基于數(shù)字反向透熱補償?shù)牧孔铀惴?/h1>
2022-12-06 14:38:26王佳楠丁泳程郝敏佳陳璽
上海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2022年5期 關(guān)鍵詞：優(yōu)化
王佳楠,丁泳程,郝敏佳,陳璽
(上海大學(xué)理學(xué)院,上海 200444)
2020年10月16日,習(xí)近平總書記在中共中央政治局第二十四次集體學(xué)習(xí)時強調(diào),要充分推動量子科技發(fā)展,加強量子科技發(fā)展戰(zhàn)略謀劃和系統(tǒng)布局,把握大趨勢.近年來,量子科技的發(fā)展具有重大科學(xué)意義和戰(zhàn)略價值,是一項對傳統(tǒng)技術(shù)體系產(chǎn)生沖擊、進行重構(gòu)的顛覆性技術(shù)創(chuàng)新,將引領(lǐng)新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革.量子計算被認為是未來具有重大影響力的新型計算模式之一.與傳統(tǒng)計算機不同,量子計算機遵循量子力學(xué)規(guī)律,通過量子比特進行信息處理;基于微觀量子比特的相干疊加和糾纏等特性以及量子電路的可逆性,在計算速度和能耗方面大大優(yōu)于傳統(tǒng)計算機[1].隨著研究的不斷發(fā)展,未來量子計算在人工智能、數(shù)據(jù)搜索、材料設(shè)計、生物制藥等方面具有極大的潛在應(yīng)用價值.2019年,谷歌推出名為Sycamore的量子處理器[2],集成53個量子比特,僅用200 s就能處理世界第一超算Summit計算一萬年的實驗,正式宣布實現(xiàn)了量子優(yōu)越性.2020年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團隊成功構(gòu)建了76個光子的量子計算原型機“九章”,這一突破使我國成為全球第2個實現(xiàn)量子優(yōu)越性的國家[3].
眾所周知,著名物理學(xué)家Feynman[4]于1982年首次提出量子模擬的概念.隨后,Deutsch和Jozsa提出了Deutsch-Jozsa量子算法,展示了量子計算與經(jīng)典計算的差異性[1].值得指出的是,1994年起Shor[5-6]提出了量子分解演算法——Shor算法,證明量子計算機在解決質(zhì)因數(shù)分解問題上的速度遠勝于經(jīng)典計算機,使量子計算變成了熱門的研究話題.1996年,Grover[7]發(fā)展了Grover量子搜索算法,在數(shù)據(jù)規(guī)模較大的情況下該算法的優(yōu)越性十分驚人.近年來,人們還研究了許多有實際應(yīng)用價值的量子算法,如量子行走、量子退火、量子玻色采樣等,這些算法的研究在量子計算領(lǐng)域十分重要.尤其是對于量子退火[8],D-Wave于2011年宣布推出市場上第一款商用型量子計算機D-Wave One[9].運用量子絕熱定理的量子退火技術(shù)并結(jié)合128個量子比特,可用于解決組合優(yōu)化、旅行商等最優(yōu)化問題.
目前,量子科技正處于含噪聲中等規(guī)模量子時代[10],即從目前的硬件條件來看,在短時間內(nèi)實現(xiàn)容錯對于通用量子計算機來說是非常困難的.為此,Cerezo等[11]提出了變分量子算法,適用于含噪聲中等規(guī)模量子器件的算法.這類算法是將經(jīng)典算法與量子算法相結(jié)合,利用具有變分參數(shù)的量子電路,借助經(jīng)典優(yōu)化器最小化代價函數(shù).實際上,最早提出的變分量子算法是變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[12-16],該算法不僅能保證量子態(tài)的相干性,其計算結(jié)果還能達到足夠的精度,在量子化學(xué)、量子多體物理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.另外,變分量子算法也可以解決一些優(yōu)化問題.2014年,Farhi等[17]在絕熱量子算法的基礎(chǔ)上發(fā)表了量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA),通過在已知的初始基態(tài)上交替作用演化算符來求解經(jīng)典哈密頓量的基態(tài).該算法常用來解決組合優(yōu)化問題[18-23],最為典型的案例就是最大切割問題.雖然QAOA不能保證總能獲得全局最優(yōu)解,但是在含噪聲中等規(guī)模量子時代可以解決大部分實際問題.總之,變分量子算法結(jié)合了量子計算和經(jīng)典優(yōu)化器的優(yōu)勢,具有較好的發(fā)展前景.當(dāng)然,該算法也存在一些局限性,如量子線路的可表達性、可訓(xùn)練性以及局部優(yōu)化問題等[24].
近年來,上海大學(xué)陳璽教授及其合作者[25-28]提出了利用量子絕熱捷徑技術(shù)加速絕熱慢過程,成為了當(dāng)前國內(nèi)外量子調(diào)控研究的一個主要方法,并廣泛應(yīng)用于量子信息處理和量子計算等領(lǐng)域.隨著理論和實踐的不斷發(fā)展,人們可以通過變分法[29-30]、局域反向透熱補償法[31-32]和Floquet控制[33-34]等設(shè)計出不同系統(tǒng)的量子絕熱捷徑,以達到快速且高保真的量子態(tài)制備或操控.這里,反向透熱補償法可以在多體自旋體系中實現(xiàn)量子退火的加速[35-38].受到美國Google公司數(shù)字絕熱量子計算工作的啟發(fā)[39],本工作提出了數(shù)字量子絕熱捷徑計算的概念[40],并將其應(yīng)用于量子因子分解[19]、投資組合優(yōu)化[20]、組合優(yōu)化[21]等方面.由此可見,量子絕熱捷徑中的數(shù)字反向透熱補償在量子絕熱算法中起到了催化作用[41],同時數(shù)字反向透熱補償項能提供更多擬設(shè),加速基態(tài)收斂,提高相關(guān)變分量子算法的性能.該方法被浙江大學(xué)尹藝和中科大郭國平課題組用于量子化學(xué)中電子態(tài)能量的計算[42].合肥本源量子計算科技有限公司也關(guān)注到了此方面的工作,將量子絕熱捷徑應(yīng)用于QAOA中的解決組合優(yōu)化問題[19].因此,基于數(shù)字反向透熱補償?shù)牧孔铀惴捌鋺?yīng)用成為量子計算的研究熱點[43-44].
本工作以氫原子基態(tài)能量計算為例,首先通過反向透熱補償法設(shè)計絕熱捷徑,加速絕熱量子計算;其次,結(jié)合VQE對反向透熱補償項進行優(yōu)化,提高量子算法性能.研究結(jié)果表明,絕熱捷徑能夠有效加速系統(tǒng)的演化時間,并且利用較少的迭代次數(shù)得到較高精確度.可見,基于數(shù)字反向透熱補償?shù)牧孔铀惴ㄔ诹孔踊瘜W(xué)中具有重要的應(yīng)用前景.
1 模型與哈密頓量
本工作首先考慮一般的分子哈密頓量,即包含如下部分:①每對核的核-核相互作用;②每個電子和每個原子核的電子-核引力;③每個核的動能;④每個電子的動能;⑤電子間的相互作用.圖1為一個分子坐標(biāo)系,圖中分子內(nèi)部存在相互作用[45].如果一個分子有N個電子和M個原子,以原子單位表示的哈密頓量為
式中:A、B點為原子核;ZA為A的原子序數(shù);MA為A的質(zhì)量;i、j表示為電子.
由于原子核質(zhì)量遠大于電子質(zhì)量,故原子核與電子相比移動速度很慢,可以通過玻恩-奧本海默近似來忽略原子核的動能.因此,將電子視作在固定核的場中運動,也就是說原子核之間的距離是恒定的.此外,電子波函數(shù)與核波函數(shù)是獨立的,可以把總的波函數(shù)寫成二者的直積:這里忽略核項,可將式(1)的電子哈密頓量寫成這部分也即氫氣分子的電子哈密頓量.
1.1 二次量子化
式(2)為一次量子化哈密頓量.將動量表象和位置表象變換到粒子數(shù)表象,并通過產(chǎn)生算符和湮滅算符ai來實現(xiàn)二次量子化,其中產(chǎn)生算法和湮滅算法滿足反對易關(guān)系由此得到如下二次量子化的哈密頓量:
式中:hij、hijkl分別為依賴于核間距R的單電子積分和雙電子積分,即
當(dāng)χα(α=i,j,k,l)表示為不同單電子自旋軌道波函數(shù),x1和x2表示為不同電子的位置時,具體hij、hijkl的積分可通過計算求得(見表1).
表1 核間距為R=0.74×10?10 m時的單電子積分和雙電子積分Table 1 One-and two-electron integrals when internuclear distance R=0.74×10?10 m
1.2 Bravyi-Kitaev變換
為了數(shù)字模擬氫分子,通常需要把哈密頓量映射成量子比特的形式,并利用量子比特來表示費米子的自由度[46-47].常見的方法有Jordan-Wigner(JW)變換[48]和Bravyi-Kitaev(BK)變換[49-50],其中JW變換的優(yōu)點在于簡單,但變換前后所需量子比特數(shù)不變,不利于后續(xù)研究.因此,本工作在量子計算實例中采用BK變換以減少量子比特數(shù).
在介紹BK變換之前需要定義一些量子比特集,這些量子比特集包含了將費米子算符應(yīng)用于量子態(tài)所需的信息(fi表示第i個自旋軌道).
(1)更新集U(i).包含除i以外的量子比特,當(dāng)軌道i的占有數(shù)fi改變時,這些量子比特必須更新.
(2)宇稱集P(i).存儲指數(shù)小于i的所有軌道宇稱的量子比特,
(3)翻轉(zhuǎn)集F(i).宇稱集的子集,確定量子比特i是否與軌道i具有相同宇稱.
(4)余子集R(i).宇稱集的子集,也是翻轉(zhuǎn)集的補集,R(i)=P(i)F(i).
對于軌道指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),BK基的映射是非常不同的,因此需要區(qū)分這2種情況:
式中:Γj(Γ=X,Y,Z)表示將Pauli-Γ算符作用在第j個量子比特上.從而得到對應(yīng)的哈密頓量為
這里,量子位1和3上只作用了Z門,故僅產(chǎn)生相位變化.根據(jù)這一特點,可將哈密頓量減少到2個量子比特.與此同時,可以再利用簡化對應(yīng)于量子位1和3的門.當(dāng)假設(shè)BK基中的初態(tài)為時,量子位1、3都處于|0〉態(tài),其關(guān)于Z門的本征值為+1,因此用2個量子比特可將初態(tài)表示為.為了與后續(xù)模擬時的量子位對應(yīng),將下標(biāo)0、2改為0、1,由此最終哈密頓量為
2 反向透熱補償及其數(shù)字化
2.1 反向透熱補償法
如上所述,反向透熱補償有助于加快量子絕熱過程.從多年的研究可以看到,VQE或QAOA的目的是利用量子-經(jīng)典混合算法這一框架,求解出問題哈密頓量在低能下的位形,這與量子絕熱捷徑通過一個物理過程實現(xiàn)(末態(tài))激發(fā)能量最小的原理是相通的.因此,下面將聚焦于數(shù)字反向透熱補償在量子算法中的應(yīng)用研究,以期提升算法表現(xiàn).為了由2個獨立無相互作用的原子態(tài)H0制備一個氫分子基態(tài)Hf,可以根據(jù)絕熱量子計算的思想,設(shè)計出含時哈密頓量H(t)=H0+λ(t)(Hf?H0),其中λ(t)=sin2(πt/T)∈[0,1],T為演化時間.將H0和Hf代入上式,可得
式中:H0=g0Z0+g1Z1,且系數(shù)分別為g0=1.252 0,g1=0.475 0,g2=0.909 5,g3=?0.921 0,g4=0.572 5,g5=0.090 5.當(dāng)演化時間T足夠大時,根據(jù)量子絕熱定理系統(tǒng)沿著其瞬時本征態(tài)演化[51]:
2.1.1 局域反向透熱補償
根據(jù)式(11),可以得到精確補償項的計算方式[31-32]:
那么在Htot(t)=Had(t)+Hcd(t)的共同作用下,系統(tǒng)的量子態(tài)可以在有限時間T內(nèi)演化到|φn(H)〉.換一種形式,Hcd(t)可以寫為[31,35]
式中:h(t)為一個單自旋的外加磁場.進一步推廣至N個量子比特,這類被稱作局域的反向透熱補償將不再有效[40].更需要指出的是,Zhang等[42]中采用了單比特近似,但是在量子化學(xué)問題中隨著分子核間距的增大,該近似方法同樣也會失效.
2.1.2 近似反向透熱補償
Polkonikova等[30]指出了反向透熱補償與絕熱規(guī)范勢之間的聯(lián)系,即Hcd(t)=,式中為絕熱規(guī)范勢.進一步由Floquet控制思想,可以將規(guī)范勢近似寫成
式中:系數(shù){α1,α2,···,αl}可以通過最小化Sl得到,當(dāng)l→∞時,為精確的規(guī)范勢,為簡單起見,這里取l=1,即為使S1最小時的系數(shù).由上所述,哈密頓量所對應(yīng)的近似Hcd(t)為
式中:系數(shù)gcd(t)為
因此,氫氣分子的總哈密頓量Htot(t)為
式中:ω1(t)=g0+λ(t)g2,ω2(t)=g1+λ(t)g3,ω3(t)=λ(t)g4,ω4(t)=λ(t)g5,ω5(t)=gcd(t).
2.2 數(shù)字量子模擬
利用一階Trotter-Suzuki公式[52]:ei(A+B)t≈eiA?teiB?t+O(?t2),?t=T/n,可將Htot(t)對應(yīng)的時間演化算符U(t)離散化為U≈UnUn?1···U1,其中Um=1,2,···,n=exp(?iHtot(m?t)?t).圖2為數(shù)字化絕熱捷徑(digitized shortcuts to adiabaticity,STA)過程線路示意圖.圖中,以上述哈密頓量以量子門的形式添加到線路中進行數(shù)字模擬,其中初態(tài)為|01〉,即在|q0〉上應(yīng)用一個X門,Un表示為每一步的演化算符,步長為?t.
圖2 數(shù)字化絕熱捷徑過程線路示意圖Fig.2 Schematic diagram of digitized shortcuts to adiabaticity
第m步的時間演化算符可以拆分為,其中參數(shù)滿足系統(tǒng)的總演化時間T隨著步數(shù)的增加而變長,以?t=0.1為例進行分析,在圖3(a)中絕熱過程大約需要50步才能接近于基態(tài).但是采用近似反向透熱補償只需20步就可收斂于基態(tài),明顯加快了演化過程,從而實現(xiàn)量子絕熱捷徑.在相同步數(shù)的情況下對?t=0.2進行比較,表明2種過程的趨勢與?t=0.1是一致的(見圖3(b)).
圖3 比較絕熱演化(虛線)及絕熱捷徑演化(實線)所得基態(tài)能量Fig.3 Comparison of ground state energies obtained from adiabatic evolution(dotted)and the STA(solid)
表2比較了絕熱和絕熱捷徑這2個過程所需量子門數(shù)量.結(jié)合圖3可以得出結(jié)論:絕熱過程至少需要19×50個量子門,相比之下,絕熱捷徑雖然每一步都需要更多量子門,但其總數(shù)遠遠少于絕熱過程,即絕熱捷徑不僅可以縮短系統(tǒng)的演化時間,還可以減少量子門數(shù)量.這一點在量子線路具有噪聲時顯得特別重要.
表2 絕熱和絕熱捷徑2個過程所需的量子門數(shù)量Table 2 Numbers of quantum gates required for adiabatic and STA
為了更好地描述不同?t的能量對比,定義精度
式中:E為系統(tǒng)對應(yīng)的步數(shù)能量;Eexact為系統(tǒng)的精確基態(tài)能量.圖4為?t=0.1和?t=0.2的能量精度,實線表示當(dāng)?t=0.1時的絕熱與絕熱捷徑(紅色表示絕熱,藍色表示絕熱捷徑),虛線表示當(dāng)?t=0.2時的絕熱與絕熱捷徑.雖然這2個過程的趨勢相同,但是當(dāng)?t=0.2時精度明顯降低,說明?t的選取對演化結(jié)果也會產(chǎn)生影響,可見需要選擇合適的?t.
圖4 ?t=0.1與?t=0.2時的能量精度比較Fig.4 Comparison of energy accuracy between?t=0.1 and?t=0.2
3 變分線路的最優(yōu)化
變分量子算法可用于復(fù)雜波函數(shù)建模,成為量子計算中最有前景的算法之一.VQE是最先被提出的變分量子算法,使用變分原理計算哈密頓量的基態(tài)能量,被認為是量子化學(xué)的核心.利用變分量子線路優(yōu)化近似反向透熱補償,首先利用初態(tài)|01〉以及對Htot(t)的離散化得到對應(yīng)的試驗態(tài),隨后計算試驗態(tài)的能量期望值.在這個過程中,將Htot(t)離散化得到的量子線路作為擬設(shè),通過調(diào)節(jié)Hcd(t)中的系數(shù)gcd(t)對線路進行優(yōu)化(見圖5).這里主要采用梯度下降優(yōu)化器來進行操作,該優(yōu)化器通過以下規(guī)則來更新參數(shù):
式中:η為優(yōu)化步長參數(shù)(η=0.4).以n=4為例,設(shè)定系統(tǒng)演化總時長T=1,那么線路中的初始參數(shù)為gcd(m?t),其中m=1,2,3.如圖5(a)所示,橫坐標(biāo)為參數(shù)更新的次數(shù),當(dāng)更新21次后系統(tǒng)能量期望值的精度由10?3提高至10?5.圖5(b)為優(yōu)化前后的gcd(t),圓點表示參數(shù)值.實際上,可以設(shè)定收斂值C,這個值越小參數(shù)更新次數(shù)越多;當(dāng)C為10?10時需要更新67次精度才能達到10?9.
圖5 應(yīng)用變分思想對補償項進行優(yōu)化(設(shè)定收斂值為C=10?6,需要更新21次,且優(yōu)化后gcd(t)強度增大)Fig.5 Counter-diabatic term is optimized by using the variational idea(Setting C=10?6,the parameters need to be updated 21 times,and the strength of gcd(t)increases after optimization)
將圖5(b)中優(yōu)化前后的參數(shù)帶入量子線路中,得到每一步量子態(tài)對應(yīng)的能量精度.雖然絕熱捷徑的能量已經(jīng)接近基態(tài)能量,但優(yōu)化后精度明顯提高,在n=4時精度達到10?5.與絕熱捷徑相比,優(yōu)化后速度更快結(jié)果更精確.
圖6 當(dāng)T=1,n=4時,絕熱捷徑與優(yōu)化后的能量精度對比Fig.6 Comparison of accuracy between STA and optimization when T=1,n=4
事實上,在計算近似補償項時只取了1階,但是在計算2階時發(fā)現(xiàn)0,也就是說式(16)是個精確解.當(dāng)考慮大分子時,需要更多的量子比特以及多體相互作用,同時需要引入2階甚至更高階反向透熱補償項,這在后續(xù)工作中值得進一步優(yōu)化以及考慮量子線路的實現(xiàn).
另外,由于在模擬過程中采用了Trotter-Suzuki展開,并忽略了O(?t2),故引入優(yōu)化的反向透熱補償項能有效抑制Trotter誤差.然而隨著更高階的引入,雖然可以提高精度,但是每個步驟則需要更多的門或?qū)崿F(xiàn)多體相互作用,這使得量子線路的復(fù)雜度增大.因此,后續(xù)研究量子門數(shù)目、線路復(fù)雜度、絕熱誤差、Trotter誤差之間的關(guān)系成為重要課題.
4 總結(jié)
本工作以量子化學(xué)為例介紹了基于數(shù)字反向透熱的量子算法以及優(yōu)化等.為了詳細介紹相關(guān)領(lǐng)域的背景和進展,首先構(gòu)造了氫氣分子的哈密頓量并對其進行變換,利用產(chǎn)生算符和湮滅算符,將動量與相對位置表象變換到離散化的粒子數(shù)表象,可以得到二次量子化的形式;再通過BK變換把哈密頓量從費米子算符轉(zhuǎn)換為Pauli算符和的形式,以便在量子計算機上進行模擬.為了解決絕熱演化時間過長的問題,首先利用反向透熱補償法,通過找到一個額外的哈密頓量作為補償項來實現(xiàn)系統(tǒng)的快速絕熱;然后將總哈密頓量通過Trotter-Suzuki展開進行數(shù)字量子模擬,以便在較少的步數(shù)內(nèi)達到目標(biāo)態(tài)且保持高保真度;最后借助VQE來優(yōu)化補償項,使結(jié)果更加精確且更新次數(shù)減少.
量子化學(xué)是量子計算中重要的應(yīng)用之一.人們已經(jīng)在光量子處理器上驗證了變分法求解特征值[13],并通過量子化學(xué)計算了分子的基態(tài)能量.谷歌AI量子團隊使用VQE實現(xiàn)了迄今為止最大規(guī)模的化學(xué)模擬計算[16],為量子算法的改進和應(yīng)用提供了新方向.如何結(jié)合機器學(xué)習(xí),將基于數(shù)字反向透熱的量子算法用于計算大分子量子模擬[53]、激發(fā)態(tài)能譜計算,甚至量子材料的設(shè)計[54]等將是后續(xù)研究的重點,也是有望在這些應(yīng)用中展現(xiàn)出在含噪聲中等規(guī)模量子時代的量子優(yōu)勢.
最后,必須指出的是,本工作以量子化學(xué)為例展示了基于數(shù)字反向透熱的量子算法的構(gòu)建和應(yīng)用.如上述所述,也可以將該算法應(yīng)用于高能物理、蛋白質(zhì)折疊等科學(xué)問題上.相信在上海大學(xué)新一輪“五五戰(zhàn)略”量子科技發(fā)展的戰(zhàn)略指引下,量子計算特別是數(shù)字反向透熱的量子算法能做出具有特色的工作.
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王佳楠,丁泳程,郝敏佳,陳璽
(上海大學(xué)理學(xué)院,上海 200444)
2020年10月16日,習(xí)近平總書記在中共中央政治局第二十四次集體學(xué)習(xí)時強調(diào),要充分推動量子科技發(fā)展,加強量子科技發(fā)展戰(zhàn)略謀劃和系統(tǒng)布局,把握大趨勢.近年來,量子科技的發(fā)展具有重大科學(xué)意義和戰(zhàn)略價值,是一項對傳統(tǒng)技術(shù)體系產(chǎn)生沖擊、進行重構(gòu)的顛覆性技術(shù)創(chuàng)新,將引領(lǐng)新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革.量子計算被認為是未來具有重大影響力的新型計算模式之一.與傳統(tǒng)計算機不同,量子計算機遵循量子力學(xué)規(guī)律,通過量子比特進行信息處理;基于微觀量子比特的相干疊加和糾纏等特性以及量子電路的可逆性,在計算速度和能耗方面大大優(yōu)于傳統(tǒng)計算機[1].隨著研究的不斷發(fā)展,未來量子計算在人工智能、數(shù)據(jù)搜索、材料設(shè)計、生物制藥等方面具有極大的潛在應(yīng)用價值.2019年,谷歌推出名為Sycamore的量子處理器[2],集成53個量子比特,僅用200 s就能處理世界第一超算Summit計算一萬年的實驗,正式宣布實現(xiàn)了量子優(yōu)越性.2020年,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團隊成功構(gòu)建了76個光子的量子計算原型機“九章”,這一突破使我國成為全球第2個實現(xiàn)量子優(yōu)越性的國家[3].
眾所周知,著名物理學(xué)家Feynman[4]于1982年首次提出量子模擬的概念.隨后,Deutsch和Jozsa提出了Deutsch-Jozsa量子算法,展示了量子計算與經(jīng)典計算的差異性[1].值得指出的是,1994年起Shor[5-6]提出了量子分解演算法——Shor算法,證明量子計算機在解決質(zhì)因數(shù)分解問題上的速度遠勝于經(jīng)典計算機,使量子計算變成了熱門的研究話題.1996年,Grover[7]發(fā)展了Grover量子搜索算法,在數(shù)據(jù)規(guī)模較大的情況下該算法的優(yōu)越性十分驚人.近年來,人們還研究了許多有實際應(yīng)用價值的量子算法,如量子行走、量子退火、量子玻色采樣等,這些算法的研究在量子計算領(lǐng)域十分重要.尤其是對于量子退火[8],D-Wave于2011年宣布推出市場上第一款商用型量子計算機D-Wave One[9].運用量子絕熱定理的量子退火技術(shù)并結(jié)合128個量子比特,可用于解決組合優(yōu)化、旅行商等最優(yōu)化問題.
目前,量子科技正處于含噪聲中等規(guī)模量子時代[10],即從目前的硬件條件來看,在短時間內(nèi)實現(xiàn)容錯對于通用量子計算機來說是非常困難的.為此,Cerezo等[11]提出了變分量子算法,適用于含噪聲中等規(guī)模量子器件的算法.這類算法是將經(jīng)典算法與量子算法相結(jié)合,利用具有變分參數(shù)的量子電路,借助經(jīng)典優(yōu)化器最小化代價函數(shù).實際上,最早提出的變分量子算法是變分量子本征求解器(variational quantum eigensolver,VQE)[12-16],該算法不僅能保證量子態(tài)的相干性,其計算結(jié)果還能達到足夠的精度,在量子化學(xué)、量子多體物理等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.另外,變分量子算法也可以解決一些優(yōu)化問題.2014年,Farhi等[17]在絕熱量子算法的基礎(chǔ)上發(fā)表了量子近似優(yōu)化算法(quantum approximate optimization algorithm,QAOA),通過在已知的初始基態(tài)上交替作用演化算符來求解經(jīng)典哈密頓量的基態(tài).該算法常用來解決組合優(yōu)化問題[18-23],最為典型的案例就是最大切割問題.雖然QAOA不能保證總能獲得全局最優(yōu)解,但是在含噪聲中等規(guī)模量子時代可以解決大部分實際問題.總之,變分量子算法結(jié)合了量子計算和經(jīng)典優(yōu)化器的優(yōu)勢,具有較好的發(fā)展前景.當(dāng)然,該算法也存在一些局限性,如量子線路的可表達性、可訓(xùn)練性以及局部優(yōu)化問題等[24].
近年來,上海大學(xué)陳璽教授及其合作者[25-28]提出了利用量子絕熱捷徑技術(shù)加速絕熱慢過程,成為了當(dāng)前國內(nèi)外量子調(diào)控研究的一個主要方法,并廣泛應(yīng)用于量子信息處理和量子計算等領(lǐng)域.隨著理論和實踐的不斷發(fā)展,人們可以通過變分法[29-30]、局域反向透熱補償法[31-32]和Floquet控制[33-34]等設(shè)計出不同系統(tǒng)的量子絕熱捷徑,以達到快速且高保真的量子態(tài)制備或操控.這里,反向透熱補償法可以在多體自旋體系中實現(xiàn)量子退火的加速[35-38].受到美國Google公司數(shù)字絕熱量子計算工作的啟發(fā)[39],本工作提出了數(shù)字量子絕熱捷徑計算的概念[40],并將其應(yīng)用于量子因子分解[19]、投資組合優(yōu)化[20]、組合優(yōu)化[21]等方面.由此可見,量子絕熱捷徑中的數(shù)字反向透熱補償在量子絕熱算法中起到了催化作用[41],同時數(shù)字反向透熱補償項能提供更多擬設(shè),加速基態(tài)收斂,提高相關(guān)變分量子算法的性能.該方法被浙江大學(xué)尹藝和中科大郭國平課題組用于量子化學(xué)中電子態(tài)能量的計算[42].合肥本源量子計算科技有限公司也關(guān)注到了此方面的工作,將量子絕熱捷徑應(yīng)用于QAOA中的解決組合優(yōu)化問題[19].因此,基于數(shù)字反向透熱補償?shù)牧孔铀惴捌鋺?yīng)用成為量子計算的研究熱點[43-44].
本工作以氫原子基態(tài)能量計算為例,首先通過反向透熱補償法設(shè)計絕熱捷徑,加速絕熱量子計算;其次,結(jié)合VQE對反向透熱補償項進行優(yōu)化,提高量子算法性能.研究結(jié)果表明,絕熱捷徑能夠有效加速系統(tǒng)的演化時間,并且利用較少的迭代次數(shù)得到較高精確度.可見,基于數(shù)字反向透熱補償?shù)牧孔铀惴ㄔ诹孔踊瘜W(xué)中具有重要的應(yīng)用前景.
1 模型與哈密頓量
本工作首先考慮一般的分子哈密頓量,即包含如下部分:①每對核的核-核相互作用;②每個電子和每個原子核的電子-核引力;③每個核的動能;④每個電子的動能;⑤電子間的相互作用.圖1為一個分子坐標(biāo)系,圖中分子內(nèi)部存在相互作用[45].如果一個分子有N個電子和M個原子,以原子單位表示的哈密頓量為
式中:A、B點為原子核;ZA為A的原子序數(shù);MA為A的質(zhì)量;i、j表示為電子.
由于原子核質(zhì)量遠大于電子質(zhì)量,故原子核與電子相比移動速度很慢,可以通過玻恩-奧本海默近似來忽略原子核的動能.因此,將電子視作在固定核的場中運動,也就是說原子核之間的距離是恒定的.此外,電子波函數(shù)與核波函數(shù)是獨立的,可以把總的波函數(shù)寫成二者的直積:這里忽略核項,可將式(1)的電子哈密頓量寫成這部分也即氫氣分子的電子哈密頓量.
1.1 二次量子化
式(2)為一次量子化哈密頓量.將動量表象和位置表象變換到粒子數(shù)表象,并通過產(chǎn)生算符和湮滅算符ai來實現(xiàn)二次量子化,其中產(chǎn)生算法和湮滅算法滿足反對易關(guān)系由此得到如下二次量子化的哈密頓量:
式中:hij、hijkl分別為依賴于核間距R的單電子積分和雙電子積分,即
當(dāng)χα(α=i,j,k,l)表示為不同單電子自旋軌道波函數(shù),x1和x2表示為不同電子的位置時,具體hij、hijkl的積分可通過計算求得(見表1).
表1 核間距為R=0.74×10?10 m時的單電子積分和雙電子積分Table 1 One-and two-electron integrals when internuclear distance R=0.74×10?10 m
1.2 Bravyi-Kitaev變換
為了數(shù)字模擬氫分子,通常需要把哈密頓量映射成量子比特的形式,并利用量子比特來表示費米子的自由度[46-47].常見的方法有Jordan-Wigner(JW)變換[48]和Bravyi-Kitaev(BK)變換[49-50],其中JW變換的優(yōu)點在于簡單,但變換前后所需量子比特數(shù)不變,不利于后續(xù)研究.因此,本工作在量子計算實例中采用BK變換以減少量子比特數(shù).
在介紹BK變換之前需要定義一些量子比特集,這些量子比特集包含了將費米子算符應(yīng)用于量子態(tài)所需的信息(fi表示第i個自旋軌道).
(1)更新集U(i).包含除i以外的量子比特,當(dāng)軌道i的占有數(shù)fi改變時,這些量子比特必須更新.
(2)宇稱集P(i).存儲指數(shù)小于i的所有軌道宇稱的量子比特,
(3)翻轉(zhuǎn)集F(i).宇稱集的子集,確定量子比特i是否與軌道i具有相同宇稱.
(4)余子集R(i).宇稱集的子集,也是翻轉(zhuǎn)集的補集,R(i)=P(i)F(i).
對于軌道指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),BK基的映射是非常不同的,因此需要區(qū)分這2種情況:
式中:Γj(Γ=X,Y,Z)表示將Pauli-Γ算符作用在第j個量子比特上.從而得到對應(yīng)的哈密頓量為
這里,量子位1和3上只作用了Z門,故僅產(chǎn)生相位變化.根據(jù)這一特點,可將哈密頓量減少到2個量子比特.與此同時,可以再利用簡化對應(yīng)于量子位1和3的門.當(dāng)假設(shè)BK基中的初態(tài)為時,量子位1、3都處于|0〉態(tài),其關(guān)于Z門的本征值為+1,因此用2個量子比特可將初態(tài)表示為.為了與后續(xù)模擬時的量子位對應(yīng),將下標(biāo)0、2改為0、1,由此最終哈密頓量為
2 反向透熱補償及其數(shù)字化
2.1 反向透熱補償法
如上所述,反向透熱補償有助于加快量子絕熱過程.從多年的研究可以看到,VQE或QAOA的目的是利用量子-經(jīng)典混合算法這一框架,求解出問題哈密頓量在低能下的位形,這與量子絕熱捷徑通過一個物理過程實現(xiàn)(末態(tài))激發(fā)能量最小的原理是相通的.因此,下面將聚焦于數(shù)字反向透熱補償在量子算法中的應(yīng)用研究,以期提升算法表現(xiàn).為了由2個獨立無相互作用的原子態(tài)H0制備一個氫分子基態(tài)Hf,可以根據(jù)絕熱量子計算的思想,設(shè)計出含時哈密頓量H(t)=H0+λ(t)(Hf?H0),其中λ(t)=sin2(πt/T)∈[0,1],T為演化時間.將H0和Hf代入上式,可得
式中:H0=g0Z0+g1Z1,且系數(shù)分別為g0=1.252 0,g1=0.475 0,g2=0.909 5,g3=?0.921 0,g4=0.572 5,g5=0.090 5.當(dāng)演化時間T足夠大時,根據(jù)量子絕熱定理系統(tǒng)沿著其瞬時本征態(tài)演化[51]:
2.1.1 局域反向透熱補償
根據(jù)式(11),可以得到精確補償項的計算方式[31-32]:
那么在Htot(t)=Had(t)+Hcd(t)的共同作用下,系統(tǒng)的量子態(tài)可以在有限時間T內(nèi)演化到|φn(H)〉.換一種形式,Hcd(t)可以寫為[31,35]
式中:h(t)為一個單自旋的外加磁場.進一步推廣至N個量子比特,這類被稱作局域的反向透熱補償將不再有效[40].更需要指出的是,Zhang等[42]中采用了單比特近似,但是在量子化學(xué)問題中隨著分子核間距的增大,該近似方法同樣也會失效.
2.1.2 近似反向透熱補償
Polkonikova等[30]指出了反向透熱補償與絕熱規(guī)范勢之間的聯(lián)系,即Hcd(t)=,式中為絕熱規(guī)范勢.進一步由Floquet控制思想,可以將規(guī)范勢近似寫成
式中:系數(shù){α1,α2,···,αl}可以通過最小化Sl得到,當(dāng)l→∞時,為精確的規(guī)范勢,為簡單起見,這里取l=1,即為使S1最小時的系數(shù).由上所述,哈密頓量所對應(yīng)的近似Hcd(t)為
式中:系數(shù)gcd(t)為
因此,氫氣分子的總哈密頓量Htot(t)為
式中:ω1(t)=g0+λ(t)g2,ω2(t)=g1+λ(t)g3,ω3(t)=λ(t)g4,ω4(t)=λ(t)g5,ω5(t)=gcd(t).
2.2 數(shù)字量子模擬
利用一階Trotter-Suzuki公式[52]:ei(A+B)t≈eiA?teiB?t+O(?t2),?t=T/n,可將Htot(t)對應(yīng)的時間演化算符U(t)離散化為U≈UnUn?1···U1,其中Um=1,2,···,n=exp(?iHtot(m?t)?t).圖2為數(shù)字化絕熱捷徑(digitized shortcuts to adiabaticity,STA)過程線路示意圖.圖中,以上述哈密頓量以量子門的形式添加到線路中進行數(shù)字模擬,其中初態(tài)為|01〉,即在|q0〉上應(yīng)用一個X門,Un表示為每一步的演化算符,步長為?t.
圖2 數(shù)字化絕熱捷徑過程線路示意圖Fig.2 Schematic diagram of digitized shortcuts to adiabaticity
第m步的時間演化算符可以拆分為,其中參數(shù)滿足系統(tǒng)的總演化時間T隨著步數(shù)的增加而變長,以?t=0.1為例進行分析,在圖3(a)中絕熱過程大約需要50步才能接近于基態(tài).但是采用近似反向透熱補償只需20步就可收斂于基態(tài),明顯加快了演化過程,從而實現(xiàn)量子絕熱捷徑.在相同步數(shù)的情況下對?t=0.2進行比較,表明2種過程的趨勢與?t=0.1是一致的(見圖3(b)).
圖3 比較絕熱演化(虛線)及絕熱捷徑演化(實線)所得基態(tài)能量Fig.3 Comparison of ground state energies obtained from adiabatic evolution(dotted)and the STA(solid)
表2比較了絕熱和絕熱捷徑這2個過程所需量子門數(shù)量.結(jié)合圖3可以得出結(jié)論:絕熱過程至少需要19×50個量子門,相比之下,絕熱捷徑雖然每一步都需要更多量子門,但其總數(shù)遠遠少于絕熱過程,即絕熱捷徑不僅可以縮短系統(tǒng)的演化時間,還可以減少量子門數(shù)量.這一點在量子線路具有噪聲時顯得特別重要.
表2 絕熱和絕熱捷徑2個過程所需的量子門數(shù)量Table 2 Numbers of quantum gates required for adiabatic and STA
為了更好地描述不同?t的能量對比,定義精度
式中:E為系統(tǒng)對應(yīng)的步數(shù)能量;Eexact為系統(tǒng)的精確基態(tài)能量.圖4為?t=0.1和?t=0.2的能量精度,實線表示當(dāng)?t=0.1時的絕熱與絕熱捷徑(紅色表示絕熱,藍色表示絕熱捷徑),虛線表示當(dāng)?t=0.2時的絕熱與絕熱捷徑.雖然這2個過程的趨勢相同,但是當(dāng)?t=0.2時精度明顯降低,說明?t的選取對演化結(jié)果也會產(chǎn)生影響,可見需要選擇合適的?t.
圖4 ?t=0.1與?t=0.2時的能量精度比較Fig.4 Comparison of energy accuracy between?t=0.1 and?t=0.2
3 變分線路的最優(yōu)化
變分量子算法可用于復(fù)雜波函數(shù)建模,成為量子計算中最有前景的算法之一.VQE是最先被提出的變分量子算法,使用變分原理計算哈密頓量的基態(tài)能量,被認為是量子化學(xué)的核心.利用變分量子線路優(yōu)化近似反向透熱補償,首先利用初態(tài)|01〉以及對Htot(t)的離散化得到對應(yīng)的試驗態(tài),隨后計算試驗態(tài)的能量期望值.在這個過程中,將Htot(t)離散化得到的量子線路作為擬設(shè),通過調(diào)節(jié)Hcd(t)中的系數(shù)gcd(t)對線路進行優(yōu)化(見圖5).這里主要采用梯度下降優(yōu)化器來進行操作,該優(yōu)化器通過以下規(guī)則來更新參數(shù):
式中:η為優(yōu)化步長參數(shù)(η=0.4).以n=4為例,設(shè)定系統(tǒng)演化總時長T=1,那么線路中的初始參數(shù)為gcd(m?t),其中m=1,2,3.如圖5(a)所示,橫坐標(biāo)為參數(shù)更新的次數(shù),當(dāng)更新21次后系統(tǒng)能量期望值的精度由10?3提高至10?5.圖5(b)為優(yōu)化前后的gcd(t),圓點表示參數(shù)值.實際上,可以設(shè)定收斂值C,這個值越小參數(shù)更新次數(shù)越多;當(dāng)C為10?10時需要更新67次精度才能達到10?9.
圖5 應(yīng)用變分思想對補償項進行優(yōu)化(設(shè)定收斂值為C=10?6,需要更新21次,且優(yōu)化后gcd(t)強度增大)Fig.5 Counter-diabatic term is optimized by using the variational idea(Setting C=10?6,the parameters need to be updated 21 times,and the strength of gcd(t)increases after optimization)
將圖5(b)中優(yōu)化前后的參數(shù)帶入量子線路中,得到每一步量子態(tài)對應(yīng)的能量精度.雖然絕熱捷徑的能量已經(jīng)接近基態(tài)能量,但優(yōu)化后精度明顯提高,在n=4時精度達到10?5.與絕熱捷徑相比,優(yōu)化后速度更快結(jié)果更精確.
圖6 當(dāng)T=1,n=4時,絕熱捷徑與優(yōu)化后的能量精度對比Fig.6 Comparison of accuracy between STA and optimization when T=1,n=4
事實上,在計算近似補償項時只取了1階,但是在計算2階時發(fā)現(xiàn)0,也就是說式(16)是個精確解.當(dāng)考慮大分子時,需要更多的量子比特以及多體相互作用,同時需要引入2階甚至更高階反向透熱補償項,這在后續(xù)工作中值得進一步優(yōu)化以及考慮量子線路的實現(xiàn).
另外,由于在模擬過程中采用了Trotter-Suzuki展開,并忽略了O(?t2),故引入優(yōu)化的反向透熱補償項能有效抑制Trotter誤差.然而隨著更高階的引入,雖然可以提高精度,但是每個步驟則需要更多的門或?qū)崿F(xiàn)多體相互作用,這使得量子線路的復(fù)雜度增大.因此,后續(xù)研究量子門數(shù)目、線路復(fù)雜度、絕熱誤差、Trotter誤差之間的關(guān)系成為重要課題.
4 總結(jié)
本工作以量子化學(xué)為例介紹了基于數(shù)字反向透熱的量子算法以及優(yōu)化等.為了詳細介紹相關(guān)領(lǐng)域的背景和進展,首先構(gòu)造了氫氣分子的哈密頓量并對其進行變換,利用產(chǎn)生算符和湮滅算符,將動量與相對位置表象變換到離散化的粒子數(shù)表象,可以得到二次量子化的形式;再通過BK變換把哈密頓量從費米子算符轉(zhuǎn)換為Pauli算符和的形式,以便在量子計算機上進行模擬.為了解決絕熱演化時間過長的問題,首先利用反向透熱補償法,通過找到一個額外的哈密頓量作為補償項來實現(xiàn)系統(tǒng)的快速絕熱;然后將總哈密頓量通過Trotter-Suzuki展開進行數(shù)字量子模擬,以便在較少的步數(shù)內(nèi)達到目標(biāo)態(tài)且保持高保真度;最后借助VQE來優(yōu)化補償項,使結(jié)果更加精確且更新次數(shù)減少.
量子化學(xué)是量子計算中重要的應(yīng)用之一.人們已經(jīng)在光量子處理器上驗證了變分法求解特征值[13],并通過量子化學(xué)計算了分子的基態(tài)能量.谷歌AI量子團隊使用VQE實現(xiàn)了迄今為止最大規(guī)模的化學(xué)模擬計算[16],為量子算法的改進和應(yīng)用提供了新方向.如何結(jié)合機器學(xué)習(xí),將基于數(shù)字反向透熱的量子算法用于計算大分子量子模擬[53]、激發(fā)態(tài)能譜計算,甚至量子材料的設(shè)計[54]等將是后續(xù)研究的重點,也是有望在這些應(yīng)用中展現(xiàn)出在含噪聲中等規(guī)模量子時代的量子優(yōu)勢.
最后,必須指出的是,本工作以量子化學(xué)為例展示了基于數(shù)字反向透熱的量子算法的構(gòu)建和應(yīng)用.如上述所述,也可以將該算法應(yīng)用于高能物理、蛋白質(zhì)折疊等科學(xué)問題上.相信在上海大學(xué)新一輪“五五戰(zhàn)略”量子科技發(fā)展的戰(zhàn)略指引下,量子計算特別是數(shù)字反向透熱的量子算法能做出具有特色的工作.
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