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    同構(gòu)法在解析幾何中的應(yīng)用舉例*

    2022-12-04 14:48:23福建省莆田第一中學(xué)
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:兩圓同構(gòu)切線

    福建省莆田第一中學(xué) 林 敏

    在解析幾何的相關(guān)問題的解決過程中,我們經(jīng)常會遇到多個形式類似、變量不同的方程,如果只關(guān)注單一方程的求解,運算將會變得較為冗長而復(fù)雜,這時我們不妨采用同構(gòu)的思想,將形式相同的方程統(tǒng)一起來,從整體上分析他們所體現(xiàn)的規(guī)律,再根據(jù)其規(guī)律尋找運算結(jié)果,化繁為簡,獲得較為簡潔的代數(shù)結(jié)果,對應(yīng)更為直接的幾何規(guī)律.

    當(dāng)今的教育改革之下,教育的目標(biāo)直指素養(yǎng)的形成,需學(xué)生明確重要的基礎(chǔ)知識,理解最簡潔核心的數(shù)學(xué)原理,形成最切實有效的數(shù)學(xué)思想.這就需要教育者引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動力,透過現(xiàn)象探求本質(zhì),學(xué)會思考和分析.

    1 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的切線的相關(guān)問題

    分析:題目中給出的條件為過D作C的兩條切線,解決問題的一條思維路徑是設(shè)出過點D的直線方程,利用直線和拋物線相切的位置關(guān)系,得到A,B兩個點坐標(biāo)的表示,然后獲得直線AB的方程,這樣就能夠根據(jù)方程的形式得出所過定點的坐標(biāo).但是直接表示出來還是較為復(fù)雜的,所以應(yīng)當(dāng)注意變量之間的關(guān)系,利用同構(gòu)形式巧妙解決問題.第二條思維路徑是從切點入手,表示出該點處的切線的方程,兩條切線都過同一個點D,則點D的坐標(biāo)適合兩條直線的方程,利用解與方程關(guān)系的轉(zhuǎn)化獲取直線AB的方程,進而得到定點坐標(biāo).

    解析1側(cè)重使用切線的斜率進行運算,找出斜率滿足的方程,“設(shè)而不求”,從同構(gòu)的角度,獲得了兩斜率滿足的關(guān)系式,表示出目標(biāo)直線的方程,進而得到直線所過的定點坐標(biāo).該題中由于此拋物線可看作函數(shù)的圖象,所以可借助于函數(shù)求導(dǎo)來解決相關(guān)切線的問題,再利用同構(gòu)即可解決問題.

    解析2也可以從切點入手,先利用導(dǎo)數(shù)得到曲線在點A和B處的切線方程,然后將點D代入兩切線方程之中,得到上面的兩個式子,再利用方程與解的關(guān)系轉(zhuǎn)換為直線AB的方程形式.利用這種同構(gòu)的想法,可以快速得到曲線的切割線方程,解法簡潔明了.

    規(guī)律總結(jié):根據(jù)上面同構(gòu)的想法,可以總結(jié)出圓錐曲線的切割線的統(tǒng)一結(jié)論,它們都是數(shù)學(xué)中形式對稱而優(yōu)美的式子,比如對于拋物線y2=2px(p>0),過點(x0,y0)作它的兩條切線,切點所在直線的方程即為y0y=px+px0,可以看作把點的坐標(biāo)融入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程從而得到切割線的方程,給人以美的感受.當(dāng)然,對于橢圓和雙曲線,也有對應(yīng)的結(jié)論,這里就不再贅述了.

    熟練應(yīng)用:

    (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (Ⅱ)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點,且過點P的橢圓C的兩條切線相互垂直,求點P的軌跡方程.

    分析:本題也涉及到圓錐曲線的切線問題,且需由切線垂直推導(dǎo)動點P的軌跡方程,解題思路和上題類似,先探尋切線斜率滿足的關(guān)系式,再根據(jù)垂直關(guān)系獲得動點坐標(biāo)滿足的方程.

    (Ⅱ)①先考慮特殊位置,即兩切線一條斜率為0,另一條斜率不存在時,P的坐標(biāo)為(±3,±2).

    ②一般情形下,切線斜率都存在,設(shè)過點P(x0,y0)的直線方程為y-y0=k(x-x0),與橢圓方程聯(lián)立消y,得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0.

    綜上可知,動點P的軌跡方程為x2+y2=13.

    2 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形相關(guān)問題

    例2(2021全國甲卷理第20題)拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點O,焦點在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ.已知點M(2,0),且⊙M與l相切.

    (Ⅰ)求C,⊙M的方程;

    (Ⅱ)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由.

    分析:本題中涉及到拋物線內(nèi)接三角形共內(nèi)切圓的證明,由于在拋物線上取了三個點,所以涉及到的變量比較多,此時一定要抓住主變量和從變量,利用地位平等的變量滿足關(guān)系的同構(gòu)形式去解決問題.

    解析:(Ⅰ)拋物線C的方程為y2=x;⊙M的方程為(x-2)2+y2=1.

    在本題的解決過程中,抓住坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系,注重運算過程中出現(xiàn)的同構(gòu)形式,充分利用同構(gòu),將解與方程進行一定的轉(zhuǎn)化利用,最終比較簡潔地處理了問題,又能夠給人以對稱整齊的感受,可謂數(shù)學(xué)的精妙所在.所以,在學(xué)習(xí)的過程中一定要注意觀察,總結(jié)規(guī)律,不可一味地陷入盲目的復(fù)雜運算中無法自拔,一定要多從思維的深刻性上下功夫,才能達到學(xué)精的目的.

    熟練應(yīng)用:

    圖1

    (Ⅰ)求圓G的半徑r;

    (Ⅱ)過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E,F(xiàn)兩點,證明:直線EF與圓G相切.

    分析:與例2類似,圓固定,點動,證明相切的位置關(guān)系,但是情境由拋物線變?yōu)闄E圓之后,運算上會稍復(fù)雜,可以嘗試完成該題.

    3 利用同構(gòu)解決圓錐曲線有關(guān)參數(shù)的問題

    圖2

    例3如圖2所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O1、圓O2都與直線l:y=kx及x軸正半軸相切,若兩圓的半徑之積為2,兩圓的一個交點為P(2,2),求直線l的方程.

    分析:題中給出兩個圓的半徑之積,參考韋達定理,考慮半徑之和,則需構(gòu)造兩半徑滿足的方程,即找出r1與r2的某種統(tǒng)一之處,體現(xiàn)圖形的對稱性與方程形式上的統(tǒng)一.

    反思:兩圓交于同一定點,且結(jié)構(gòu)相似,圓的方程是二次結(jié)構(gòu),將定點坐標(biāo)分別代入兩圓的方程,統(tǒng)一起來即得同一方程的兩根即為兩個變量,也就是這其中蘊含著兩個變量間完整的關(guān)系.若作差得到兩圓公共弦所在的直線方程,則破壞了圓方程的結(jié)構(gòu),將定點坐標(biāo)代入直線方程也只是得到一個孤立的式子,不能全面反映所需信息,導(dǎo)致此題無法繼續(xù)求解,而利用同構(gòu)式則可柳暗花明.

    同構(gòu)的思想是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種參考和媒介,學(xué)生對同構(gòu)的認(rèn)知與應(yīng)用反應(yīng)出學(xué)生能否用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界,能否用數(shù)學(xué)的方法去解決遇到的問題,是素養(yǎng)的體現(xiàn).當(dāng)然本文只是同構(gòu)法在一個方面的呈現(xiàn),更多同構(gòu)的應(yīng)用還有待挖掘.

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