三維時空中一對復主曲率類時共形齊性曲面的分類

林燕斌

（閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,福建漳州 363000）

1995年，Wang王長平[1]研究了x:M3→S4是具有三個不同實主曲率{λ1,λ2,λ3}的浸入超曲面x(M3)，定義超曲面的M?bius不變曲率W,同時給出了如下基本定理.

定理1{θ1,θ2,θ3;W}是超曲面M3的一個完備M?bius不變量系統(tǒng).

進而他證明了這一類M?bius齊性超曲面是常M?bius曲率的杜邦超曲面，并且M?bius等價于下面情況之一：一個是S3中平坦環(huán)面在R4中做錐，另一個是S4中三個不同主曲率的等參超曲面.

1998 年,Wang[2]定義了無臍點浸入子流形x:Mm→Sn的4 個M?bius 不變量分別為：M?bius 度量g，M?bius形式Φ，Blaschke張量A 和M?bius第二基本形式B，并建立了子流形的一個完備的不變量系統(tǒng).隨后李同柱等[3-4]給出了Sn+1中具有兩個和三個不同主曲率的M?bius齊性超曲面的分類定理，并且證明了這類超曲面除了對數(shù)螺線柱面外，都是常M?bius曲率的杜邦超曲面.

1 類時曲面的不變量系統(tǒng)

在活動標架{ei,n}下x的結(jié)構(gòu)方程為：

因此，tr(S)=2a,tr(S2)=2(a2-b2),則曲面x的Laplace算子為Δx=tr(S)n=2an.

定理2設(shè)中具有一對復主曲率{λ1,λ2}的連通正則曲面,定義下面形式：

1)標準共形不變度量gc:=b2g.

2)共形不變曲率W:=1.

3)典則提升Y:=by,其中.

5)典則法標架ξ:=ay+ξn,其中.

令ηi=Ei(Y),則沿著定義了的一組活動標架為,其中是由=0唯一決定的向量且與其它標架正交.

利用待定系數(shù)法,可以求得曲面在共形標架下的結(jié)構(gòu)方程為

通過觀察結(jié)構(gòu)方程，可得如下定理：

定理3如果中具有一對復主曲率的兩個曲面,若它們有相同的聯(lián)絡(luò)形式，Blaschke 張量,共形形式和共形第二基本形式,則存在共形變換T∈O(3,2)使得它們?nèi)?

根據(jù)Poincaré引理，也可以求得曲面的可積條件為

因此，得到如下重要定理.

定理4{E1,E2}是具有一對復主曲率的曲面的一個完備共形不變量系統(tǒng).

證明根據(jù)方程(9)得到

對比θi∧θj項的系數(shù)可知，,

由此說明,共形形式Ω由Ei,Γ和Ωij決定.

根據(jù)方程(8)推出,對比θi∧θj項的系數(shù)可得

根據(jù)方程(10)推出

由此說明Blaschke張量Θ由Ei,Γ和Ωij決定.

因此,該類曲面的李括號為

這就說明聯(lián)絡(luò)形式Ω12可以由[E1,E2]完全決定.

綜上所述,我們發(fā)現(xiàn)共形形式Ω，Blaschke 張量Θ,共形第二基本形式Γ和聯(lián)絡(luò)形式Ωij,可由0,i和李括號[E1,E2]完全決定.

注1利用定理4,我們最終通過計算李括號[Ei,Ej]是否相等,從而快速判斷兩個類時曲面是否全等.故只需要計算曲面的主曲率{λi}和主方向{ei},然后就可以算得李括號[Ei,Ej].如果兩個曲面的[Ei,Ej]相同,則它們在允許相差一個共形變換下兩個曲面是全等的.

2 類時共形齊性曲面的分類結(jié)果

本節(jié)研究的是形狀算子可對角化且有一對復主曲率的類時共形齊性曲面.若連通正則共形齊性曲面具有兩個共形不變切標架，則此時沿著定義的一組共形標架是唯一確定的.此時，標架是唯一確定的共形不變標架且所有的不變量都是常數(shù).

下面給出共形齊性曲面和類時杜邦曲面的定義:

定義1如果對任意兩個點p,q∈,都存在中一個共形變換σ使得σ(x(p))=x(q),,則稱為共形齊性曲面.

定義2如果主曲率沿著相應(yīng)的曲率面為常數(shù),則稱是類時杜邦曲面.

在此首先給出如下定理:

定理5如果是常共形曲率曲面,則它是類時杜邦曲面當且僅當Ω=0.

證明利用方程(12),(13),(14),則容易證明該定理成立.

最后,可以得到重要的分類定理:

定理6設(shè)是形狀算子可對角化且有一對復主曲率的類時共形齊性曲面,則該類曲面共形等價于類時杜邦曲面或者洛倫茲平面上的對數(shù)曲線,見如下例1.

證明在下面的證明過程中分兩種情形進行討論.

情形1若在共形齊性曲面中Ω=0,根據(jù)定理5可知，該類曲面共形等價于類時杜邦曲面.

情形2接下來，我們只討論非杜邦的曲面，即Ω≠0的情形.根據(jù)方程(14)，此時共形第二基本形式Γ的系數(shù)是唯一確定的，即.

根據(jù)方程(6)和(8)比較θ1∧θ2項的系數(shù)可得,.

根據(jù)結(jié)構(gòu)方程求得這類曲面對應(yīng)的李括號為

由方程(7)和(9)比較θ1∧θ2項的系數(shù)得出，.

再由方程(10)比較θ1∧θ2項的系數(shù)得出

根據(jù)定理4可知，該類曲面共形等價于洛倫茲平面上的對數(shù)曲線，見如下例1.

綜上所述，定理6證畢.

在齊性條件下，利用求解微分方程的方法，對結(jié)構(gòu)方程和可積條件進行計算，可以構(gòu)造出如下共形齊性非杜邦曲面的實例.

例1假設(shè)中具有基{ui},對于任給的常數(shù)α＞0,存在共形變換子群

因為S(ψ,φ)?[gij]?ST(ψ,φ)=[gij],S(ψ,φ)∈O(3,2),S(ψ1,φ1)?S(ψ2,φ2)=S(ψ1+ψ2,φ1+).所以矩陣S(ψ,φ)是O(3,2)的子群.選取類光向量P=使得

x的單位法向量為

Y的標準共形不變度量為

我們選擇共形切標架為

因此,該類曲面的李括號為