考慮井筒變形的深層射孔井巖石破裂壓力計算模型

任 嵐 蔣 豪 趙金洲 吳建軍 林 然 李 洋

（1.西南石油大學油氣藏地質及開發(fā)工程國家重點實驗室 四川 成都 610500；2.中國石油煤層氣有限責任公司 北京 100020）

0 引 言

深層和超深層頁巖氣的開發(fā)已成為中國油氣開采的關注熱點。相對于淺層頁巖儲層，深層頁巖氣儲層埋深大、三向主應力高，導致壓裂施工過程中水力裂縫起裂壓力高，準確預測巖石破裂壓力對于壓裂施工順利進行具有重要意義。

分段多簇壓裂已成為頁巖氣開發(fā)主體技術［1］，工程實踐表明，通過優(yōu)化射孔參數(shù)可以降低巖石破裂壓力，從而保障深層地層壓裂作業(yè)井裂縫的有效起裂。國內外學者［2-16］針對射孔完井巖石破裂壓力和裂縫延伸方向的預測進行了大量研究。數(shù)值計算破裂壓力常采用有限元、邊界元和離散元等方法［3-8］分析了射孔方位、布孔方式、射孔密度和射孔深度對地層破裂壓力的影響。

實驗方面，A.Daneshy［9］采用15.2 cm×15.2 cm×25.4 cm 的石膏，首次進行了射孔條件下水力裂縫起裂的實驗研究，并通過少量實驗指出射孔深度似乎與破裂壓力呈反比。黃中偉等［10］和姜滸等［11］研究得出一定范圍內射孔深度與破裂壓力呈正相關，這與A.Daneshy 得出的結論相反。除上述數(shù)值模擬和實驗研究，也有針對射孔完井巖石破裂壓力理論模型，如考慮水平分段壓裂下單縫和多縫破裂壓力理論計算方法［12］以及裂縫性地層射孔完井下巖石破裂壓力理論計算公式［13-14］?；诰€彈性力學的理論方法有唐世斌等［15］和范勇等［16］提出的圓形井筒對稱射孔下地層破裂壓力計算方法。二者均將射孔孔眼視為裂縫，并將圓形射孔井筒簡化為平面狀態(tài)下帶雙裂紋的圓孔問題。本文借鑒其思路，也對裂縫作上述處理。

以上針對射孔井筒巖石破裂壓力的討論均將井筒視為圓形，但測井數(shù)據(jù)表明，地下井筒形狀近似為橢圓形［17-18］，實際鉆井中由于剪切作用、應力集中導致井眼擴大，多呈橢圓形態(tài)［19］，且深層儲層高應力狀態(tài)下，井筒更易發(fā)生變形。因此，研究射孔橢圓形井筒的破裂壓力更符合礦場實際。針對橢圓形井筒的研究多側重于井壁穩(wěn)定性分析［20-22］，或僅考慮井筒變形下的巖石破裂壓力而忽略射孔孔眼的作用［18］。

本文基于保角變換方法和斷裂力學理論，考慮橢圓井筒與射孔中液壓與遠地應力的耦合作用，推導射孔孔眼尖端應力強度因子，結合最大周向應力破壞準則，建立橢圓井筒射孔的巖石破裂壓力計算公式，通過模型簡化并與現(xiàn)有圓形井筒巖石破裂壓力理論計算和實驗結果對比，驗證模型的正確性，并以此分析井筒變形程度、射孔方位和射孔深度對巖石破裂特征的影響，為深層頁巖儲層橢圓井筒定向射孔優(yōu)化提供合理建議。

1 破裂壓力計算模型

深層地層鉆井過程中由于斷層、應力集中等因素，井眼多呈橢圓形。固井時下入套管，并注水泥進行加固，此過程中變形是否穩(wěn)定仍未可知。因此，本文假定固井時圓形套管仍然受到這些因素的影響，會發(fā)生橢圓形變。

實際工程中的井筒直徑和射孔深度遠大于射孔孔徑，因此可忽略射孔孔徑的影響，將射孔孔眼簡化為裂縫［15-16］。射孔橢圓井筒模型可轉化為無限大平面帶有雙裂縫的橢圓模型，如圖1所示。本文假定井筒及地層均符合線彈性，將研究對象視為線彈性材料。

圖1 射孔橢圓井筒簡化為雙裂縫橢圓模型示意Fig.1 Schematic diagram of double-fracture elliptical model simplified by an perforated elliptical wellbore

1.1 應力強度因子計算

根據(jù)復變函數(shù)理論，引入保角映射函數(shù)可將Z平面上的橢圓井筒和射孔孔眼所占的巖石以外的區(qū)域映射變換為ζ平面上的中心單位圓內部，橢圓井筒和射孔孔眼的邊界變換為單位圓周邊界，如圖2所示。

圖2 雙裂縫橢圓井筒保角映射示意Fig.2 Schematic diagram of conformal mapping of double-fracture elliptical wellbore

引入保角映射函數(shù)［23］，可表示為：

式中：ω(ζ)——映射函數(shù)；ζ=ξ+ηi，ξ、η——復平面ζ的坐標分量；a、b——橢圓井筒長半軸、短半軸，m；M(ζ)、N(ζ)、k、d——中間變量；c——射孔深度和橢圓短軸之和，m。

其中c=a+Lp，式中Lp——射孔孔眼深度，m。

應力復變表達式轉換為極坐標下復變表達式為：

式中：σθ、σρ、τρθ——極坐標下的應力分量，MPa；φ1（z）、ψ1（z）——復變量z（z=x+iy）的解析函數(shù)；φ（ζ）、ψ（ζ）、Φ(ζ)、Ψ(ζ)——復變量ζ（ζ=ξ+ηi）的復變應力解析函數(shù)；ρ——復平面圓半徑，m；Re 表示取負數(shù)的實部；上標表示求導符號。

引入記號σ表示ζ平面單位圓上的復數(shù)，即σ=eiθ，則復變應力解析函數(shù)φ（ζ），ψ（ζ）可表示為：

其中

式中：υ——泊松比；、面力和的面力分量，MPa；φ0(ζ)、ψ0(ζ)——復變應力函數(shù)分量，MPa；f0——中間變量函數(shù)，為σ的已知函數(shù)；——ω(σ)的共軛式；B、B′、C′——常數(shù)。B和B′- iC′可表示為

式中：σH、σh——最大、最小水平主應力，MPa；α——射孔孔眼與最大水平主應力之間的夾角，（°）。

根據(jù)斷裂力學理論，裂縫尖端的應力狀態(tài)可用應力強度因子表征，引入復應力強度因子，即

式中：KⅠ、KⅡ——Ⅰ型、Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2；φ′(ξ)——應力復變解析函數(shù)φ(ζ) 的一階導數(shù)；ω″(ξ)——保角映射函數(shù)的二階導數(shù)。

橢圓射孔井筒主要受遠地應力和井筒液壓。由于射孔深度的尺寸較小，可忽略沿孔眼的壓力損失。根據(jù)線彈性問題的疊加原理，該問題可分為僅受遠地應力（加載模式Ⅰ）和僅受井筒液壓（加載模式Ⅱ）2 個子問題，如圖3所示。

圖3 射孔橢圓井筒受力示意Fig.3 Schematic diagrams of forces on perforated elliptical wellbore

（1）加載模式Ⅰ。

于是，加載模式Ⅰ下的應力函數(shù)分量可表示為：

式中T——中間變量。

根據(jù)柯西積分公式和解析延括定理，對式（17）等式左右兩邊求導得

因此，結合式（7）、式（18），加載模式Ⅰ下的應力函數(shù)的導數(shù)φ′I(ζ)為

（2）加載模式Ⅱ。

射孔與橢圓井筒內受均勻液壓，其面力分量可表示為

式中pw——橢圓井筒與射孔孔眼液壓，MPa。

因而面力矢量為

注意到施加于井筒和射孔孔眼的面力為平衡力系，因此== 0，又B=0，B′-iC′=0，且邊界上ζ=σ，所以有

與上文推導類似，加載模式Ⅱ下的應力函數(shù)的導數(shù)φ′II(ζ)為

根據(jù)疊加原理，將加載模式Ⅰ和加載模式Ⅱ下的應力函數(shù)導數(shù)相加可得總加載模式下的應力導數(shù)φ′(ζ)為

由式（1）知，保角映射函數(shù)的一階導數(shù)為

依據(jù)無窮遠處的柯西積分公式，結合式（25），可得

將式（24）、式（25）代入式（14），可得射孔孔眼尖端Ⅰ型、Ⅱ型應力強度因子表達式為：

S.D.Hallam 等［24］指出水力裂縫優(yōu)先起裂于射孔孔眼。因此，只需通過計算射孔孔眼尖端應力強度應子，并結合巖石破裂準則，即可得出巖石破裂壓力。

1.2 巖石破裂壓力計算

依據(jù)斷裂力學理論，裂縫尖端某處的周向應力可以表示為

式中：σθ——裂縫尖端某處的周向應力，MPa；θ——裂縫周圍某點與裂縫尖端連線與裂縫軸線方向的角度，（°）；r——裂縫周圍某點到裂縫尖端的距離，m。

本文采用最大周向應力準則作為巖石破裂判斷依據(jù)，即當最大周向應力達到最大時，巖石發(fā)生破裂，所以有

起裂角滿足方程

式中θb——水力裂縫起裂角，即起裂縫偏離射孔孔眼的角度，（°）。

由式（30）可得

當井筒液壓增大至破裂壓力時，巖石發(fā)生張性破裂。此時，根據(jù)斷裂力學理論可知，裂縫尖端Ⅰ型應力強度因子等于其Ⅰ型斷裂韌性，即

式中：KIC——巖石Ⅰ型斷裂韌性，MPa·m1/2；rb——射孔尖端起裂縫的長度，m。

將式（27）、式（28）代入式（33），可得射孔孔眼尖端巖石破裂壓力為

式中pb——射孔尖端巖石破裂壓力，MPa。

2 模型驗證

據(jù)調研，目前尚未有文獻報道橢圓井筒定向射孔巖石破裂壓力計算方法，但已有唐世斌等［15-16］報道了圓形井筒定向射孔巖石破裂的計算模型與實驗研究。因此，本文采用改變橢圓井筒長短軸比值使其接近圓形井筒的方式進行計算，并與文獻中考慮圓形井筒的計算結果和實驗結果對比，以此驗證模型的有效性。

首先，當橢圓井筒長半軸a趨近于短半軸b時，d趨近于a/c，參考唐世斌等［15］的基礎數(shù)據(jù)，即最大水平主應力為4 MPa，最小水平主應力為2 MPa，射孔深度為20 mm，巖石斷裂韌性為2.1 MPa·m1/2，圓形井筒半徑為50 mm，本文取橢圓井筒長半軸為50 mm，長短軸之比為1.1 進行計算，對比結果如圖4所示。結果表明，唐世斌等［15］的結果在整個射孔方位角范圍或大或小，但相對誤差均小于5%，整體趨勢一致。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因可能是該文采用經(jīng)驗公式計算射孔尖端巖石Ⅱ型應力強度因子，計算存在誤差。范勇等［16］的結果與本文計算的理論值相對誤差均小于2%，具有良好的一致性。

圖4 3種理論方法計算的射孔方位角與破裂壓力關系Fig.4 Relations between perforation azimuth and fracture pressure calculated by 3 theoretical methods

其次，Y.J.Zeng 等［25］采用長度為30 cm 的人造立方試樣，進行了圓形井筒定向射孔下巖石破裂壓力試驗，試驗選擇直徑為15 mm 鋼管模擬套管，預留30 mm 的小孔模擬射孔孔眼，試驗的加載條件為最小水平主應力為1 MPa，最大水平主應力為4 MPa。通過改變橢圓井筒長短軸比值，使其無限接近圓形井筒，利用試驗中的基礎數(shù)據(jù)，進行了破裂壓力的理論計算，并與試驗結果對比，如圖5所示。

圖5 模型計算、試驗結果的射孔方位角與破裂壓力關系Fig.5 Relations between perforation azimuth and breakdown pressure based on model calculation and tested results

由圖5可知，理論計算的破裂壓力與文獻給出的4 個試驗點相對誤差分別為8.41%、1.31%、2.99%、0.91%，理論值與試驗值吻合較好。射孔方位角為15°時，理論值與試驗值的相對誤差超過5%，究其原因可能是不同試樣結構的非均質性導致的離散試驗數(shù)據(jù)。

綜上對比可知，本文提出的橢圓井筒模型取極限值，使井筒形狀近似為圓形，其計算的理論值與文獻中的結果具有良好的一致性，且與試驗結果整體趨勢一致，從而說明模型的可靠性。

3 巖石破裂的影響因素

水力壓裂射孔參數(shù)是影響巖石破裂的重要因素，合理的射孔參數(shù)可有效降低破裂壓力，減小近井附近裂縫彎曲度，降低施工風險。因此，本文利用提出的射孔橢圓井筒巖石破裂壓力預測模型，參考唐世斌、范勇等人理論計算的基礎數(shù)據(jù)，設置最大水平主應力為5 MPa，最小水平主應力為2 MPa，橢圓井筒長半軸a為40 mm，短半軸b為20 mm，射孔深度Lp=40 mm，巖石Ⅰ型斷裂韌性KIC=2.3 MPa·m1/2，開展井筒變形程度、射孔方位、射孔深度對巖石破裂特征影響的深入研究。

3.1 井筒變形

深層頁巖儲層埋深大，三向主應力高，加之儲層或存在復雜構造等因素，多數(shù)井筒存在一定程度變形。測井資料表明，深層地層變形井筒形狀主要為橢圓形。地層破裂壓力除了與地層本身的性質相關外，更與地層所在的應力密切相關。研究表明，井筒變形將導致其周圍的地層應力狀態(tài)產(chǎn)生變化。為了研究井筒極限變形程度對巖石破裂特征的影響，利用橢圓井筒長短軸長度比值表征井筒變形程度。選定井筒短半軸b為20 mm，計算了橢圓井筒長短軸之比為2、3、4、5 時巖石的破裂壓力和起裂角。同時也計算正常變形下（即長短軸之比為1.2）破裂壓力和起裂角的變化。

圖6給出了不同橢圓井筒長短軸之比下的破裂壓力。結果表明，隨著橢圓長短軸比值的增加，破裂壓力減小。即井筒的變形程度越大，射孔孔眼尖端裂縫起裂的破裂壓力越小，但降低的幅度逐漸減小。例如，射孔方位α=0°，算例中由于井筒變形程度造成的破裂壓力差異達1.63 MPa，且長短軸之比r=1.2 增至2，由r=2 每遞增1 至5 時，破裂壓力分別減小0.53、0.47、0.36 、0.27 MPa。因為井筒變形程度增加，井筒縱向方向對射孔孔眼尖端應力集中效應的影響被削弱，這與單一平面裂縫產(chǎn)生的誘導應力場的作用規(guī)律類似，即隨著裂縫高度的減小，裂縫產(chǎn)生的應力陰影將減小。因此，受井筒變形的影響，將井筒考慮為圓形時將高估巖石破裂壓力，根據(jù)李軍等［26］報道的實際工況下井筒長短軸之比為1.2～1.5，該算例下非變形井筒下的破裂壓力相較于橢圓井筒偏高2.3%～5.6%。盡管將井筒考慮為圓形，預測的破裂壓力稍高，有利于壓裂設計。但是這一原則僅限于井口具有較大壓力窗口時適用，且由于按照高破裂壓力值進行設計，壓裂液、壓裂設備的選擇上勢必會加大成本投入，這與降本增效的理念相違背。對于超深地層的壓裂施工而言，地層破裂壓力較大，井口留出的壓力窗口本身較窄，若過高估計破裂壓力，一般而言需降低施工排量，保證井口不超壓。低排量將嚴重影響深層地層縫網(wǎng)的建造，且對后續(xù)施工措施（如暫堵轉向）調整帶來挑戰(zhàn)。

圖6 不同長短軸比射孔方位角與破裂壓力關系Fig.6 Relations between perforation angle and breakdown pressure with different length ratios of major axis to minor axis

圖7給出了不同橢圓井筒長短軸之比下的起裂角。結果表明，任意射孔方位角下，射孔孔眼尖端水力裂縫起裂角隨橢圓長短軸比值的增加而增加。

圖7 不同長短軸比射孔方位角與起裂角關系Fig.7 Relations between perforation angle and initiation angle with different length ratios of major axis to minor axis

具體可分為以下區(qū)域：射孔方位角為0°～5°，起裂角受井筒變形的影響較小，起裂角的變化為0°～2°，且起裂角均小于8°，裂縫基本沿最大主應力方向起裂，近井筒裂縫彎曲程度低；當射孔方位角為5°～45°時，起裂角受井筒變形的影響較大，長短軸之比由2 增至5，起裂角起伏達到7°，起裂角達43°，近井筒裂縫彎曲大。由此可知，井筒變形程度的增加導致射孔孔眼尖端剪切作用增加，更易形成剪切裂縫，可能造成砂堵、施工壓力突升。因此，從巖石破裂的角度講，井筒變形有利于射孔尖端裂縫起裂，但從后續(xù)壓裂施工而言，它將導致近井筒裂縫彎曲較大，造成施工壓力增大。

3.2 射孔方位

由于鉆井作業(yè)、地應力方位難以精確測定等復雜因素，往往射孔孔眼并不完全垂直于最小水平主應力。本文將射孔軸線與最大水平主應力之間的夾角α為射孔方位角。為分析射孔方位角對巖石破裂特征的影響，計算了射孔方位角為0°～90°時巖石破裂壓力和起裂角。

由圖8可知，井筒形狀僅影響破裂壓力的高低，不改變曲線趨勢。由于井筒變形，橢圓井筒長軸方向應力集中，進而導致其裂縫尖端破裂壓力較圓形井筒低?？傮w而言，破裂壓力隨射孔方位角的增加而增加。根據(jù)曲線上升的速度可將其影響分為3 個區(qū)域。

圖8 射孔方位角與破裂壓力關系Fig.8 Relations between perforation azimuth and breakdown pressure

第1 區(qū)域：射孔方位角為α為0°～20°時，巖石破裂壓力隨射孔方位角的增加呈平緩上升趨勢，相對于最小破裂壓力6.64 MPa 而言，僅增幅1%，與陳崢嶸等［27］優(yōu)化的射孔方位0°～15°的結果基本吻合。

第2 區(qū)域：射孔方位角α為20°～80°時，巖石破裂壓力隨射孔方位角的增加呈直線上升趨勢，增幅達到41.3%。

第3 區(qū)域：射孔方位角α為80°～90°，巖石破裂壓力增加幅度不明顯。因此，使射孔孔眼與最大水平主應力之間的夾角保持在0°～20°，可避免巖石破裂壓力急劇升高，這對于深層頁巖的水力壓裂施工具有重要意義。

圖9顯示了射孔方位對裂縫起裂角的影響。結果表明，橢圓形井筒和圓形井筒射孔尖端水力裂縫起裂角均隨射孔方位角α的增加先增大后減小。因為橢圓形射孔尖端剪切效應更明顯，相較于圓形井筒，橢圓形井筒下巖石起裂角度最大高出4°。射孔方位角α為0°和90°時，按式（30）計算，裂縫尖端Ⅱ型應力強度因子為0，裂縫為純張性裂縫，因而其起裂角均為0°，此時水力裂縫形成平面縫；而射孔方位為45°時，根據(jù)彈性力學理論可知，此時裂縫所受的剪應力最大，裂縫剪切破壞嚴重，因而裂縫起裂角最大，導致近井筒彎曲摩阻增大，施工壓力增加。因此，宜選取射孔方位角為0°～20°，保證施工的順利實施。

圖9 射孔方位角與起裂角關系Fig.9 Relations between perforation azimuth and initiation angle

3.3 射孔深度

射孔深度是影響射孔效果的直接因素，合理的射孔深度可有效解除近井筒的地層污染，降低巖石破裂壓力。為了研究射孔深度對巖石破裂特征的影響，選取射孔深度10～80 mm 計算破裂壓力和起裂角，如圖10、圖11 所示。

圖10 不同射孔深度下射孔方位角與破裂壓力關系Fig.10 Relations between perforation azimuth and breakdown pressure in different perforated depths

圖11 不同射孔深度下射孔方位角與起裂角關系Fig.11 Relations between perforation azimuth and initiation angle in different perforated depths

由圖10 可知，增加射孔深度可降低巖石破裂壓力。射孔方位角為90°時，射孔深度Lp=10 mm 增至40 mm，破裂壓力降低1.9 MPa；而射孔深度Lp=40 mm 增至80 mm，降幅僅為0.8 MPa。由此可知，射孔深度小于井筒尺寸前（長半軸40 mm，短半軸20 mm），破裂壓力受其影響相對較大，而射孔深度大于井筒尺寸后，破裂壓力隨射孔深度的增加其減小的幅度逐漸減小。由圖11 可知，與其對巖石破裂壓力的影響規(guī)律相反，水力裂縫起裂角隨射孔深度的增加而增加，但增加的幅度逐漸減小。射孔方位角為45°時，射孔深度Lp=20 mm 增至40 mm，起裂角增幅16.9%；而射孔深度Lp=60 mm 增至80 mm，增幅僅為8%，這與唐世斌等［15］得出的規(guī)律一致。因此，對于給定射孔方位、應力條件下，存在一個合理的射孔深度，使其既能有效降低破裂壓力，又能避免近井筒裂縫彎曲程度。綜合考慮，保證起裂角小于15°和破裂壓力最大降幅25%的前提下，本文建議最優(yōu)的射孔深度為橢圓井筒短軸的1.5～2.0 倍，盡管較張廣清等［6］和范勇等［16］給出的2～3 倍相對保守，但該范圍考慮了降低近井裂縫彎曲的因素。

3.4 工程實例

為了說明模型的工程實用性，以川東南海相深層頁巖氣探井PS1 井為例，計算了該井壓裂層位破裂壓力。該井位于四川盆地川東隔擋式褶皺帶黃泥塘高陡構造帶寶頂—1 潛伏構造，屬于為預探直井，試氣井段5 957.50 ～5 960.50 m，其原始地層壓力為92.3 MPa， 地層最小水平主應力為132.7 MPa，最大水平主應力為145.2 MPa，地層有效應力系數(shù)（Biot 系數(shù)）取0.1。該井采用油管帶封隔器管柱壓裂，井筒外徑206.4 mm，射孔深度為100 mm。巖石力學參數(shù)測試顯示該試氣段Ⅰ類泥頁巖的Ⅰ型斷裂韌性為1.35 MPa·m1/2。

根據(jù)該井壓裂施工曲線（圖12）得到地表的破裂壓力為106.1 MPa，折算到地下的破裂壓力為135.8 MPa。由于未獲得該井的井徑測井資料，且李軍等報道的實際工況下井筒長短軸之比常為1.2～1.5。本算例取井筒長短軸比1.2 和1.5，并取式（34）中的應力為有效應力，則本文模型計算出的結果分別為137.62、137.44 MPa，與實際相差1.34%、1.21%；而傳統(tǒng)圓形井筒模型計算出的結果為143.10 MPa，與實際相差5.38%，新模型較實際值更接近，從而進一步說明本文提出的模型的可靠性與實用性。

圖12 PS1井壓裂施工曲線Fig.12 Fracturing operation curves for Well PS1

4 結 論

（1）基于保角變換方法、復變函數(shù)和斷裂力學理論，考慮深層地層井筒更易變形的實際情況，建立了射孔橢圓井筒巖石破裂壓力計算模型，通過理論與實驗結果對比，驗證了模型的可靠性，為變形井筒的射孔井破裂壓力計算提供了新的方法。

（2）對比分析表明，考慮井筒非變形狀態(tài)下所預測的破裂壓力偏高；破裂壓力隨井筒變形程度的增加而降低，裂縫起裂角則增加。

（3）射孔方位和射孔深度對巖石破裂壓力和起裂角均有較大影響。隨射孔方位角的增大，破裂壓力增加，起裂角則先增加后降低；隨著射孔深度的增加，破裂壓力降低且幅度逐漸減小，而起裂角則增加。

（4）綜合降低破裂壓力和避免近井裂縫彎曲度過大兩方面因素，推薦最優(yōu)射孔方位角小于20°，最優(yōu)射孔深度為井筒尺寸的1.5～2.0 倍。