一題多解探思路 追本溯源挖題根

浙江省紹興市越州中學(xué) 屠豐慶

吉林省北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 屠蕊林

數(shù)學(xué)解題不能僅滿足于一道題的答案，而應(yīng)通過探索思考.去追求更優(yōu)、更快捷的解題方法.“一題多解”就是從不同角度、按不同思路、用不同方法給出同一道題的解答.

但同時(shí)，著名數(shù)學(xué)家陳景潤先生在談起數(shù)學(xué)解題時(shí)，曾說過“題有千變，貴在有根”[1].以題根方式展開教學(xué)，抓住解題思維入口，才能幫助學(xué)生理解問題本質(zhì)，總結(jié)歸納解題過程，以不變應(yīng)萬變.筆者以2021年浙江數(shù)學(xué)高考17題為例，在一題多解的基礎(chǔ)上，追本溯源，挖掘此類考題的題根，給出解決問題的捷徑，以期對(duì)學(xué)生快速解題有所幫助.

1 一題多解，探析思路

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)：思路4揭示了轉(zhuǎn)換后問題的幾何意義，將代數(shù)下的條件和目標(biāo)轉(zhuǎn)化為平面方程和空間距離，使得問題更直觀[3].最后類比初中三角形中用面積法求高的方法，利用體積相等求得結(jié)果，也不難被一般的高中生接受.

點(diǎn)評(píng)：利用偏導(dǎo)求極值(最值)的方法，有較深的高等數(shù)學(xué)背景，大學(xué)教材中稱之為“拉格朗日乘數(shù)法”.此方法在解決條件極值時(shí)，在本質(zhì)上觀點(diǎn)“高屋建瓴”，在范圍上“普遍適用”，在過程上計(jì)算“可程序化”.面對(duì)技巧性較高的題，讀者不妨用此法一試，往往會(huì)有“柳暗花明又一村”之感.

2 追本溯源，挖掘題根

為便于理解，以二元變量為例，具體介紹拉格朗日乘數(shù)法涵義的初等理解和解題過程.

問題在約束條件h(x,y)=0下，求z=g(x,y)的最值.

(1)函數(shù)f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y)的涵義解釋.由約束條件h(x,y)=0，可知f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y)=g(x,y)與線性規(guī)劃類似，不妨稱之為目標(biāo)函數(shù)，其中λ可以理解為目標(biāo)z=g(x,y)在約束條件h(x,y)=0下可自由伸縮的空間，不妨稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).問題就轉(zhuǎn)化為：通過不斷調(diào)節(jié)λ，使得f(x,y,λ)=g(x,y)=z取到極(最)值.

圖3

(2)關(guān)于“偏導(dǎo)”，可以這么理解：對(duì)于目標(biāo)函數(shù)f(x,y,λ)=g(x,y)+λh(x,y)，問題在幾何上就是求空間坐標(biāo)系中曲面的最高(低)點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值，如圖3所示.求目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的最值，可以分步實(shí)施，先將y看成常數(shù)，求關(guān)于x的極值，再將x看成常數(shù)，求關(guān)于y的極值.某種意義上，可以理解為將曲面分別向xOz，yOz坐標(biāo)平面作正投影，曲面最高(低)點(diǎn)對(duì)應(yīng)投影曲線上的最高(低)點(diǎn)，此處取得極值，因而兩個(gè)偏導(dǎo)都應(yīng)該等于零.

3 舉一反三，速解考題

例3(2020江蘇高考，題12)已知x,y∈R，5x2y2+y4=1，則x2+y2的最小值是.

解析:令f(x,y,λ)=x2+y2+λ(5x2y2+y4-1)，分別關(guān)于x，y求偏導(dǎo)得到方程組

解析:令f(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(xy+2z-2)+μ(4x2+y2+z2-8),分別關(guān)于x，y,z求偏導(dǎo)得到方程組

經(jīng)消元檢驗(yàn)，可知