從一道高考題變式談指對混合式的五種處理思路

李志娜

(河北省邯鄲市第一中學(xué) 056002)

邯鄲市2022屆高三質(zhì)檢考試的壓軸導(dǎo)數(shù)題，是一道指對混合的不等式恒成立問題．題目如下：

已知函數(shù)f(x)=aex-1-x．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)+x-1≥lnx-lna恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

可以看出，此題第(2)題與2020年山東高考試卷的第21題基本相同．此題可從不同角度解決，有多種思路和方法，略去第(1)問，現(xiàn)將第(2)問的5種思路整理分析如下．

1 含參分類討論

3.2 齊次化構(gòu)造函數(shù)

點(diǎn)評這類構(gòu)造將多元變量利用齊次式變成單一變量，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解決，可以減少多變量帶來的麻煩．

4 結(jié)語

新高考背景下函數(shù)的運(yùn)用依然廣泛，對于構(gòu)造函數(shù)，需要打破原題中的思維束縛，靈活地運(yùn)用構(gòu)造法，找準(zhǔn)最能反映考題結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的函數(shù)，以便使問題得到快速的解決．這就要求學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于積累，大膽嘗試，將“構(gòu)造”擺心間，這樣面對復(fù)雜的壓軸題時(shí)才能做到“不畏浮云遮望眼”．

當(dāng)a=1時(shí)，g(x)≥g(1)=0，故a=1符合題意．

當(dāng)0

綜上所述，a的取值范圍是[1,+∞)．

方法2(必要性探路+換主元) 令g(1)=a- 1+lna≥0，得a≥1．令t(a)=aex-1+ lna-lnx-1，因?yàn)閑x-1>0，所以t(a)為[1,+∞)上的增函數(shù)，故只須證明a=1時(shí)，g(x)=ex-1-lnx-1≥0．因?yàn)閑x-1≥x，lnx≤x-1，所以g(x)≥0．

上述思路是處理不等式恒成立問題的常見思路，但由于指對數(shù)同時(shí)出現(xiàn)，使得構(gòu)造的含參函數(shù)最值經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)隱零點(diǎn)的問題，計(jì)算量和思維量都較大．

2 同構(gòu)法

方法3(和型同構(gòu)1) 由于aex-1-1≥ lnx-lna恒成立，即eln aex-1≥lnx-lna+1，所以ex+ln a-1+x+lna-1≥eln x+lnx．因?yàn)閥=et+t為增函數(shù)，所以x+lna-1≥lnx恒成立．

或ex+ln a-1+ln ex+ln a-1≥x+lnx，利用y= lnt+t的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為ex+ln a-1≥x恒成立，即x+lna-1-lnx≥0，由常見不等式x-1≥ lnx易得a的范圍．

圖1

上述思路需要學(xué)生能夠從指對數(shù)同時(shí)出現(xiàn)的式子中，觀察并構(gòu)造出同構(gòu)，即同為和型或積型.這種思路對學(xué)生處理代數(shù)式的變形能力要求比較高．

3 反函數(shù)法

4 放縮法

方法8(放縮法1) 因?yàn)閤>0,a>0，所以 ex≥x+1，ex-1≥x，故aex-1≥ax(當(dāng)x=1時(shí)取等號)．又因?yàn)閘nx≤x-1(當(dāng)x=1時(shí)取等號)，所以aex-1-lnx+lna-1≥ax-x+1+lna-1=(a-1)x+lna．

①a=1時(shí)，ex-1-lnx-1≥x-x+1+ ln 1-1=0，此時(shí)不等式恒成立；

②a>1時(shí)，aex-1-lnx+lna-1≥(a-1)x+lna，因?yàn)閤>0,a>1，所以(a-1)x+ lna>0，即不等式恒成立；

③0

所以，a≥1．

方法9(放縮法2) 將aex-1-lnx+lna-1≥0變?yōu)閑x+ln a-1-lnx+lna-1≥0．因?yàn)閑x+ln a-1≥x+lna(當(dāng)x+lna=1時(shí)取等號)，lnx-lna+1≤x-lna(當(dāng)x=1時(shí)取等號)，所以ex+ln a-1-lnx+ lna-1≥x+lna-(x-lna)=2lna．令2lna≥0，得a≥1．以下同方法8的③.

采用指數(shù)和對數(shù)式同時(shí)放縮是非常大膽的嘗試，也有可能放縮過度．可以鼓勵(lì)學(xué)生只對指數(shù)或?qū)?shù)放縮．另外，放縮后參數(shù)范圍是否保持不變，如aex-1-lnx+lna-1≥0恒成立與ax-lnx+ lna-1≥0恒成立，理論上是否等價(jià)？不等價(jià)又如何處理？可進(jìn)一步思考.

5 凹凸轉(zhuǎn)換法

②當(dāng)0

所以，a≥1．

①令lna≥-lna，則由f(x)min≥g(x)max，故a≥1(此范圍可能偏小)；

②當(dāng)00，即不等式不成立．

所以，a≥1．

6 結(jié)語

本題為指、對混合的不等式恒成立問題，解題思路非常廣泛，用所有處理指對混合式的方法基本都可以解決，可見此題非常經(jīng)典，擅長各種方法的學(xué)生都可以上手一試．