一類帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題的多重正解①

胡芳芳， 劉元彬， 張永

1.伊犁師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學 應(yīng)用數(shù)學研究所，新疆 伊寧 835000；3.新疆工程學院 數(shù)理學院，新疆 昌吉 830091

帶p-Laplacian算子的微分方程主要來源于非牛頓流體理論和多孔介質(zhì)氣體的湍流理論.學者從多孔介質(zhì)方程[1]中抽象出p-Laplacian方程，隨后此類方程被廣泛地應(yīng)用到諸多領(lǐng)域，且p-Laplacian算子在許多物理工程的實際應(yīng)用中可以更加具體地解釋一些復(fù)雜的物理現(xiàn)象，所以，越來越多的學者研究帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程解的存在性[2-6].

隨著科學技術(shù)的進步和學者的深入研究，分數(shù)階微分方程模型引起了數(shù)學學者們的廣泛關(guān)注，在過去的幾十年里，分數(shù)階微分方程的成果豐碩[7-10]，如：不同邊值條件下的正解性，其主要研究方法包括錐上不動點定理、上下解方法、單調(diào)迭代方法等[11-13].

文獻[14]利用Banach壓縮映射原理和Guo-Krasnosel’skii不動點定理得到了以下具有p-Laplacian算子的邊值問題

(1)

文獻[15]利用Guo-Krasnosel’skii不動點定理和上下解方法得到了具有p-laplacian算子的Caputo分數(shù)階微分方程邊值問題

(2)

的正解存在性的一些新結(jié)果.其中

2<α≤3φp(s)=|s|p-2sp>1

文獻[16]運用單調(diào)迭代法得到了分數(shù)階微分方程邊值問題

(3)

的正解的存在性結(jié)果.其中

α<0γ≤2β>0 1+β≤α

0<ξ，η<1φp(s)=|s|p-2sp>1

Dα，Dβ是標準的Riemann-Liouville型分數(shù)階導數(shù).

基于上述研究，本文利用p-Laplacian算子考慮分數(shù)階微分方程邊值問題

(4)

1 預(yù)備知識

其中等式右端在[0，+∞)內(nèi)有定義.

其中n是不小于α的最小整數(shù).

引理1[18]設(shè)u(t)∈C[0，1]∩L1[0，1]，且α>0，則

其中n是不小于α的最小整數(shù).

引理2[18]設(shè)u(t)∈L1(0，1)，且α>β>0，則

其中n是不小于α的最小整數(shù).

引理3[18]設(shè)ρ>0，μ>0，則

引理4設(shè)y∈[0，1]，1<β≤2，2<α≤3，則分數(shù)階微分方程邊值問題

(5)

有唯一解

(6)

其中

(7)

由邊值條件

u(0)=u′(0)=0

可得

c2=c3=0

(8)

因為α>β，對(8)式兩邊進行β階微分，可得

即

其中

引理5設(shè)g∈[0，1]，1<β≤2，2<α≤3，則分數(shù)階微分方程邊值問題

(9)

有唯一解

(10)

其中

(11)

由邊值條件

可得

d2=0

即

即

由引理4可知

引理6函數(shù)G(t，s)，H(t，s)滿足如下性質(zhì)：

(i)對任意的t，s∈[0，1]，G(t，s)≥0，H(t，s)≥0；

證(i)由函數(shù)G(t，s)，H(t，s)的表達式可知(i)顯然成立.

(ii)若0≤s≤t≤1，則一定有

0≤t-s≤t-ts=t(1-s)

因此

(t-s)α-1≤tα-1(1-s)α-1

當0≤s≤t≤1時，有

當0≤t≤s≤1時，有

即

(iii)若0≤s≤t≤1，則一定有

0≤t-s≤t-ts=t(1-s)

因此

(t-s)β-1≤tβ-1(1-s)β-1

當0≤s≤t≤1時，有

當0≤t≤s≤1時，有

即

(i)‖Ax‖≤‖x‖(x∈P∩?Ω1)，‖Ax‖≥‖x‖(x∈P∩?Ω2)；

(ii)‖Ax‖≥‖x‖(x∈P∩?Ω1)，‖Ax‖≤‖x‖(x∈P∩?Ω2).

引理8[20]設(shè)P為實Banach空間E中的一個錐，

Pc={x∈P：‖x‖

P(θ，b，d)={x∈P：θ(x)≥b，‖x‖≤d}

(i){x∈P(θ，b，d)：θ(x)>b}≠?，且對x∈P(θ，b，d)有θ(Ax)>b；

(ii)當‖x‖≤a時，‖Ax‖≤a；

(iii)當x∈P(θ，b，c)且‖Ax‖>d時，θ(Ax)>b.

那么A至少有3個不動點x1，x2，x3，滿足

‖x1‖aθ(x3)

2 主要結(jié)論

記E=C[0，1]，在E中定義范數(shù)

則E為Banach空間.定義錐P?E為

P={u∈E：u(t)≥0}

定義錐P上的非負連續(xù)泛函θ為

證設(shè)Ω是P的任意有界集，即存在一個常數(shù)γ>0，使得?u∈Ω，都滿足‖u‖≤γ.由于f(t，u(t))是連續(xù)的，則對于t∈[0，1]，存在m>0，使得

0≤f(t，u(t))≤m

令

所有T(Ω)是一致有界的.

由于G(t，s)在[0，1]×[0，1]上是一致連續(xù)的，因此G(t，s)是一致連續(xù)的.對任意的ε>0，存在δ>0，使得當t1，t2∈[0，1]，t1

于是

定理2假設(shè)f(t，u(t))為C[0，1]×[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，其中

若存在兩個正常數(shù)r2>r1>0，使得

(i)當(t，u(t))∈[0，1]×[0，r1]時，f(t，u(t))≥φp(Nr1)；

(ii)當(t，u(t))∈[0，1]×[0，r2]時，f(t，u(t))≤φp(Mr2).

則方程(4)至少有一個正解u，使得r1<‖u‖

證令

Ω1={u∈P：‖u‖

當u∈?Ω1時，有

0≤u(t)≤r1t∈[0，1]

由(i)和引理6得

從而

‖Tu‖≥‖u‖u∈?Ω1

令

Ω2={u∈P：‖u‖

當u∈?Ω2時，有

0≤u(t)≤r2t∈[0，1]

可從(ii)和引理6得

從而‖Tu‖≤‖u‖，u∈?Ω2.

總之，通過引理7可知，方程(4)至少有一個正解u，且滿足r1<‖u‖

定理3假設(shè)f(t，u(t))為C[0，1]×[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，若存在滿足0

(i)當(t，u(t))∈[0，1]×[0，a]時，f(t，u(t))≤φp(Ma)；

(ii)當(t，u(t))∈[0，1]×[b，c]時，f(t，u(t))≥φp(Nb)；

(iii)當(t，u(t))∈[0，1]×[0，c]時，f(t，u(t))≤φp(Mc).

則方程(4)至少有3個正解u1，u2，u3，且滿足

下面證明引理8的條件(i)也是滿足的.很明顯，

{u∈P(θ，b，d)：θ(u)>b}≠?

若u∈P(θ，b，d)，對任意的0≤t≤1有b≤u(t)≤d，通過(ii)可得

即對任意的u∈P(θ，b，d)，θ(Tu)>b.因此滿足引理8中的條件(i).

最后，我們證明引理8的條件(iii)也是滿足的.對任意的u∈P(θ，b，c)，都有θ(Tu)>b.因此，引理8的條件(iii)也成立.

綜上所述，引理8的所有條件都滿足.根據(jù)引理8，可以得出方程(4)存在3個正解u1，u2和u3，滿足

3 例子

例1考慮邊值問題

其中

經(jīng)過計算得

M≈1.766N≈2.949

應(yīng)用定理3，例1至少有3個正解u1，u2，u3，且滿足