基于微元法思路的空氣阻力系數(shù)測(cè)定方法

吳雨珣 游 雁 方思云 陳志華 馮卓宏，2 賈翠紅，2

（1.福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院，福建 福州 350117；2.福建師范大學(xué)物理學(xué)國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，福建 福州 350117）

近幾年來(lái)，生活情境問(wèn)題逐漸被引入中學(xué)物理教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，更好地培養(yǎng)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的核心素養(yǎng).［1，2］與此同時(shí)，高考物理卷也通過(guò)真實(shí)情境類試題來(lái)進(jìn)行能力考核.［3，4］2019年及2020年，北京高考就分別考查了生活中常見(jiàn)的雨滴下落以及旋轉(zhuǎn)籃球的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，研究了空氣阻力對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響.［5，6］

空氣阻力系數(shù)是研究空氣阻力的重要參量，與空氣的粘滯系數(shù)，物體的運(yùn)動(dòng)速度以及物體的迎風(fēng)面積有關(guān).［7］空氣阻力是變力，其大小隨著物體運(yùn)動(dòng)速度的變化而發(fā)生變化，不易于直接測(cè)量.針對(duì)這類問(wèn)題，新魯科版物理教材給出了解決思路.必修教材第1冊(cè)第2章第2節(jié)在勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式推導(dǎo)過(guò)程的“方法點(diǎn)撥”中提出了無(wú)限元分割求和的方法，必修教材第2冊(cè)第1章第1節(jié)機(jī)械功的“拓展一步”中也通過(guò)圖像分割法研究變力做功.利用微元法解決變速、變力過(guò)程是高中物理的解題方法之一，［8－10］能夠清晰、簡(jiǎn)潔地解決相對(duì)較復(fù)雜的物理問(wèn)題，提升對(duì)物理概念的理解，同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力及開(kāi)展物理延展式教學(xué)的有利途徑.［11，12］

在此基礎(chǔ)上，本文利用微元求和思想設(shè)計(jì)了測(cè)量空氣阻力系數(shù)的新方法.在原有單擺裝置基礎(chǔ)上，引入高精度轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器作為擺頭，選擇合適長(zhǎng)度的細(xì)擺繩及較大尺寸的擺球，使擺球在空氣阻力下做欠阻尼擺動(dòng).設(shè)定合適的數(shù)據(jù)采集頻率，測(cè)量得到任意時(shí)刻的擺動(dòng)角度及角速度，計(jì)算微小時(shí)間間隔內(nèi)阻力所做功，并利用微元求和得到多個(gè)周期擺動(dòng)后空氣阻力所做的總功.以能量守恒為基礎(chǔ)，結(jié)合擺球重力勢(shì)能改變量準(zhǔn)確測(cè)定實(shí)驗(yàn)環(huán)境的空氣阻力系數(shù).

1 實(shí)驗(yàn)原理及方案

1.1 實(shí)驗(yàn)原理

質(zhì)量為m的擺球在豎直面內(nèi)擺動(dòng)，如圖1所示，擺長(zhǎng)為L(zhǎng).設(shè)擺球以初始擺角θ1開(kāi)始擺動(dòng)，在擺動(dòng)過(guò)程中分別受到重力、擺繩拉力及空氣阻力的作用，其中，空氣阻力起到阻礙作用，使得擺動(dòng)幅度逐漸減小.設(shè)擺動(dòng)n個(gè)周期后擺角減為θ2，此時(shí)擺球的動(dòng)能為0，擺動(dòng)過(guò)程中重力勢(shì)能減少量為

圖1 實(shí)驗(yàn)原理圖

某一時(shí)刻擺球受到的空氣阻力f為［13，14］

式中，B表示阻力系數(shù)，v和ω分別表示該時(shí)刻擺球的擺動(dòng)線速度和角速度.在一較短的時(shí)間間隔Δt內(nèi)，擺球擺過(guò)角度為Δθ，移動(dòng)路程為Δs，則空氣阻力所做的功可以表示為

由能量守恒可知，擺動(dòng)n個(gè)周期后，擺球重力勢(shì)能的變化量等于擺動(dòng)過(guò)程中克服阻力所做的功，即

聯(lián)立以上式子可得到空氣阻力系數(shù)

通過(guò)PASCO系統(tǒng)實(shí)時(shí)測(cè)量擺球的角速度和擺角，得到如圖2所示的ω－θ關(guān)系曲線.在圖像中取微元，如圖2陰影部分，其面積為ωΔθ，再通過(guò)微元求和的方式得到曲線下方的總面積∑ωΔθ，代入（5）式就可以準(zhǔn)確測(cè)定空氣阻力系數(shù).

圖2 微元ωΔθ計(jì)算示意圖

1.2 實(shí)驗(yàn)方案

本實(shí)驗(yàn)采用PASCO的PS－2020A型轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器作為擺頭.該傳感器通過(guò)帶有斷續(xù)器的齒輪切割光電門(mén)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)角度的測(cè)量，其內(nèi)部的光學(xué)碼盤(pán)每轉(zhuǎn)（360°）有4000個(gè)分度，最大轉(zhuǎn)動(dòng)速度為每秒30轉(zhuǎn)，測(cè)量的分辨率為0.09°，能夠?qū)崿F(xiàn)正負(fù)方向角度變化的持續(xù)測(cè)量.一輕質(zhì)且線徑較小細(xì)線的一端與轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器三級(jí)滑輪的螺栓相系并緊固，保證轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器與擺線同步轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一直徑為0.09914 m，質(zhì)量為0.52886 kg的大擺球，使大擺球在鉛直平面內(nèi)擺動(dòng)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.實(shí)驗(yàn)中，擺長(zhǎng)為0.9836 m，采樣頻率為40 Hz，通過(guò)PASCO數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)實(shí)時(shí)采集擺球擺動(dòng)的擺角θ和角速度ω.

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

采用大擺球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，以增大空氣阻力的作用.實(shí)驗(yàn)前，設(shè)置相同初始擺角，測(cè)得安裝轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器情況下，擺球從起擺到靜止所耗費(fèi)的時(shí)間為6分40秒，而擺球直接懸掛于普通擺頭的情況下所耗費(fèi)的時(shí)間為6分43秒.由此可見(jiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器的轉(zhuǎn)軸阻力可以忽略，球體在擺動(dòng)過(guò)程中受到的阻力近似只來(lái)自于空氣阻力.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

通過(guò)采集軟件得到部分實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，如圖4所示.從圖中可見(jiàn)，擺角θ和對(duì)應(yīng)的角速度ω均隨時(shí)間呈現(xiàn)周期性變化，擺角最大處角速度為0，擺角為0處角速度最大，但擺動(dòng)幅度及角速度最大值均隨擺動(dòng)時(shí)間的增加而逐漸減小.可見(jiàn)，在擺動(dòng)過(guò)程中擺球的機(jī)械能逐漸減少.

圖4 擺角θ、角速度ω隨時(shí)間t變化規(guī)律

通過(guò)實(shí)時(shí)采集的數(shù)據(jù)就可以描繪角速度ω隨擺角θ變化的ω—θ曲線，如圖5所示.然后利用數(shù)據(jù)處理軟件即可計(jì)算曲線所圍成圖形的總面積∑ωΔθ，進(jìn)而得到實(shí)驗(yàn)環(huán)境下空氣的阻力系數(shù).本實(shí)驗(yàn)中空氣阻力是一個(gè)微小物理量，為使阻力對(duì)擺球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響效果更加明顯，圖5中選取了36個(gè)周期的數(shù)據(jù)進(jìn)行求和計(jì)算.由于空氣阻力做負(fù)功，隨著擺動(dòng)時(shí)間增加，圖像呈現(xiàn)內(nèi)螺旋狀變化，擺動(dòng)最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度及擺動(dòng)最低點(diǎn)的速度不斷減小.通過(guò)origin軟件對(duì)ω—θ數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并計(jì)算數(shù)據(jù)采集時(shí)間間隔內(nèi)兩者所圍成的面積，求和所得結(jié)果計(jì)算出擺動(dòng)36個(gè)周期總面積Sω－θ的大小，即 ∑ωΔθ＝58.20 rad2／s.通過(guò)原始實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)記錄確定擺角θ1與θ2分別為0.463 rad與0.358 rad，根據(jù)公式 （5）得到實(shí)驗(yàn)環(huán)境下空氣的阻力系數(shù)B＝3.788×10－3kg／s.

圖5 擺動(dòng)過(guò)程中角速度與擺角的關(guān)系

為了進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性，在同一實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，探究阻力系數(shù)與擺長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)果如表1所示.不同擺長(zhǎng)的情況下測(cè)得的阻力系數(shù)基本相同，其平均值為3.947×10－3kg／s，均方差大小為0.060，說(shuō)明該方案重復(fù)可靠性高且測(cè)量結(jié)果較為準(zhǔn)確.

表1 不同擺長(zhǎng)的阻力系數(shù)

3 結(jié)論

本文利用微元法的思想設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案測(cè)量了空氣阻力系數(shù).實(shí)驗(yàn)在單擺裝置基礎(chǔ)上，利用高頻轉(zhuǎn)動(dòng)傳感器測(cè)量擺動(dòng)過(guò)程的實(shí)時(shí)擺角、角速度，計(jì)算微小時(shí)間間隔內(nèi)空氣阻力做功，結(jié)合數(shù)據(jù)處理軟件的積分功能得到了擺動(dòng)36個(gè)周期后空氣阻力所做總功.以此為基礎(chǔ)，通過(guò)能量守恒定律，結(jié)合重力勢(shì)能改變量測(cè)定實(shí)驗(yàn)環(huán)境的空氣阻力系數(shù)為3.947×10－3kg／s.在保證相同實(shí)驗(yàn)環(huán)境前提下，測(cè)量了不同擺長(zhǎng)情況下的空氣阻力系數(shù)，所得結(jié)果基本一致，證明了該方法的可靠性.

本實(shí)驗(yàn)方案操作簡(jiǎn)單，采集數(shù)據(jù)可靠，結(jié)合數(shù)據(jù)處理軟件能夠快速、準(zhǔn)確地測(cè)定空氣的阻力系數(shù)，具有一定的應(yīng)用價(jià)值.此外，這種利用微元法處理變力做功問(wèn)題的思路有助于開(kāi)闊學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，具有實(shí)踐教育意義.