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    三類抽象函數(shù)??碱}型例析

    2022-12-04 14:48:23廈門集美中學(xué)陳習(xí)儉
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:基本特征最值題意

    廈門集美中學(xué) 陳習(xí)儉

    1 f(x+y)=f(x)+f(y)型

    求最值問題是有關(guān)抽象函數(shù)問題常見的一類題型,需要根據(jù)函數(shù)的自身基本特征求解,例如f(x+y)=f(x)+f(y)類型的抽象函數(shù),可以先構(gòu)建一次函數(shù)(f(x)=kx)進行轉(zhuǎn)化:①分析函數(shù)f(x)的原型解析式,以及該函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等;②利用f(x+y)=f(x)+f(y)等基本特征求解,通過構(gòu)造不等式判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;③具體問題具體分析,結(jié)合所知條件得到所求最值.

    例1對任意的x,y∈R,函數(shù)f(x)均滿足f(x+y)=f(x)+f(y),并且當x<0時,有f(x)>0,f(1)=-3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值.

    分析:本題是很明顯的一次函數(shù)型抽象函數(shù)問題,其中f(x)的原型是y=-3x.猜想該函數(shù)是實數(shù)集R上單調(diào)遞減的奇函數(shù),要求解在區(qū)間[-2,3]上的最值,即分析f(-2),f(3)的值.

    解:根據(jù)題意,得f(0)=0,f(-x)=-f(x),f(2)=2f(1)=-6,f(3)=3f(1)=-9.

    令任意x1

    f(x1)-f(x2)

    =f[(x1-x2)+x2]-f(x2)

    =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)

    =f(x1-x2).

    依題意,由x1-x2<0,得f(x1-x2)>0.

    即有f(x1)>f(x2).

    所以f(x)在區(qū)間[-2,3]上是減函數(shù).

    故它的最大值為f(-2)=-f(2)=6,最小值為f(3)=-9.

    分析:由于一次函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),可假設(shè)函數(shù)f(x)=-kx,借助已知條件f(1)=-2求出具體函數(shù)解析式,判斷所得解析式是否滿足“當x>0時,f(x)<0”這一條件.最后將所求一次函數(shù)解析式代入命題中的不等式中,求出具體解集,即可判斷命題的真假.

    解析:設(shè)函數(shù)f(x)=-kx.

    由f(1)=-2,可得k=2.

    即f(x)=-2x,且滿足x>0時,f(x)<0.

    代入不等式,可得-6x2+4x<-6x+4.

    整理,得6x2-10x+4>0.

    故所給命題為真命題.

    2 f(xy)=f(x)f(y)型

    求自變量的值是抽象函數(shù)問題的另一類常見題型,也需要利用其函數(shù)基本特征求解,例如f(xy)=f(x)f(y)特征類抽象函數(shù),可以構(gòu)建冪函數(shù)型(f(x)=xn)特征函數(shù)進行轉(zhuǎn)化,需要遵循以下思路:①猜想具體函數(shù)解析式,根據(jù)題設(shè)信息分析函數(shù)的具體形式,例如f(x)=x-1等;②根據(jù)猜想的函數(shù)形式判斷對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,并利用單調(diào)性解題;③利用函數(shù)基本特征解題,即將f(xy)=f(x)f(y)等基本特征與實際問題相結(jié)合進行求解.

    解:根據(jù)題意可知

    所以f(x)在區(qū)間(0,+∞)是減函數(shù).

    又因為f(1)=f2(1),f(x)>0,所以f(1)=1.

    又f(m)f(3)=f(3m),所以f(3m)=1=f(1).

    變式2已知f(x)在(0,+∞)上都有f(x)>0,且滿足f(xy)=f(x)f(y),f(3)=27,若f(-a2)=-64,則求a的值.

    分析:猜測滿足條件f(xy)=f(x)f(y)的函數(shù)f(x)為冪函數(shù)型,則假設(shè)f(x)=xn,利用該條件與f(3)=27推斷函數(shù)f(x)的解析式,并判斷函數(shù)的奇偶性,然后由f(-a2)=-64,即可得到a的值.

    解析:假設(shè)函數(shù)f(x)=xn.

    由f(3)=27,可得f(x)=x3.

    則有f(-x)=-f(x).

    所以f(-a2)=-f(a)f(a)=-64.

    因此f(a)=8,故a=2.

    3 f(x+y)=f(x)f(y)型

    抽象函數(shù)問題常見的還包括證明不等式成立問題,利用其函數(shù)基本特征是求解的常規(guī)手段,例如形如f(x+y)=f(x)f(y)的抽象函數(shù),可以構(gòu)建指數(shù)函數(shù)型[y=ax(a>0,a≠1)]特征函數(shù)進行轉(zhuǎn)化:①確定函數(shù)的解析式,即由題設(shè)信息分析得到函數(shù)的具體形式,例如y=a2等;②判斷函數(shù)的單調(diào)性,即根據(jù)函數(shù)解析式和題設(shè)條件,猜測函數(shù)在對應(yīng)定義域內(nèi)的單調(diào)性;③利用函數(shù)基本特征分析求解,即結(jié)合已知條件和函數(shù)的基本特征如f(x+y)=f(x)f(y),解得所求值.

    例3已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都滿足f(x+y)=f(x)f(y),且當x>0時,有01.

    分析:首先結(jié)合題意得到y(tǒng)=e-x是函數(shù)f(x)的原型,從而猜測f(x)是減函數(shù),再利用指數(shù)函數(shù)的基本特征f(x+y)=f(x)f(y)分析,得到01成立.

    證明 :依題意,得f(1)=f(1+0)=f(1)f(0).

    又f(1)>0,所以f(0)=1.

    所以f(0)=f[x+(-x)]=f(x)f(-x)=1.

    當x<0時,則-x>0,0

    故f(x)>1.

    綜上所述,當x<0時,f(x)>1.

    證明:因為當x>0時,0

    f(x2)f(y2)=f(x2+y2)>f(1).

    因為函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以

    x2+y2<1.

    故集合A代表圓面x2+y2<1內(nèi)點的集合.

    因為f(1)=f(0+1)=f(0)f(1),且f(1)>0,所以

    f(0)=1.

    由上述三個案例及其解題思路可以發(fā)現(xiàn),對于有關(guān)抽象函數(shù)問題,首先需要根據(jù)題意構(gòu)建對應(yīng)函數(shù)類型,然后分析函數(shù)單調(diào)性,再利用對應(yīng)的基本特征求解.因此一定要仔細分析題意,并熟悉各類函數(shù)的形式和性質(zhì),確保求解方向正確.

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