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    破解外接球問題三法:定義,構(gòu)造,交軌

    2022-12-04 14:48:23湖北省大冶市實(shí)驗(yàn)高中石曉皎
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:球心三棱錐接球

    湖北省大冶市實(shí)驗(yàn)高中 石曉皎

    1 引言

    空間幾何體的外接球問題,其問題創(chuàng)設(shè)的形式各樣,變化多端,是一類??汲P碌木C合應(yīng)用問題.解決問題時(shí),關(guān)鍵是利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的定義、性質(zhì)等,確定空間幾何體外接球的球心位置或球的半徑.下面結(jié)合具體案例,從球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等視角來分析與處理空間幾何體的外接球問題,并巧妙歸類與總結(jié).

    2 破解三法

    2.1 定義法

    通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合球的定義確定其外接球的球心位置或半徑.其實(shí)就是抓住球的定義本質(zhì)進(jìn)行求解.

    A.72π B.144π C.50π D.100π

    分析:根據(jù)給定條件,取PC中點(diǎn)O,結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì),利用直角三角形的性質(zhì),結(jié)合球的定義來確定四棱錐P-ABCD外接球的球心位置,進(jìn)而構(gòu)建關(guān)系式計(jì)算出球半徑,代入球的表面積公式計(jì)算即可.

    圖2

    解析:四棱錐P-ABCD的底面是矩形,取PC中點(diǎn)O,連接AC,OA,OB,OD,如圖1所示.

    因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,則PA⊥BC.而AB⊥BC,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,則有BC⊥平面PAB.

    又PB?平面PAB,所以BC⊥PB.

    同理,可證CD⊥PD.

    而PA⊥AC,因此

    結(jié)合球的定義,可知四棱錐P-ABCD外接球的球心為O,半徑為OA.

    在矩形ABCD中,AC2=AB2+BC2,從而得

    即球半徑OA=5,所以四棱錐P-ABCD外接球的表面積為S=4π×52=100π.

    故選擇答案:D.

    點(diǎn)評(píng):定義法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑,其實(shí)就是抓住球的定義這一實(shí)質(zhì),利用球心到球面上任意一點(diǎn)的距離都相等,巧妙綜合空間幾何體的對(duì)稱性、平面幾何圖形的基本性質(zhì)等,結(jié)合球的定義巧妙構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,實(shí)現(xiàn)問題的化歸與應(yīng)用的目的.

    2.2 構(gòu)造法

    通過題目中所給的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,巧妙構(gòu)造立體幾何模型,如所給空間幾何體是柱體、錐體等,可構(gòu)造長方體或正方體等特殊立幾模型來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

    分析:如圖2,連接AO,并延長交BC于點(diǎn)D.由頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心,可得BC⊥PA,AC⊥PB,AB⊥PC.由S△ABC·S△OBC=S△PBC2,可得△POD∽△APD,PA⊥PD.即可得PA,PB,PC兩兩互相垂直.通過構(gòu)造立體幾何模型法,利用三棱錐P-ABC的外接球?yàn)橐訮A,PB,PC為棱的長方體的外接球,即可建立涉及外接球半徑的關(guān)系式,結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

    圖2

    解析:如圖2所示,連接AO并延長交BC于點(diǎn)D,連結(jié)PD.

    由于頂點(diǎn)P在底面的射影O為△ABC的垂心,則知AD⊥CB.

    又PO⊥平面ABC,可得PO⊥BC.

    又AD∩PO=O,所以BC⊥平面APD,可得BC⊥AP,BC⊥PD.同理AC⊥PB.

    又∠PDO=∠PDA,則有△POD∽△APD,所以∠APD=∠POD=90°,即PA⊥PD.

    又PA⊥BC,BC∩PD=D,所以AP⊥平面PBC,而PB?平面PBC,故PA⊥PB.

    又PB⊥AC,且AP∩AC=A,所以PB⊥平面APC,而PB?平面APC,故PB⊥PC.

    所以PA,PB,PC兩兩互相垂直.

    所以三棱錐P-ABC的外接球?yàn)橐訮A,PB,PC為棱的長方體的外接球.

    設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R,則有PA2+PB2+PC2=4R2.

    點(diǎn)評(píng):構(gòu)造法確定空間幾何體的外接球的球心位置或半徑,其實(shí)就是借助補(bǔ)形思維,通過合理補(bǔ)形等方式構(gòu)造特殊的空間幾何體——正方體或長方體等,利用原幾何體與所構(gòu)造的特殊空間幾何體的外接球一致,合理轉(zhuǎn)化,快捷處理,進(jìn)而利用正方體或長方體外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)(體對(duì)角線恰是該外接球的直徑)來解決問題.

    2.3 交軌法

    通過題目中所給空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合外接球的幾何特征,從不同視角確定球心所在的直線,而滿足條件的兩條相交直線的交點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的外接球球心.

    分析:根據(jù)題目條件,利用交軌法求解.先求出到A,B,C三點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是直線MN,再求出到P,B兩點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌跡是直線DE,則直線MN與直線DE的交點(diǎn)即是三棱錐P-ABC外接球的球心,進(jìn)而結(jié)合余弦定理、正弦定理加以分析與求解,確定外接球的半徑,即可求解對(duì)應(yīng)的表面積.

    解析:設(shè)M為BC的中點(diǎn),在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)M作MN⊥BC交PB于點(diǎn)N.

    因?yàn)槠矫鍼BC⊥平面ABC,所以MN⊥平面ABC.

    又三角形ABC是以BC為斜邊的直角三角形,所以直線MN上任意一點(diǎn)到A,B,C三點(diǎn)的距離相等.

    在平面PBC內(nèi)作線段PB的垂直平分線DE,設(shè)DE與MN的交點(diǎn)為O,則點(diǎn)O到P,A,B,C四點(diǎn)的距離都相等,即點(diǎn)O為三棱錐P-ABC外接球的球心,并且點(diǎn)O也是三角形PBC的外心.

    因此,三棱錐P-ABC外接球的半徑與三角形PBC外接圓的半徑相等.

    所以,三棱錐P-ABC外接球的表面積S=4πR2=10π.

    故填答案:10π.

    點(diǎn)評(píng):交軌法確定空間幾何體外接球的球心位置或半徑,其實(shí)就是借助球的相關(guān)性質(zhì):“球心O與截面圓的圓心O1的連線垂直于截面圓”“球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦”等,利用滿足條件的兩條相交直線的交點(diǎn)直接確定空間幾何體外接球的球心.

    3 結(jié)語

    解決空間幾何體的外接球問題,除了以上借助球的定義(定義法)、幾何體的結(jié)構(gòu)特征(構(gòu)造法)以及球的性質(zhì)(交軌法)等方法來解決外,還可以結(jié)合空間坐標(biāo)法、向量法以及其他一些相關(guān)的技巧來處理,關(guān)鍵就是要“心中有圖”,正確進(jìn)行空間想象,構(gòu)建不同元素之間的聯(lián)系,合理數(shù)學(xué)運(yùn)算,巧妙邏輯推理,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及邏輯推理等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升.

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