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    半群的秩和3次方冪等元秩①

    2022-12-03 03:19:22張心茹羅永貴劉木村
    關(guān)鍵詞:次方木村單點(diǎn)

    張心茹, 羅永貴, 劉木村

    貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴陽(yáng) 550025

    設(shè)S是半群,A是S的非空子集且a,e∈S.若對(duì)任意的s∈S,存在a1,a2,…,am∈A,使得s=a1a2…am,則A是半群S的生成集,記S=〈A〉.若對(duì)半群S的任意生成集B都有|A|≤|B|,則A為半群S的極小生成集.通常半群S的秩定義為

    rankS=min{|A|:A?S,〈A〉=S}

    其中|A|為A的基數(shù).

    若e2=e,則e為半群S的冪等元,半群S中所有冪等元之集記為E(S).類似地,A中所有的冪等元之集記為E(A).

    若(a3)2=a3且a3≠a,則a為半群S的3次方冪等元,所有3次方冪等元之集用E3(S)表示.類似地,A中所有3次方冪等元之集記為E3(A).

    若A?E3(A),且對(duì)任意s∈S,存在b1,b2,…,bm∈A使得s=b1b2…bt,則A為半群S的3次方冪等元生成集.令M是半群S的任意3次方冪等元生成集且|A|≤|M|,則A為半群S的3次方冪等元極小生成集.進(jìn)而|A|為半群S的3次方冪等元秩,記為

    rank3(S)=min{|A|:A?E3(S),〈A〉=S}

    設(shè)Xn={1,2,…,n}并賦予自然序,Tn和Sn分別是Xn上的全變換半群和對(duì)稱群,記Singn=TnSn,則Singn是Tn的子半群且Singn為奇異變換半群.記

    ker(α)={(x,y)∈[n]×[n]:xα=yα}

    顯然

    其中1≤i,j≤n且i≠j,即

    設(shè)n≥3,3≤k≤n,記

    令E(Dn-1)為Dn-1中所有冪等元之集,于是有

    R(i,j)={α∈Dn-1:iα=jα}

    Lq={α∈Dn-1:im(α)=Xn{q}}

    本文未定義的符號(hào)及術(shù)語(yǔ)參見文獻(xiàn)[12-16].

    為完成定理1和定理2的證明,先給出以下若干引理:

    引理1[2]當(dāng)n≥3時(shí),Singn=〈E(Dn-1)〉.

    引理4[5]當(dāng)1≤r≤n-2時(shí),Dr?Dr+1·Dr+1.

    證易驗(yàn)證,~是Dn-1上的等價(jià)關(guān)系.對(duì)任意α∈Dn-1,記

    |im(αj)|≥n-1 |im(αp)|≥n-1 1≤j,p≤t

    f=min{i:|im(αi)|=n-1,1≤i≤t}

    l=h1+…+hf-1p=hf+1+…+hk-1

    |im(g1αfg2)|=|im(αf)|=n-1

    設(shè)g1αfg2的唯一非單點(diǎn)核類為{x,y},則xg1αfg2=yg1αfg2.于是

    xg1αfg2αk…αt=yg1αfg2αk…αt

    引理10設(shè)n≥3,3≤k≤n,則rankE*=3.

    引理12設(shè)n≥3,3≤k≤n,當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),rankE?=n-k+1;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),rankE?=n-k+2.

    定理1的證明因?yàn)?/p>

    再由引理1知Singn=〈E(Dn-1)〉.又因

    定理2的證明由定理1知

    顯然

    因此

    設(shè)δ∈Dn-1,且δ的唯一非單點(diǎn)核類為(i,j),其中i,j∈Xn,則Dn-1中3次方冪等元的形式如下:

    設(shè)n≥5,3≤k≤n.記

    為完成定理3及定理4的證明,先給出以下若干引理:

    ?

    ?

    對(duì)任意的j∈{k-2,k-1,k},s∈{1,2,3},有

    證根據(jù)引理13及引理14可知

    從而

    定理3的證明因?yàn)?/p>

    定理4的證明由定理3知

    顯然

    因此

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