播的影響, 運用傳染病倉室動力學(xué)建模方法建立新的網(wǎng)絡(luò)謠言傳播動力學(xué)模型,并通過平衡點的穩(wěn)定性分析和數(shù)值模擬研究網(wǎng)絡(luò)謠言的傳播規(guī)律及其相應(yīng)的控制措施.

1 模型建立

借鑒傳染病動力學(xué)建模方法將總?cè)巳篘分為3個“倉室”, 記為u,v,w,分別代表無知者(對謠言一無所知且不具備辨識能力者)、傳謠者(肆意傳播謠言者)和智者(聽說過謠言但不傳播謠言且能夠進(jìn)行真相剖析并傳遞正確信息者)的密度．建立謠言傳播的微分方程模型:

(1)

其中輸入率常數(shù)Λ=μN, 移出率μ表示個體由于對事件本身失去興趣而退出系統(tǒng)的概率,N=u+v+w;α為傳播率;β為無知者與智者的接觸率;δ為傳播者與智者的接觸率;r為傳播者進(jìn)入智者倉室的速率;av/(1+bv) 表示政府部門干預(yù)對謠言傳播的影響,a為政府干預(yù)效應(yīng)參數(shù),b為飽和系數(shù).參數(shù)Λ,α,β,μ,δ,r,a,b均為非負(fù)常數(shù)．

由于u+v+w=N, 所以僅須通過簡化的平面系統(tǒng)

(2)

研究模型(1)的動力學(xué)行為．

2 平衡點的存在性及穩(wěn)定性

1) 模型(2)始終存在滅絕平衡點E0=(0, 0),傳謠者v和智者w都被移出系統(tǒng),即謠言系統(tǒng)消失;

2) 當(dāng)β>μ/N時, 模型(2)存在邊界平衡點E1=(0, (Nβ-μ)/β), 傳謠者v消失而智者w持續(xù)存在, 即謠言不攻自破;

3) 當(dāng)滿足條件(H)

定理1模型(2)的平衡點局部穩(wěn)定性結(jié)果如下:

1) 當(dāng)β≤μ/N且α<(a+μ)/N時,E0是局部漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)β>μ/N且α<β(a+μ)/μ時,E1是局部漸近穩(wěn)定的;

定理2對于模型(2), 當(dāng)條件(H)成立且α>ab-r時,E*是全局漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬與結(jié)果分析

下面根據(jù)定理1～2進(jìn)行數(shù)值模擬研究3類平衡點的穩(wěn)定性,以期進(jìn)一步研究網(wǎng)絡(luò)謠言傳播規(guī)律以及最終擴散狀態(tài),從而為控制網(wǎng)絡(luò)謠言傳播措施的制定提供科學(xué)依據(jù).

3.1 滅絕平衡點E0的穩(wěn)定性

由定理1可知, 當(dāng)β<μ/N且α<(a+μ)/N時, 模型(2)的解最終收斂到滅絕平衡點E0=(0,0), 即傳謠者和智者都被移出系統(tǒng), 謠言系統(tǒng)消失.選取參數(shù)α=0.2,N=2,δ=0.01,a=0.01,b=0.3,μ=0.5,β=0.2,r=0.5, 模型(2)的解趨于E0=(0,0)時的動力學(xué)行為如圖1所示.由圖1可知, 謠言自身沒有吸引力, 隨著時間的推移, 謠言消失.

圖1 滅絕平衡點E0的穩(wěn)定性Fig.1 The stability of the extinction equilibrium E0

3.2 邊界平衡點E1的穩(wěn)定性

由定理1可知, 當(dāng)β>μ/N且α<β(a+μ)/μ時, 邊界平衡點E1局部漸近穩(wěn)定, 即最終謠言傳播者移出系統(tǒng).選擇參數(shù)α=0.2,N=2,δ=0.01,a=0.01,b=0.3,μ=0.5,β=0.3,r=0.5, 模型(2)的解趨于平衡點E1=(0,0.33)時的動力學(xué)行為如圖2所示.由圖2可知, 該情形下謠言傳播者v趨于0,而智者w持久存在,智者的公信力較高,網(wǎng)民在其正確引導(dǎo)下對謠言具有一定的辨識能力,并且不信謠、不傳謠,最終傳播者被移出系統(tǒng),謠言銷聲匿跡.

圖2 邊界平衡點E1的穩(wěn)定性Fig.2 The stability of the boundary equilibrium E1

3.3 共存平衡點E*的穩(wěn)定性

圖3 共存平衡點E*的全局穩(wěn)定性Fig.3 The stability of the coexistence equilibrium E*

3.4 謠言傳播控制

為了進(jìn)一步研究謠言傳播規(guī)律, 現(xiàn)通過數(shù)值模擬分別探討傳謠者與傳播率α、接觸率β、移出率μ以及政府干預(yù)效應(yīng)a之間的關(guān)系, 結(jié)果如圖4所示.由圖4可見: 1) 隨傳播率α的增大,v(t) 逐漸增加.表明降低傳播率α在很大程度上可以減少傳謠者的數(shù)量; 2) 隨接觸率β或移出率μ的增大,v(t)均呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢.表明加強智者與無知者接觸,或網(wǎng)民對謠言興趣的衰減都可有效控制謠言傳播; 3) 隨政府干預(yù)效應(yīng)a的增大,v(t) 逐漸降低.表明政府部門的干預(yù)能夠有效控制謠言的傳播.

圖4 傳謠者v(t)與參數(shù)α(a)、β(b)、μ(c)和a(d)的關(guān)系Fig.4 The relations between v(t) with parameters α(a),β(b),μ(c) and a(d)