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    合理換元 巧妙構(gòu)建
    ——一道導(dǎo)數(shù)題的探究

    2022-12-04 14:48:23山東省菏澤第一中學(xué)孟麗娟
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:換元等式實(shí)數(shù)

    山東省菏澤第一中學(xué) 孟麗娟

    1 問題呈現(xiàn)

    問題[2022年安徽省安慶市高三模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試題(理)·12]若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使得等式x(2+lnx)=xlny-ay成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

    此題以含參的方程為問題背景,利用等式成立創(chuàng)設(shè)情境,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.除了參數(shù)a外,還有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的變量x,y,結(jié)合等式的轉(zhuǎn)化并借助對(duì)數(shù)運(yùn)算等加以恒等變形,對(duì)兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系加以合理處理,是切入與解決問題的關(guān)鍵.

    2 問題破解

    方法1:比值換元法1.

    令f′(t)=0,解得t=e3.

    當(dāng)t∈(0,e3)時(shí),f′(t)>0,函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,e3)上單調(diào)遞增;當(dāng)t∈(e3,+∞)時(shí),f′(t)<0,函數(shù)f(t)在區(qū)間(e3,+∞)上單調(diào)遞減.

    故選擇答案:D.

    解后反思:根據(jù)題目條件中對(duì)應(yīng)等式的恒等變形,合理分離參數(shù),巧妙換元,從而構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,通過函數(shù)的單調(diào)性與極值來確定參數(shù)的取值范圍.利用比值進(jìn)行巧妙的換元處理,為構(gòu)建函數(shù)提供條件,從而轉(zhuǎn)化為常規(guī)的函數(shù)問題來分析與處理.

    方法2:比值換元法2.

    故選擇答案:D.

    解后反思:根據(jù)題目條件中對(duì)應(yīng)等式的不同視角的恒等變形,也同樣可以進(jìn)行比值換元,雖然換元視角不同,但解題思維一致.抓住常規(guī)思維,合理恒等變形,巧妙分離參數(shù),正確構(gòu)建函數(shù),函數(shù)求導(dǎo)處理,單調(diào)極值確定,是解決此類問題中一系列基本的思維步驟與操作技巧.

    方法3:多次換元法.

    當(dāng)m∈(0,e)時(shí),f′(m)>0,函數(shù)f(m)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增;當(dāng)m∈(e,+∞)時(shí),f′(m)<0,函數(shù)f(m)在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減.

    故選擇答案:D.

    解后反思:根據(jù)題目條件中對(duì)應(yīng)等式的恒等變形,巧妙分離參數(shù),兩次進(jìn)行換元,其目的是進(jìn)行齊次化處理,進(jìn)而合理構(gòu)建函數(shù),同樣利用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的最值,從而確定參數(shù)的取值范圍.齊次化處理時(shí)要求學(xué)生具備較強(qiáng)的觀察能力與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有時(shí)解題中數(shù)學(xué)運(yùn)算量比較大.

    3 變式拓展

    將原題及其對(duì)應(yīng)的解決技巧方法等從視角、深度、廣度等方面加以思考與推廣,才能進(jìn)行多方位的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用,從而充分體會(huì)與挖掘原題的訓(xùn)練與應(yīng)用價(jià)值,得到對(duì)應(yīng)的變式問題,進(jìn)而進(jìn)一步提升與拓展知識(shí)與能力.

    變式1若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使得等式2x+a·(y-2ex)(lny-lnx)=0成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

    所以g(t)≥g(e)=-e.

    故選擇答案:C.

    解后反思:根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用換元法轉(zhuǎn)化為方程有解,構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值和單調(diào)性的關(guān)系求解即可達(dá)到目的.合理分離參數(shù),利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的極值和最值是解決此類問題的關(guān)鍵.

    變式2若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y使等式x+a(y-x)(lny-lnx)=0成立(其中e=2.71828…),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

    所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g′(t)>0,函數(shù)g(t)單調(diào)遞增;當(dāng)t∈(1,+∞),g′(t)<0,函數(shù)g(t)單調(diào)遞減.

    故g(t)在t=1時(shí),取得最大值g(1)=0.

    解后反思:根據(jù)題目條件合理變換對(duì)應(yīng)的等式,巧妙換元與構(gòu)建函數(shù)是破解問題的關(guān)鍵.借助求導(dǎo)來確定函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的極值與最值是解決此類問題的目的,為進(jìn)一步解決分離參數(shù)后所對(duì)應(yīng)參數(shù)或參數(shù)關(guān)系式的取值范圍提供條件.

    4 教學(xué)啟示

    (1)通技通法,歸納總結(jié)

    涉及等式或不等式恒成立背景下求解參數(shù)取值范圍的問題,“通技通法”就是對(duì)相應(yīng)的等式或不等式加以恒等變形與轉(zhuǎn)化,合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值來求解相應(yīng)參數(shù)的取值范圍.構(gòu)建函數(shù)時(shí),要借助整體換元思維、同構(gòu)思維等.

    (2)知識(shí)交匯,能力提升

    涉及此類等式或不等式恒成立下的參數(shù)取值范圍的問題,經(jīng)常在知識(shí)的交匯處加以巧妙設(shè)置,充分考查不同知識(shí)點(diǎn)之間的交匯與融合,以及不同知識(shí)點(diǎn)與思想方法的綜合與應(yīng)用.解決問題時(shí)切入點(diǎn)多,技巧性強(qiáng),思維方法多樣.通過問題的深入分析與解決,巧妙形成知識(shí)體系,清晰解題思維,從而提升學(xué)生理解問題、分析問題與解決問題的能力,拓展數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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