在變式教學(xué)中挖掘題根
——以一道“數(shù)列”課后習(xí)題為例

西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 梁 燕 吳明忠 陳清方

萬(wàn)爾遐老師曾經(jīng)說過：題根是一道具有生長(zhǎng)性的題. 題根將學(xué)生救出“題海深淵”，提高解題效率，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)[1]. 數(shù)列作為高考中必考的知識(shí)點(diǎn). 涉及的相關(guān)題型變化多端，計(jì)算紛繁復(fù)雜，但看似雜亂無章的問題背后，事實(shí)上有通法可尋. 古人云：“萬(wàn)變不離其宗.”由于題根是題目的根基，因此研究題根對(duì)解題而言顯得尤為重要.

1 原題呈現(xiàn)

已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證：a2,a8,a5成等差數(shù)列.

思路1：化歸思想、方程思想.

分析：由于涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和，所以首先分類討論公比q是否為1，根據(jù)前n項(xiàng)和的定義，分析出S9和S6中都包含了S3，再根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)(等差中項(xiàng))與等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程，求出公比q，代入需要求證的式子中，從而驗(yàn)證結(jié)論.

證明：①當(dāng)q=1時(shí)，由Sn=na1，得

2S9=18a1，S3+S6=3a1+6a1=9a1.

所以2S9≠S3+S6.

故S3,S9,S6不成等差數(shù)列，應(yīng)舍去.

②當(dāng)q≠1時(shí)，因?yàn)镾3,S9,S6成等差數(shù)列，有2S9=S3+S6，所以

2(S3+a4+……+a9)=S3+(S3+a4+a5+a6).

故2S3+2(a4+……+a9)=2S3+(a4+a5+a6).

即2(a4+……+a9)=a4+a5+a6.

所以2(a4+a5+a6)+2(a7+a8+a9)=a4+a5+a6，a4+a5+a6+2(a7+a8+a9)=0.

又因?yàn)閍7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)，所以

(a4+a5+a6)(1+2q3)=0.

又因?yàn)閍4+a5+a6≠0，所以1+2q3=0.

由此可得

所以2a8=a2+a5，即a2,a8,a5成等差數(shù)列.

思路2：整體代換法、分析法、方程思想.

分析：同思路1先分類討論公比q是否為1，再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)(等差中項(xiàng))列出等式，約分化簡(jiǎn)后運(yùn)用分析法，觀察化簡(jiǎn)后的式子與待證明的式子之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩式相差a1q-2倍. 思路2的特點(diǎn)是整個(gè)計(jì)算過程中并不用求出公比q，其巧妙之處在于運(yùn)用分析法發(fā)現(xiàn)待證明等式和化簡(jiǎn)出來的等式之間存在特定的倍數(shù)關(guān)系從而找到此題的突破口.

證明：①當(dāng)q=1時(shí)，同思路1.

2(1-q9)=1-q3+1-q6，

2q9=q3+q6.

等式兩邊同時(shí)乘a1q-2,得

2a1q7=a1q+a1q4.

所以2a8=a2+a5，即a2,a8,a5成等差數(shù)列.

點(diǎn)評(píng)：思路1結(jié)合代入驗(yàn)證利用化未知為已知思想，中規(guī)中矩；思路2結(jié)合逆向思維利用設(shè)而不求的整體代換思想，非常巧妙，為后面的變式奠定了基礎(chǔ). 兩種處理方法殊途同歸，都運(yùn)用了性質(zhì)法，分類討論思想、方程思想，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

2 變式探究

原題所考查的知識(shí)點(diǎn)如表1所示，下面從條件和結(jié)論兩方面入手，對(duì)此題進(jìn)行變式探究. 數(shù)列題所包含的基本量有：首項(xiàng)a1、公差d(或公比q)、具體項(xiàng)第n項(xiàng)an、第n項(xiàng)的序號(hào)n、前n項(xiàng)和Sn等[2]. 由于此題涉及到的基本量較少，因此主要研究項(xiàng)的下標(biāo)以及前n項(xiàng)和的下標(biāo)這兩種變式思路.

表1 原題所考查的知識(shí)點(diǎn)

2.1 條件變式探究

結(jié)論不變，條件改變下標(biāo)：

S3,S9,S6→S1,S7,S4/S2,S8,S5/Sn,Sn+6,Sn+3.

變式1已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S1,S7,S4成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

思路：引導(dǎo)學(xué)生逆向分析，由于條件改變，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到的等式可變?yōu)?S7=S1+S4，化簡(jiǎn)得到2q7=q+q4，比較它與特征式的異同之處，發(fā)現(xiàn)等式兩邊同時(shí)乘a1，可以得到2a1q7=a1q+a1q4，于是證明出a2,a8,a5成等差數(shù)列.

變式2已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S2,S8,S5成等差數(shù)列，求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

思路:等式2q8=q2+q5兩邊同時(shí)乘a1q-1.

變式3已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N*，Sn,Sn+6,Sn+3成等差數(shù)列,求證a2,a8,a5成等差數(shù)列.

思路:等式2qn+6=qn+qn+3兩邊同乘a1q1-n.

2.2 結(jié)論變式探究

條件不變，結(jié)論改變下標(biāo)：

a2,a8,a5→a1,a7,a4/a3,a9,a6/am,am+6,am+3.

變式4已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a1,a7,a4成等差數(shù)列.

思路：由于條件不變，因此由已知條件得到的等式2q9=q3+q6不變，引導(dǎo)學(xué)生利用原題的解決方法(根據(jù)在等式兩邊同時(shí)乘a1q-2便可得證)，因此為我們提供了解題思路，等式兩邊同時(shí)乘a1q-3就能證明a1,a7,a4成等差數(shù)列.

變式5已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證a3,a9,a6成等差數(shù)列.

思路:等式2q9+q3+q6兩邊同時(shí)乘a1q-1.

變式6已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意m∈N*，S3,S9,S6成等差數(shù)列，求證am,am+6,am+3成等差數(shù)列.

思路:等式2q9=q3+q6兩邊同時(shí)乘a1qm-4.

3 題根探究

在上述兩種變式思路的基礎(chǔ)上，可以發(fā)現(xiàn)下標(biāo)之間存在特定的聯(lián)系，結(jié)合由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，將條件結(jié)論結(jié)合在一起進(jìn)行變式，拓展到更為一般情況.

變式7已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n,m∈N*，有Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列，求證am+1,am,am+2成等差數(shù)列.

思路：由變式教學(xué)過渡到題根教學(xué)的過程中，教師切忌“填鴨式”教學(xué)，而應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，根據(jù)前面的變式循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生自主找出規(guī)律，總結(jié)方法，提煉題根.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和歸納能力.(等式2qn=qn+1+qn+2兩邊同時(shí)乘a1qm-n-1.)

變式8已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意p,r,t,k,m,n∈N*，且p,r,t成等差數(shù)列，若pSk,rSm,tSn成等差數(shù)列，求證pak,ram+1,tan+1成等差數(shù)列.

思路：由于新添加了系數(shù)這一基本量，具有一定的難度.教師可以適當(dāng)給出題根分析，即此題根是在討論已知含有系數(shù)的任意三個(gè)前n項(xiàng)和為等差數(shù)列，去判定任意三項(xiàng)亦為等差數(shù)列的問題.證明方法與前面類似，此處不再作具體的分析．

4 教學(xué)反思

荀子曰：“千舉萬(wàn)變，其道一也．”意思是萬(wàn)千事物盡管在形式上變化多端，但其本質(zhì)是不變的[3]. 在解決千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題的過程中，要注意觀察分析其變化規(guī)律，在變與不變中抓準(zhǔn)其本質(zhì)的不變性，還原數(shù)學(xué)知識(shí)的本來面目，從而開展變式教學(xué).

變式教學(xué)是一種雙贏的教學(xué)手段， 既能培養(yǎng)學(xué)生在變換的條件下舉一反三，又能挖掘出題目的本質(zhì)，有利于學(xué)生了解知識(shí)方法的拓展和遷移，從而掌握這一類題型. 因此教師在變式教學(xué)中，應(yīng)抓住問題本質(zhì)，精選題、巧設(shè)計(jì)、有意識(shí)地尋找和設(shè)置題根，開展圍繞題根知識(shí)的變式教學(xué).