一堂高等數(shù)學(xué)課融入思政元素和建模思想的教學(xué)探索
——以“定積分的定義”為例

肖其珍 劉宏亮* 歐陽(yáng)自根 彭湘凌

1.南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院（湖南省衡陽(yáng)市 421001）

2.湖南財(cái)經(jīng)工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部（湖南省衡陽(yáng)市 421002）

1 引言

習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，要堅(jiān)持把立德樹(shù)人作為高校思想政治工作的中心環(huán)節(jié)，要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，思想政治理論課要堅(jiān)持在改進(jìn)中加強(qiáng)，提升思想政治教育親和力和針對(duì)性，滿足學(xué)生成長(zhǎng)發(fā)展需求和期待，其他各門(mén)課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)[1]。在《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》[2]中也明確了課程思政的本質(zhì)內(nèi)涵是在傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力的同時(shí)，將思政元素潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地穿插貼合進(jìn)去，逐漸熏陶學(xué)生形成正確的世界觀、價(jià)值觀和人生觀，同時(shí)，在落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)時(shí)，必須將價(jià)值塑造、知識(shí)傳授和能力培養(yǎng)三者融為一體、不可割裂。在此背景下，各高校積極開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)研究與實(shí)踐，探索如何將思政元素融入到各類(lèi)課程教學(xué)中，才能起到潤(rùn)物無(wú)聲的育人效果[3-6]。

《高等數(shù)學(xué)》作為理工科學(xué)生必修的一門(mén)公共基礎(chǔ)課程，具有知識(shí)點(diǎn)多且抽象、授課持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)（通常為一年時(shí)間）、覆蓋學(xué)生面廣等特點(diǎn)，且通常安排的大學(xué)一年級(jí)就開(kāi)始學(xué)習(xí)。通過(guò)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，能夠很好地提高學(xué)生思維能力，為后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)和解決專(zhuān)業(yè)地實(shí)際問(wèn)題提供數(shù)學(xué)素養(yǎng)?；谝陨咸攸c(diǎn)，若該課程能融入思政元素將在高校的人才培養(yǎng)質(zhì)量及學(xué)生的未來(lái)發(fā)展中起到舉足輕重的作用。因此，在課堂教學(xué)中不僅要注重基礎(chǔ)理論、基本方法及應(yīng)用能力等方面的傳授與培養(yǎng)，而且要挖掘知識(shí)點(diǎn)或解題過(guò)程中所蘊(yùn)含的思政元素，才能為立德樹(shù)人這一根本任務(wù)做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)[3]。

基于此，本文將以《高等數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）[7]中的“定積分的定義”為例，結(jié)合實(shí)際情況，采用“講好中國(guó)故事”和“運(yùn)用建模思想”相結(jié)合的教學(xué)模式，在講解過(guò)程中有意識(shí)地融入思政元素，讓學(xué)生更加主動(dòng)，更有熱情地投入到新知識(shí)的學(xué)習(xí)當(dāng)中。筆者授課對(duì)象為南華大學(xué)土木工程學(xué)院和資源環(huán)境與安全工程學(xué)院的大一學(xué)生，上課時(shí)間為周一、三、五上午1-2 節(jié)。同學(xué)們?cè)诟咧须A段對(duì)定積分的簡(jiǎn)單計(jì)算有一定的基礎(chǔ)，具有初步分析和解決問(wèn)題的能力，但對(duì)于定積分概念的深刻理解和應(yīng)用能力還有不足。絕大部分學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度較為認(rèn)真，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題極感興趣。因此，在具體的課堂教學(xué)過(guò)程中，我們通過(guò)“情境的創(chuàng)設(shè)-問(wèn)題的提出-概念的凝練-練習(xí)與提高”等步驟，將數(shù)學(xué)理論和思想與實(shí)際背景相結(jié)合，注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，把培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和塑造學(xué)生正確“三觀”融入到課堂中來(lái)。

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 情境的創(chuàng)設(shè)

通過(guò)PPT 展示某些地方的標(biāo)志性建筑物（如深圳的地王大廈、廣州的“小蠻腰”廣州塔、北京故宮等）來(lái)吸引學(xué)生的注意力。話題一轉(zhuǎn)，問(wèn)學(xué)生們南華大學(xué)的“標(biāo)志性的植物”是什么？接著讓學(xué)生從窗戶看看教室正對(duì)面的南華廣場(chǎng)上被學(xué)生們稱(chēng)為“棒棒糖”的樟樹(shù)（圖1），然后問(wèn)“同學(xué)們能不能求出我們所看到的最大樹(shù)冠的投影面積（圖2）”，同時(shí)在黑板上快速地描繪出樹(shù)冠曲線坐標(biāo)圖（圖3），且指出今天課程的主要目標(biāo)就是利用定積分的知識(shí)來(lái)計(jì)算這一類(lèi)圖形（不規(guī)則圖形）的面積。從而，引起了學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和熱情。

圖1 “棒棒糖”樹(shù)

圖2 “棒棒糖”樹(shù)冠輪廓

圖3 樹(shù)冠坐標(biāo)圖

2.2 問(wèn)題的提出

類(lèi)似于樹(shù)冠投影（不規(guī)則）的圖形，如果知道輪廓函數(shù)的表達(dá)式，如何求得其面積？這是現(xiàn)實(shí)生活中的常見(jiàn)問(wèn)題，但與中學(xué)時(shí)期所接觸的規(guī)則圖形（如三角形，矩形等）有所不同。為了解決這個(gè)問(wèn)題，先回顧矩形面積的計(jì)算公式，且黑板板書(shū)寫(xiě)下S=a×b，接著，介紹曲邊梯形的概念，即：

定義1[7]：設(shè)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上非負(fù)且連續(xù)。由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）所圍成的圖形（如圖4）稱(chēng)為曲邊梯形，其中曲線弧稱(chēng)為曲邊。

圖4 曲邊梯形

這時(shí)應(yīng)當(dāng)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)矩形面積公式已無(wú)法用來(lái)求解圖4 中曲邊梯形的面積。那么如何準(zhǔn)確計(jì)算出圖4 中曲邊梯形的面積呢？此時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生往“近似”的思路去思考，也即，用底邊長(zhǎng)度為｜b-a｜乘以曲線任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的高度f(wàn)（x0）所獲得的矩形面積近似曲邊梯形面積。需指出，此時(shí)的誤差太大（如圖5所示）。但是如果先把曲邊梯形“劃分”成若干個(gè)（許多個(gè)）小的曲邊梯形（用n來(lái)表示小曲邊梯形的個(gè)數(shù)），而每一個(gè)小的曲邊梯形的面積用一個(gè)等底的矩形面積來(lái)近似，再把所有的小矩形面積相加，所得到的總的小矩形面積與圖4 大的曲邊梯形面積的誤差就會(huì)縮小，并且“劃分”越細(xì)，誤差越?。ㄈ鐖D6 所示）。即當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，小矩形面積之和將無(wú)限地趨向于大的曲邊梯形的面積。這時(shí)強(qiáng)調(diào)這一思想為古希臘“窮竭法”，但是早在魏晉時(shí)期我國(guó)著名數(shù)學(xué)家劉徽在其割圓術(shù)求圓周率時(shí)就體現(xiàn)出來(lái)了。正如劉徽在其著作《九章算術(shù)》中所言“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，可見(jiàn)其思想與古希臘窮竭法不謀而合。同時(shí)，通過(guò)PPT 動(dòng)畫(huà)展示割圓術(shù)的過(guò)程，并且講述劉暉割圓術(shù)的思想來(lái)源于他在工地上看到石匠們加工方塊石頭變成圓柱體石頭的過(guò)程而獲得靈感。這樣，即可以讓學(xué)生們理解抽象的極限過(guò)程，即加深印象，又可以增加民族自豪感，激起學(xué)習(xí)的熱情。

圖5 矩形近似曲邊梯形

圖6 劃分近似求和示意圖

2.3 概念的凝練

引導(dǎo)學(xué)生從上述分析求解曲邊梯形的過(guò)程中，凝練出定積分的定義，過(guò)程如下：

（1）分割，即在區(qū)間[a，b]內(nèi)隨機(jī)插入若干個(gè)分點(diǎn)，且記a=x1＜x2＜L＜xn-1＜xn=b，這樣區(qū)間[a，b]分成了n個(gè)小區(qū)間，記第i個(gè)小區(qū)間為[xi-1，xi]。

（2）近似，即在區(qū)間[xi-1，xi]內(nèi)任意取一點(diǎn)ξi，以區(qū)間[xi-1，xi]的長(zhǎng)度為底，以f（x）在點(diǎn)ξi的取值f（ξi）為高，求出小矩形面積Si=f（ξi）Δxi近似于小曲邊梯形面積Ai，即Ai ≈Si。

通過(guò)上面的分析過(guò)程，訓(xùn)練了學(xué)生從具體到抽象的思維能力。此時(shí)，教師可以與學(xué)生分享上面的“分割”和“求和”的兩個(gè)步驟中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，也即分割方法體現(xiàn)出“化整為零”的思想，而求和過(guò)程又表現(xiàn)出“集零為整”的哲理，并且指出這一哲學(xué)思想其實(shí)在“曹沖稱(chēng)象”的故事中就得到了運(yùn)用。另一方面，“近似”的過(guò)程也蘊(yùn)含著“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的道家處變不驚的處世哲學(xué)，“取極限”的過(guò)程卻表現(xiàn)出“精益求精”的工作和學(xué)習(xí)態(tài)度。這樣通過(guò)和學(xué)生一起總結(jié)定積分的思想和方法，使學(xué)生對(duì)定積分的概念從認(rèn)識(shí)上有了飛躍和升華，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)還可以了解中國(guó)數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的故事，以及蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程中的哲學(xué)道理和生活智慧。

通過(guò)對(duì)上述過(guò)程的分析和凝練，給出定積分的定義和幾何意義。

2.3.1 定積分的定義

同時(shí)，強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)：

（1）積分值僅與積分函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，但與積分變量的字母無(wú)關(guān)，即：

由此與學(xué)生分享這里面蘊(yùn)含的“通過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的哲學(xué)思維。

（2）注意到區(qū)間分法和ξi取值的任意性，強(qiáng)調(diào)這是極限思想的體現(xiàn)。

（3）定積分是一個(gè)常數(shù)，是由極限存在唯一性決定的。

2.3.2 定積分的幾何意義

圖7 定積分幾何意義

2.4 練習(xí)與提高

例題：通過(guò)合理地假設(shè)條件，利用定積分的定義和幾何意義給出南華廣場(chǎng)上“棒棒糖”樹(shù)樹(shù)冠投影面積的表達(dá)式。

分析：利用數(shù)學(xué)建模的思想，不妨假設(shè)“棒棒糖”樹(shù)冠的投影在直角坐標(biāo)系下的圖如圖3 所示。為了給出樹(shù)冠投影面積的表達(dá)式，下面利用定積分的定義和幾何意義來(lái)求解。首先，利用兩條平行于y軸的虛線找出投影的最大“寬度”，即找到虛線與投影邊界唯一的交點(diǎn)，如圖8 中的A點(diǎn)與B點(diǎn)所示，此時(shí)A點(diǎn)與B分別在x軸上的投影為a與b。于是，樹(shù)冠的投影面積就可以用兩個(gè)曲邊梯形的面積之差來(lái)表示，也即圖形ABCD的面積I就等于曲邊梯形AabBDA的面積減去曲邊梯形AabBCA的面積。假設(shè)弧ADB和弧ACB在區(qū)間[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，其表達(dá)式分別為f（x）與g（x）。于是利用定積分的定義可求得曲邊梯形AabBDA和曲邊梯形AabBCA的面積分別為

圖8 構(gòu)造曲邊梯形圖

因此，“棒棒糖”樹(shù)樹(shù)冠投影面積的表達(dá)式為

3 結(jié)語(yǔ)

課程思政是當(dāng)前高校思想政治工作的新理念、新模式，是在講解原有的知識(shí)架構(gòu)和內(nèi)容的同時(shí)挖掘具有正能量的思政元素，融入到課堂教學(xué)當(dāng)中以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的傳授、能力的培養(yǎng)和價(jià)值觀的塑造的教學(xué)模式。但在具體的課堂教學(xué)中，由于各學(xué)科的特點(diǎn)不一，以致課程思政并無(wú)定法，目前也無(wú)章可循。本文以“講好中國(guó)故事”和“解決實(shí)際生活問(wèn)題”的模式進(jìn)行設(shè)計(jì)教學(xué)。首先以如何求出南華大學(xué)紅湘校區(qū)同學(xué)們最喜愛(ài)的“棒棒糖”樹(shù)樹(shù)冠投影的面積為情景鋪設(shè)，引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和愛(ài)校情懷。在分析講解定積分定義的四個(gè)主要步驟中穿插了“中國(guó)故事”，以增強(qiáng)同學(xué)們的民族自豪感和愛(ài)國(guó)情感，同時(shí)分享了在“分割”和“求和”的過(guò)程中所蘊(yùn)含的 “化整為零”和“集零為整”的哲理思想及解決問(wèn)題的方法，在“近似”和“取極限”的過(guò)程中蘊(yùn)含著“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的道家處變不驚的處世哲學(xué)和“精益求精”的工作學(xué)習(xí)態(tài)度。通過(guò)和學(xué)生分享和總結(jié)定積分的思想和方法，使學(xué)生對(duì)定積分的概念更加深入地理解，同時(shí)塑造了學(xué)生正確的“三觀”。最后，通過(guò)結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想，展示了如何利用定積分的定義和幾何意義給出了“棒棒糖”樹(shù)樹(shù)冠的投影面積表達(dá)式的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。這樣讓學(xué)生感受到的是數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，而不再是晦澀難懂的公式。在這一堂課程中，我們?cè)趯W(xué)習(xí)定積分的過(guò)程中融入了思政元素，起到了塑造學(xué)生情感的效果。即便如此，課程思政無(wú)處不在，卻又法無(wú)定法，還需大家共同努力，才能夠真正達(dá)到“全程育人、全方位育人”的目的。