“四美”：數學實驗教學目標達成的支持系統(tǒng)*

孫朝仁

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

朱桂鳳

(江蘇省連云港市鳳凰學校 222006)

數學實驗作為數學課程實施的一種有效方式，具有強烈的“各美其美”的美育知性特征，為“生活—數學”“活動—思考”范疇審美目標的實現起到支撐性作用．在美學辯證形態(tài)下，任何事物總是由“正題—反題—合題”[1]成分組成的，其中，正題是美的基值，反題是美的變異，合題是美的派生．數學實驗體現無限傾向性美育特征，在“正、反、合”思考行為的監(jiān)控調節(jié)下，成就了美的一般觀念，即以思考為美，最終統(tǒng)一到“變”，達到“無限的審美傾向”．數學思考是最樸素的美的行為，基本經驗是美的集成行為，而“探—索”作為過程目標的承擔“腳本”[2]則是美的執(zhí)行對象，基于這樣的屬性意義，可以確認，“數學思考”中所反映出來的美的一般觀念就是數學實驗課程的“位格”[3]目標(“位格”是指一個智慧生命的存在顯現，也可以稱之為“生命中心”，這里借指數學實驗的“中心目標”或者說是最核心目標)．

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(下稱《課標2011》)基于“數學思考”這一目標的四個層面，突出數學實驗美的自然狀態(tài)：一是數學抽象和數學運算；二是數據分析；三是數學推理；四是基本思想和思維方式．其中，“基本思想”替代數學建模，“思維方式”替代直觀想象．這樣，在美的一般觀念作用下，初中段數學教育素養(yǎng)目標與高中數學課程標準修訂組提出的6種核心素養(yǎng)成分[4]具有內部關系的一致性．為此，研究正題美、反題美、合題美以及變題美等美的一般觀念，正是體現和反映有素養(yǎng)數學實驗教學的現實意義和前瞻影響．

東方美的本質是圍繞生命的體驗與探索展開的．數學實驗美的一般觀念，就是在審美知覺的支配下，通過“做”的正題美，顯化經驗目標的層次屬性；通過“思”的反題美，投射思維目標的高階屬性；通過“用”的合題美，反射方法目標的系統(tǒng)屬性；通過“元認知”的變題美，外化素養(yǎng)目標的本質屬性，終于數學實驗美的一般觀念的定性把握．

數學求真，美學求善，數學實驗與美相遇，則求有素養(yǎng)“教—學”目標的圓滿實現．

1 正題美：實現數學實驗教學的經驗目標

中國傳統(tǒng)哲學認為“里仁為美”，現代教學論有“思考為美”“美益求美”的論點．《課標2011》從“數學思考”的審美動機出發(fā)，反映過程目標動詞“探—索”的常識意義，即獨立或與他人合作參與特定的數學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現對象的特征及其與相關對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識．這里的“理性認識”是一種大美，而美是感性經驗的緩存狀態(tài)，因此“正題美”的價值直指經驗目標的元目標屬性，數學實驗的實施是經驗目標得以實現的“思考事件”的審美共識．數學實驗具有美的無限傾向性選擇特征，實驗主題的確定、實驗目標的確認、實驗方法的確立以及實驗內容的選擇和組織等，都充滿美的直覺思考行為，使得數學實驗教學具有正題美的一般意義．

進行數學創(chuàng)造的最主要驅動力是對美的思考追求．羅素，這位抽象數學思想大師曾直言不諱地說，“提出問題”是有創(chuàng)造認知思考的開始，是正題美的直接思考的結果狀態(tài)．在美的一般觀念范疇，數學審美創(chuàng)造的基本途徑是“還原—建?！保瓦@一意義來說，還原事物的本來概貌是數學實驗“做與思”的必然產物．數學建模是提出問題的先決審美條件，因此，數學實驗經驗目標的達成狀態(tài)就是正題美的直觀對象．為此，美學表達形態(tài)的數學實驗，必須在先行組織行為范疇做好三個層面的審美工作：一是實驗主題“有趣”，引發(fā)做數學的驅動力；二是實驗內容“向美”，引發(fā)數學建模的情感沖動；三是實驗目標“悟道”，知其數學本源的所以然．

數學實驗研究組為提升學生對“二元一次方程組”的建模能力和直觀審美想象能力，開發(fā)了主題為“測量硬幣的厚度和質量”的數學實驗，意在突出正題美的經驗析取目標，落實數學實驗教育的審美意義．該實驗的審美目標確立為：通過測量硬幣的厚度與質量，體會二元一次方程組是解決實際問題的一般通用數學模型．實驗審美線索是：首先，讓學生用尺子和天秤測量出分別疊放在一起的10枚5角硬幣和10枚1元硬幣的厚度和質量，讓學生分別說出1枚5角硬幣和1枚1元硬幣的厚度和質量；其次，讓學生將一把5角和1元硬幣混合在一起疊起來，用尺量出它的厚度．由此設問：能否知道分別有多少枚5角硬幣和1元硬幣?為什么?再次，讓學生用天秤稱出這把硬幣的質量，利用二元一次方程組算出5角硬幣和1元硬幣的數量．最后，讓學生合作提出類似問題，利用二元一次方程組加以解決，并對結論作出合理的解釋．

美如同情感經驗一樣，也是一種心理感受．希臘人將美看作是秩序、一致、完整和明晰[5]．上述范例中的“尺子量”“天秤稱”就是數學情感經驗得以領悟的表現，后續(xù)的“方程建?！獞媒忉尅眲t是秩序審美、完整認知的通用技術．就這一層面來說，任何數學實驗開發(fā)的初衷都是美的念頭得以產生，反映數學實驗美的一般價值．如果說，測量硬幣本身就是正題美的知覺表現，那么“二元一次方程的整數解”與“二元一次方程組的解”的關系建立是經驗目標得以實現的集大成者，而提出類似問題的擬經驗行為則是正題美的集中表現，投射了“有趣—向美—悟道”現象背后的數學建模力量，落實人人獲得審美形態(tài)的數學思考目標．

任何事物的發(fā)展都會走向其對立面，數學實驗美的一般觀念亦不例外．由于正題美的感性局限性，還需要反題美的一般理性，才能讓數學實驗目標的位格屬性得以充分顯化．

2 反題美：實現數學實驗教學的思維目標

按照康德的美的一般思考觀點[6]，實踐理性按照自身的要求而對現實世界施加影響，使經驗世界最大限度合乎實踐理性的要求．在數學實驗美學范疇，反題美本身就是理性認知精神的本質外化和對思維抽象的抽象，基于這一意義理解，反題美的基本任務就是將數學實驗過程中美的現象或美的規(guī)律，疊合成美的數學本質，體現數學智慧．當然，數學本質的揭示需要高階思維(如分析、綜合、評價等)的支配，需要數學思考的參與，方能在美的觀念作用下成就美的智慧的生長和思維目標的達成．《課標2011》在“數學思考”目標范疇提出數學理性層次目標是建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維．這些帶有強烈素養(yǎng)成分的教學目標，使得數學實驗具有無限嚴肅的反題美，“形象思維”是美的初始狀態(tài)，“抽象思維”是美的一般觀念，為此才有“冰冷美麗”背后的“火熱思考”美的一般價值．

數學反題美給人的一般感受是具有“突發(fā)性”特征，一般來自潛心思考后的頓悟．在數學實驗美學心理范疇，人類的心緒在從感覺過渡到思維的過程中，需要經歷一個中間的審美狀態(tài)，方能能動地思考．日常教學中的“親其師，信其道”以及“求知欲”“悱憤狀態(tài)”都是審美支配下的理性思維發(fā)生的一般條件．事實上，認識美本身就是一種能體現人的自由自覺的創(chuàng)造活動，而創(chuàng)造活動必須借助一定的理性思維成分才能實現．為此，在反題美的一般觀念下，數學實驗教學必須遵循三個基本原則，方能實現美的一般觀念下的思維目標，即數學抽象和數學運算分析．一是經歷數學抽象，讓學生知其然，并知其所以然；二是實施問題“反應塊”影響，讓學生在“做”中思考，在思考中實踐理性層級上升；三是建立概念關系，讓學生在順應行為中提升抽象思維的內在品質，終于無意識思維的自覺選擇作用，體現“學會思考”創(chuàng)新意識美的一般作用．

數學實驗研究組研發(fā)了主題為“平面圖形的密鋪”這一數學實驗，其主要內容是，用形狀相同或不同的多邊形進行拼接，彼此之間既無空隙、又不重疊地鋪成一片．這樣設計意在突出反題美“思維目標”的理性特征，落實“數學抽象”這一核心素養(yǎng)目標的培養(yǎng)功能．反題美思維目標線索：首先，是簡單密鋪．兩人一組，按要求進行平面圖形的密鋪，并將個性作品在組內交流．要求學生：(1)用銳角三角形紙片進行平面圖形的密鋪；(2)用四邊形紙片進行平面圖形的密鋪．通過上述平面圖形的密鋪，你有什么發(fā)現？其次，是組合密鋪．在等邊三角形、正方形、正六邊形、正八邊形中任選兩種紙片若干張，進行平面圖形的密鋪，展示拼得的作品，與同學交流拼圖心得．最后，是創(chuàng)意繪本．讓學生分別選取大小相同、形狀一樣的各種紙片若干張，進行平面圖形的密鋪且說明合理鋪設的機理，并將作品進行展示與交流．

上述范例中，“簡單密鋪→組合密鋪→創(chuàng)意繪本”是反題美的執(zhí)行創(chuàng)造行為，有效地落實了“數學抽象”這一重要思維目標．在這里，應該說“思考—鋪設—思考”是問題反應塊傳遞思維力量的審美途徑，“展示—交流—說明”的過程是概念關系得以有序建立的過程，尤其是“二元一次方程整數解”(比如，用邊長一樣的正方形和正三角形進行密鋪，求需要不同地磚的塊數，可以用90x+60y=360的整數解表達)得以直觀顯化的過程，是數學抽象和數學運算目標得以同時實現的上位表現．可以說，這樣的數學教學過程就是反題美的情感升華的過程，體現了“學會思考”的審美力量．

3 合題美：實現數學實驗教學的方法目標

“天人合一”是東方哲學的悠然境界，是數學家追求“通體相關”數學合題美的情結．“合一”取哲學層面的“對立統(tǒng)一的‘統(tǒng)一’”意義，有“天地與我并生，萬物與我為一”的全息價值取向．在數學實驗范疇，合題美本身就是新生事物或新的數學方法體系得以產生的觀念性標志，是對正題美的操作范式的繼承與否定，又是對反題美的行為產生式的揚棄與升華，在重組、改造和組合美的一般思想方法結構或擴充其內涵的思想基礎上，形成能統(tǒng)一更多認識的、最完善的新的數學思想理論框架或更一般的概念常識，終于數學實驗教學論的更新、突破與超越(這里特指數學實驗教學價值取向的變化、數學實驗觀念的形成)，然后站在美的一般觀念上進行自然的、自由的、自覺的數學實驗教學及其本源性思考，即常態(tài)數學實驗教學法的定位．

當然，數學的美[7]表現在許多方面，但特別表現在數學的思想與精神上．研究者把這里的“思想”作為“數學思考”的替代概念，而把“精神”當做形而上的“方法目標”及其子概念數學推理．數學推理不止于一般的數學核心素養(yǎng)成分，更在于進行理性思考之后呈現的精神美．《課標2011》在“數學思考”目標范疇要求在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，能清晰地表達自己的想法．在數學實驗合題美范疇，研究者認證合情推理是“本源美”，演繹推理是“流動美”，“源與流”的統(tǒng)一就是數學實驗美的一般范式．事實上，把析取的數學概念與認識常識組織起來，使其成為高度有序的合題系統(tǒng)，在思考中尋求概念與方法的一致性，最終形成不同類型不同層次的數學思想方法，就是合題美追求的終極方法目標．為此，在合題美視域下，數學實驗教學要做好三個方面的工作：一是問題的工具性思考；二是問題的概念性思考；三是問題的關系性思考．

數學實驗研究組設計了“展開與折疊”這一多元性實驗，突出了合題美的方法目標秩序特征，很好地落實了數學的“派生”(基本套路或道生無限、舉一反三等)功能．合題美的具體執(zhí)行流程：(給每組準備的工具箱里有圓柱、圓錐、正方體、剪刀)首先讓學生先猜測圓柱、圓錐的側面展開圖是怎樣的平面圖形，然后通過隨意剪圓柱、圓錐模型的側面，并說明側面展開圖與該幾何體有怎樣的關系．其次是讓學生任意剪正方體，并把不同的展開圖張貼在展板上，說說需要剪掉幾條棱？為什么？(正方體一共12條棱，在展開圖上，有5條棱還連著，12-5=7，所以剪了7條棱；數展開圖外圍棱的條數，一共14條棱，剪之前是兩兩相連，所以14÷2=7，剪了7條棱；通過剪的時候數剪的棱的條數得出是7條棱．)最后是讓學生任意畫出一個正方體的表面展開圖，然后讓同桌沿正方體合適的側棱動手剪出該平面圖形．

理性主義美學家笛卡爾從合題美的一般觀念出發(fā)，確證哪里有理性的使用，哪里有人，哪里才有高貴，哪里才有美．這里的“猜→剪→畫→剪”本身就是合題美釋放數學工具力量的一般表現，落實人因理性美的能力而高貴的方法意義，其中剪掉條數的研判過程是數學推理的基層形式，反映方法目標與數學思考內在關系的一致性．而“層次性‘剪’”的行為可以看作是問題的工具性思考的實踐行為，“幾何體—平面展開圖—剪掉棱數”關系的探討過程是問題概念性思考的內部表現形式，“任意畫—條件性剪”是問題關系性思考的一個典型操作范式，反映數學實驗理性自由美的高度統(tǒng)一性和合題美的方法目標屬性．

4 變題美：實現數學實驗教學的素養(yǎng)目標

變題美起于美的思想派生屬性，終于數學實驗的精神美、思想美和方法美的高度統(tǒng)一．數學美的思想屬性，追求常識是美；數學美的方法屬性，強調變量是美．這些各美其美的理念要求數學實驗教學從“有限的認知傾向”轉向“無限的審美傾向”．從心理認知角度看，數學實驗教學要實現情感、態(tài)度、素養(yǎng)等變題美的目標，就要加強學生對數學美的具身體驗和緩存感受，遵循變題美的心理感受規(guī)律(認識的變遷、素養(yǎng)的升華、價值觀的正向變化)．進而形成數學實驗是一種樸素美的觀念，實驗素養(yǎng)目標是美的一般觀念的內化狀態(tài)．“做數學有趣”“數學實驗有意義”“實驗變量的思考是美的”，這些變題美的自由認識，反映了數學實驗教學美的微言大義，絕不是一個“玩”字能涵蓋的，而是思想方法美的集大成行為．

如果說，數學思考是變題美的初始狀態(tài)，那么，思維方式的轉化就是變題美的遷移狀態(tài)，應用數學觀念則是數學美能力系統(tǒng)得以形成的標志(注：初中段應用數學觀主要傳遞數據分析觀念的信息流)．《課標2011》在“數學思考”目標范疇要求體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數據分析觀念，感受隨機現象．這里的數據分析觀念是學科教育的頂層屬性目標，是數學素養(yǎng)教育的終極追求，也就是學即為用的目標追求，反映數學課程教育的基本走向——給學生留下“可帶走”的東西．在某種意義上說，處理和使用數據的能力，決定著人們“變換角度”看問題這一變題審美的函數水平，尤其在大數據說話、做事、證實時代，形成數據分析的一般觀念標志著美的一般觀念的產生式形成．這種“使用主義”審美傾向與“應用意識-創(chuàng)新意識”核心素養(yǎng)的內部規(guī)定呈顯著正相關．正是基于這一意義，數學實驗在變題美的視域下，必須遵循三個審美原則．一是先行組織材料無限貼近學生的審美心理秩序；二是問題監(jiān)控塊帶有可變式的層次屬性，讓不同人都有審美沖動的認知契機；三是數學思考發(fā)生在知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新三級水平，實現人人獲得良好“使-用”數學教育的高階目標．

實驗研究組開發(fā)了帶有強烈素養(yǎng)目標指向的“估測”實驗，目的就是在變題美的支配下，發(fā)展數據處理和使用能力，實現數學實驗層級素養(yǎng)的變遷功能．具體執(zhí)行秩序簡概如下：首先是讓學生估測身高．估計自己班級數學老師的身高，并將全班同學的估計值繪制成統(tǒng)計表，分別計算出估計值的平均數、眾數、中位數．再測出數學老師的實際身高，與你自己的估計值相比較，發(fā)現了什么？其次是讓學生估測體重．以小組為單位，目測每位同學的體型，分為偏胖型、標準型、偏瘦型三類．測量計算：分別測量并記錄小組內每位同學的身高(m)、體重(kg)，并分別計算體重與身高平方的比值，填入表格(表略)，根據表中的數據對不同體型學生的體重與身高平方的比值作出估計(可以用比值的平均數、眾數、中位數作出估計；也可以用每一類型學生“體重的和÷身高平方和”作出估計)，你有何發(fā)現？與同伴交流并實測驗證．最后是讓學生編制“類同”的實驗，并進行數據收集、處理和使用活動，交流這一審美活動感受．

數學實驗要求一體性，審美傾向要求多樣性．時代的人即主客體的復合體的人，則始終表現出變換的多樣性．在數學實驗變題美范疇，變題美是變換的集合名詞，涵蓋變式、變量以及變異等可再生意義，是數學實驗的最高境界．數學實驗的間接目的是“內化于心，外化于行”；直接目的就是培養(yǎng)人的審美能力，落實創(chuàng)新教育時代主題的責任目標．就實驗審美傾向論來說，估測本身就是一種變題美的思維現象，突出數據分析觀念的使用意義，是一種很好的引發(fā)多樣審美的心理組織材料，突出數學實驗的“初心”．“估測身高—估測體型—編制變題”是監(jiān)控反應塊釋放力量的就緒狀態(tài)，實現了素養(yǎng)層級的微觀美的一般目標；“處理數據—使用數據—證實數據”是數學思考的集中反映，投射了數學實驗審美理想的期待狀態(tài)，為實驗添加了社會屬性，在一定層面實現了“立德樹人”的審美教育目標．

數學實驗美的一般觀念，起于微觀思考目標狀態(tài)，終于宏觀審美位格素養(yǎng)．通過數學實驗，讓正題審美獲得感性內容，使人的秉性轉化為反題的現實力；同時，讓合題感性內容獲得理性審美支持力，進而使得千變萬化的現象顯示出高度的一體性，即變題美的無限傾向力，終于數學實驗美的一般心理特征產生式形成．