關(guān)聯(lián)代數(shù)上的左導(dǎo)子

俞慧玲

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

算子代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分，近年來許多學(xué)者致力于算子代數(shù)及其算子代數(shù)上映射的研究.

導(dǎo)子對(duì)算子代數(shù)和算子理論有著重要的研究?jī)r(jià)值.文獻(xiàn)[1]研究了三角環(huán)上與素環(huán)上的左導(dǎo)子和Jordan左導(dǎo)子，并且從不同的角度給出了左導(dǎo)子和Jordan左導(dǎo)子的刻畫:假設(shè)R是一個(gè)結(jié)合環(huán)，我們稱δ是左導(dǎo)子，如果對(duì)任意x,y∈R,有δ(xy)=yδ(x)+xδ(y);是Jordan左導(dǎo)子，如果δ(A2)=2δ(A).鄭春明[2]于2012年研究了算子代數(shù)上的一些映射，這些映射主要包括：導(dǎo)子，Jordan導(dǎo)子，Lie-導(dǎo)子，Lie-ξ導(dǎo)子，左導(dǎo)子，Jordan左導(dǎo)子以及2-局部導(dǎo)子.文獻(xiàn)[3]刻畫了Banach代數(shù)與素環(huán)上的左導(dǎo)子.文獻(xiàn)[4]中提出了關(guān)聯(lián)代數(shù)上導(dǎo)子的滿足形式和系數(shù)關(guān)系.肖占魁[5]于2015年研究了定義在局部有限預(yù)序集上的約當(dāng)導(dǎo)子;賈宏宇[6]于2020年刻畫了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的交換映射，為進(jìn)一步研究關(guān)聯(lián)代數(shù)的李同構(gòu)做了一些理論基礎(chǔ).文獻(xiàn)[7]研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的李-n導(dǎo)子.文獻(xiàn)[8]研究了關(guān)聯(lián)代數(shù)上的加法導(dǎo)子.本文主要研究關(guān)聯(lián)代數(shù)上的左導(dǎo)子，以及左導(dǎo)子滿足的形式和系數(shù)關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]有限預(yù)序集的定義

若集合X中的二元關(guān)系≤滿足以下兩個(gè)條件：

(1)?x∈X有x≤x，

(2)?x,y,z∈X,若有x≤y并且y≤z?x≤z，

則稱X是一個(gè)預(yù)序集，記做(X,≤).

定義2[1]關(guān)聯(lián)代數(shù)的定義

設(shè)R是一個(gè)含單位元的交換環(huán)，(X,≤)是一個(gè)局部有限預(yù)序集，即≤滿足自反性，傳遞性，且對(duì)任意的x,y∈X，且x≤y，至多存在有限個(gè)元素z∈X滿足x≤z≤y，由此可在R上定義關(guān)于X的關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)：

I(X,R)={f:X×X→R|f(x,y),若x≤y不成立}，

代數(shù)運(yùn)算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y)，

(rf)(x,y)=rf(x,y)，

?f,g∈I(X,R),r∈R,x,y,z∈X.乘積fg在函數(shù)論中被稱為卷積.

定義3[1]再給出基元的定義

關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的單位元θ定義為θ(x,y)=θxy,x≤y其中θxy∈{0,1}是一個(gè)Kronecker符號(hào)，若任意的x,y∈X滿足x≤y，則可定義關(guān)聯(lián)代數(shù)I(X,R)上的基元exy

關(guān)聯(lián)代數(shù)上的一組線性基記為A={exy|x≤y>}.

2 主要定理

引理設(shè)A是域R上的代數(shù)且存在一組線性基Y，則R-線性算子δ:A→A是一個(gè)左導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x,y∈Y，δ滿足δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

證明 先證明充分性.假設(shè)m,n∈A及

其中CX,Cy∈R,則有

將系數(shù)提出后得

由于在Y中成立所以又可得出

=nδ(m)+mδ(n).

必要性

綜上可得出式子

δ(xy)=yδ(x)+xδ(y).

證畢.

定理設(shè)δ：I(X,R)→(X,R)是一個(gè)R—線性算子，則δ是左導(dǎo)子當(dāng)且僅當(dāng)δ滿足δ(eij)≡0.

證明 由左導(dǎo)子的定義有δ(AB)=Bδ(A)+Aδ(B).

i=j時(shí)可得，

δ(eii)=δ(eii·eii)=eiiδ(eii)+eiiδ(eii)=2eiiδ(eii)

得δ(eii)=2eiiδ(eii),

兩邊同時(shí)左乘eii得

eiiδ(eii)=2eiiδ(eii),

所以eiiδ(eii)=0，最終可得δ(eii)=0，同理δ(ejj)=0

i≠j時(shí)，

δ(eij)=δ(eiieijejj)=δ(eii·eijejj)=eijejjδ(eii)+eiiδ(eijejj)

(1)

從上面可得δ(eii)=0代入上式可得：

δ(eij)=eiiδ(eijejj)，

且由左導(dǎo)子定義可得：

δ(eijejj)=ejjδ(eij)+eijδ(ejj)=ejjδ(eij)

(2)

將(2)代入到(1)可得到：

δ(eij)=eiiejjδ(eij)

最后再由卷積的定義，eiiejj=θijeij，僅在i=j的時(shí)候成立.所以eiiejj=0，所以δ(eij)=0

綜上能夠得出δ(eij)≡0.證畢