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    理解教材編寫意圖,重構(gòu)思維深層參與的教學(xué)設(shè)計*
    ——以“余弦定理”為例

    2022-12-04 14:48:23太原師范學(xué)院王燕榮王佳麗閆喜紅
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:余弦定理意圖定理

    太原師范學(xué)院 王燕榮 王佳麗 陳 莉 閆喜紅

    1 問題的提出

    余弦定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,其定量刻畫了三角形邊角之間的關(guān)系.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020修訂版)》明確要求:借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理,能用余弦定理解決簡單的實際問題[1].其意在為向量的應(yīng)用提供一個重要的載體,使學(xué)生進一步領(lǐng)悟向量法所蘊含的數(shù)學(xué)思想,掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領(lǐng)和方法的同時,完善對三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[2].

    在余弦定理具體的教學(xué)設(shè)計中,多數(shù)教師存在認(rèn)識上的誤區(qū)和偏差.有些教師還是傾向于使用常規(guī)的證明方法,認(rèn)為向量法只是附加品,“蜻蜓點水”說明即可;有些教師在原有證明方法的基礎(chǔ)上增加了向量法,關(guān)注定理證法的多樣化;還有些教師開門見山直接告知使用向量法證明,沒有采取積極合理的方式促使學(xué)生有意識地運用向量法去解決問題,未能感受到向量法的巨大力量,沒有凸顯出向量法的特點和優(yōu)勢.

    眾所周知,數(shù)學(xué)教材是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、保證數(shù)學(xué)教學(xué)實施的重要資源,是教材編寫者集體智慧的結(jié)晶,體現(xiàn)了他們對數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識、理解及價值取向.教師只有領(lǐng)悟和理解教材編寫者的意圖,學(xué)會創(chuàng)造性地加工和使用教材,才能避免陷入“完全脫離教材”和“照本宣科”的誤區(qū).

    基于此,筆者以2019年人教版A版高中數(shù)學(xué)必修二第六章第4.3節(jié)“余弦定理”為例進行了教學(xué)設(shè)計,旨在加深學(xué)生對高中教材平面向量內(nèi)容的理解,體會向量法的自然性和合理性,提升運用向量解決問題的意識和能力,進而獲得良好的情感和認(rèn)知體驗,促進思維的深層參與,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    2 促進思維深層參與的余弦定理教學(xué)設(shè)計

    2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材以余弦定理和正弦定理的證明為載體,創(chuàng)造更多的機會培養(yǎng)學(xué)生用向量法解決幾何問題的意識,使學(xué)生切實感受到向量法解決問題的優(yōu)勢,更好地掌握向量法,也為后面學(xué)習(xí)正弦定理提供了方法上的引導(dǎo).

    在學(xué)習(xí)余弦定理時,無論以哪種方式證明,盡量以產(chǎn)生式的方法進行,盡可能使學(xué)生了解定理的由來、剖析定理的結(jié)構(gòu)、探尋定理的證明思路和方法、熟悉定理的應(yīng)用,構(gòu)建系統(tǒng)化知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò).

    2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境,引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)需求

    問題1大同市人杰地靈、風(fēng)景優(yōu)美,擁有許多馳名中外的名勝古跡,大同火山群是中國著名第四紀(jì)火山群.小明在寒假期間來到大同旅游,第一天他從大同火山群出發(fā),向東偏南30°方向前進直線距離約4 km到達了閣老山.第二天計劃從大同火山群出發(fā),向東偏南85°方向前進直線距離約8 km就可以到達大同火山國家地質(zhì)公園(如圖1所示).小明改變了行程計劃,想直接從閣老山出發(fā)到大同火山國家地質(zhì)公園,如何行進最為合理?

    圖1 實際問題圖

    設(shè)計意圖:從現(xiàn)實生活中的情境和學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的熱情,使學(xué)生經(jīng)歷分析、歸納、反思、修正的認(rèn)識過程,引發(fā)思維積極參與,積累數(shù)學(xué)活動的基本經(jīng)驗.在此過程中教師不失時機地引導(dǎo)學(xué)生將生活問題數(shù)學(xué)化,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及分析和解決問題的能力,同時感受到家鄉(xiāng)的美麗,增強對家鄉(xiāng)的熱愛之情.

    2.2 重視啟發(fā)質(zhì)疑,探尋問題解決思路

    問題2從閣老山B出發(fā),只要求出BC的長度,一定能到達大同火山地質(zhì)公園嗎?

    學(xué)生有些困惑,認(rèn)為只要求出線段BC就解決問題了.教師借助《幾何畫板》作圖,如圖2所示.

    圖2 從閣老山行進BC長度的路線

    學(xué)生觀察圖片可以發(fā)現(xiàn),從閣老山B出發(fā)前進BC的長度能到達的地方有很多.

    教師追問:僅僅通過求出兩點間的距離,為什么不能確定目的地?

    學(xué)生根據(jù)圖2回答:因為方向不確定,還需要考慮前進的方向.

    教師解釋道:方向非常重要,大家都聽過南轅北轍的故事吧!一旦方向錯誤,努力都是徒勞的.在這個問題中,既要考慮大小,又要關(guān)注方向,大家能想到什么?

    學(xué)生馬上想到前面剛學(xué)過的向量——既有大小又有方向.

    設(shè)計意圖:學(xué)生在思考過程中更多關(guān)注的是距離的遠近,不易直接想到從向量的視角來解決問題.教師的啟發(fā)引導(dǎo)和《幾何畫板》的動態(tài)展示,使學(xué)生感受到僅考慮距離(或路程)是不夠的,自然聯(lián)想到前面學(xué)習(xí)過的向量,激活解決問題思考的方向,提升思維的批判性和深刻性,潛移默化地讓學(xué)生懂得努力重要但方向更重要的道理.

    2.3 加強合作交流,促發(fā)學(xué)生深度思考

    問題3使用向量法,如何解決問題2?從圖3中能得到哪些信息?

    圖3

    =b2+c2-2bccosA.

    同理可得

    b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

    教師繼續(xù)追問:長度問題已經(jīng)解決了,方向呢?

    設(shè)計意圖:利用平面向量的有關(guān)知識,以問題為載體,通過教師提問、追問等方式,引導(dǎo)學(xué)生獨立思考,探索并直觀感知銳角三角形中邊角之間的關(guān)系.抓住數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征,并體會向量法解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性,增強運用向量法解決數(shù)學(xué)問題的意識,同時發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).

    2.4 證明余弦定理,提升數(shù)學(xué)認(rèn)知水平

    問題4在銳角三角形中運用向量法證明了a2=b2+c2-2bccosA,那么在一般三角形中,是否也能得到類似結(jié)論?

    學(xué)生自然聯(lián)想到只需證明該結(jié)論在直角三角形和鈍角三角形中成立即可.

    圖4

    =b2+c2-2bccosA.

    故a2=b2+c2-2bccosA.

    圖5

    =b2+c2-2bccosA.

    故a2=b2+c2-2bccosA.

    師生共同概括余弦定理,剖析定理的條件和結(jié)論,強調(diào)數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)化,并對定理變形,獲得其推論:

    設(shè)計意圖:將問題從特殊情況推廣到一般情況,實現(xiàn)了知識和方法的正遷移.通過文字語言,符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)化,使學(xué)生從多個角度理解余弦定理,提升思維的深度.學(xué)生在整個學(xué)習(xí)過程中感悟到從特殊到一般、分類討論以及向量法的數(shù)學(xué)思想方法,體會到向量法的簡潔以及余弦定理結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一美,進而發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

    2.5 應(yīng)用余弦定理,解決數(shù)學(xué)相關(guān)問題

    問題5你能幫助小明解決遇到的問題嗎?

    由余弦定理,可以得到BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA.

    由AB=4,AC=8,∠A=55°,得BC≈7.

    故小明應(yīng)從閣老山出發(fā)向西偏南59°前進7 km最快到達大同火山國家地質(zhì)公園.

    設(shè)計意圖:應(yīng)用余弦定理解決問題情境中提出的問題1,使學(xué)生體會到余弦定理是源于現(xiàn)實問題的需要,不是從天而降的,體現(xiàn)余弦定理的應(yīng)用價值.通過解決實際問題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

    2.6 構(gòu)建知識縱橫聯(lián)系,形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

    問題6梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程,談?wù)勀阌心男┦斋@?

    圖6

    師生共同構(gòu)建本節(jié)課知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)(如圖6),促進學(xué)生知識的系統(tǒng)化.

    設(shè)計意圖:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程,良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.教師的主要任務(wù)是幫助學(xué)生建立知識間的縱橫聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu),促進學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善,從而提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

    3 結(jié)論

    數(shù)學(xué)教材為“教”與“學(xué)”活動提供了重要的資源.教師要深入挖掘教材立意,體會教材編寫者的意圖,精準(zhǔn)把握課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,只有這樣才能充分展示數(shù)學(xué)教材的引領(lǐng)和示范功效,從而創(chuàng)造性地使用教材,促進學(xué)生思維的深層發(fā)展及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地.

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