基于新高考開放性問(wèn)題的探究與思考
——以2021-2022 高考試題為例

廣東省東莞市第八高級(jí)中學(xué)(523962) 林茂發(fā)

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中提出高考命題原則為“一核、四層、四翼”,試題要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.2021 年和2022 年新高考數(shù)學(xué)卷中多道試題體現(xiàn)了創(chuàng)新性和開放性,強(qiáng)化推理論證能力和理性思維能力的考查.本文通過(guò)評(píng)析2021-2022 年開放性高考試題,提出教學(xué)思考與建議.

1.開放性試題的基本內(nèi)涵概述

“數(shù)學(xué)開放題試題”是指“答案不惟一或者條件不完備具有多種不同的解法的習(xí)題,并在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)試題.其特點(diǎn)是:問(wèn)題條件常常是不完備,問(wèn)題的答案是不確定的,具有層次性;問(wèn)題的策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性;問(wèn)題的探究具有探索性和發(fā)展性;問(wèn)題的教學(xué)具有參與性和學(xué)生主體性.

2.開放性試題的分類和簡(jiǎn)析

近幾年在高考中的開放性試題主要分類為:條件開放型、結(jié)論開放型、綜合開放型、情景開放型、解法開放型等.以下對(duì)常見的四種類型,進(jìn)行簡(jiǎn)單分析.

2.1 條件開放型

條件開放題是指未知的要素是假設(shè),通過(guò)給定結(jié)論來(lái)反探滿足結(jié)論的條件,而滿足結(jié)論的條件并不惟一,這類題常以基本知識(shí)為背景加以設(shè)計(jì)而成的,主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度和歸納探索能力.

例1(2022 年高考北京卷第17 題) 如圖1,在三棱柱ABC ?A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分別為A1B1,AC的中點(diǎn).

圖1

(1)求證:MN//平面BCC1B1;

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①:AB⊥MN; 條件②:BM=MN.

注如果選擇條件①和條件②分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

評(píng)析 本題以直三棱柱為背景考查線面關(guān)系,考查學(xué)生的空間象限能力和邏輯推理能力.第(1)問(wèn)證明線面平行比較簡(jiǎn)單,第(2)問(wèn)的結(jié)構(gòu)不良給出的兩個(gè)等價(jià)條件,讓學(xué)生從位置和度量?jī)蓚€(gè)方面進(jìn)行選擇,以確定側(cè)面的形狀.這種嘗試考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,增強(qiáng)了試題靈活性,為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用.

2.2 結(jié)論開放型

若未知的要素是判斷,則稱為結(jié)論開放型題,這種類型的考題是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性,主要考查學(xué)生的發(fā)散思維和所學(xué)基本知識(shí)的應(yīng)用能力.體現(xiàn)了高考評(píng)價(jià)體系中一核四層四翼的“應(yīng)用性和創(chuàng)新性”.

例2(2021 年高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷14 題)寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函f(x):

①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②當(dāng)x ∈(0,+∞) 時(shí),f′(x)>0;③f′(x)是奇函數(shù).

評(píng)析本題要求考生在理解條件①②③的基礎(chǔ)上,構(gòu)建出一個(gè)函數(shù)f(x).題目考查的是數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力,由于答案是開放的,所以在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用,同時(shí)也給不同水平的考生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學(xué)能力的空間,“舉例問(wèn)題”靈活開放.

針對(duì)結(jié)論開放性問(wèn)題,可以從已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)入手.高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù),對(duì)勾函數(shù)等函數(shù).題目條件中較好判斷的是條件②,由條件②可以得出f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,由此可以排除f(x)為三角函數(shù)和對(duì)勾函數(shù);由條件③可以排除f(x)為一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù);由條件①得出與對(duì)數(shù)函數(shù)矛盾,(logax1x2=logax1+logax2),進(jìn)而可以選擇的函數(shù)只有冪函數(shù)了.由此學(xué)生可以輕松的一個(gè)答案f(x)=x2,或者f(x)為x4,x6,···都符合題意.

例題3(2022 年新高考Ⅱ卷第14 題).寫出與圓x2+y2=1 和(x ?3)2+(y ?4)2=16 都 相切的一條直線的方程____.

評(píng)析本題考查的是圓的基本性質(zhì)以圓與圓的位置關(guān)系、公切線問(wèn)題.學(xué)生首先畫圖,通過(guò)先判斷兩圓位置關(guān)系,分情況討論即可.本題的公切線有三種情況,如果學(xué)生從切線l入手,利用kOO1求出kl,在求出直線l的方程就非常快捷簡(jiǎn)單;學(xué)生也可以利用兩圓方程做差得到公切線方程.如果學(xué)生從切線m和n入手,設(shè)直線方程為kx+y+p=0,在利用圓心到直線的距離等于半徑,求出參數(shù)k和p.不同的答案對(duì)應(yīng)不同的思考方案,思維的靈活性體現(xiàn)在方案的選擇上,具有較好的選拔性.

2.3 綜合開放型

綜合開放型試題,一般指題目?jī)H僅給出一定的背景(知識(shí)載體),解題策略與結(jié)論都要求主體在情境中自行設(shè)定與尋找.對(duì)于這種問(wèn)題,由于主體思考角度與經(jīng)驗(yàn)背景不同,必然會(huì)提出多種多樣的解題策略,對(duì)學(xué)生把握知識(shí)的整體性和站位要求比較高,側(cè)重考查學(xué)生的分析與解決問(wèn)題的能力.

例4(2021 年高考甲卷理科第18 題)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列;②數(shù)列是等差數(shù)列;③a2=3a1.

注若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.

評(píng)析本題設(shè)計(jì)了3 個(gè)不同的組合方案,組成3 個(gè)真命題,給考生很充分的選擇空間.

方案1若選①②作為條件,證明③.可設(shè)kn+b(k >0),結(jié)合an,Sn的關(guān)系求出an,利用{an}是等差數(shù)列可證a2=3a1.

方案2若選擇①③作為條件,證明②.根據(jù)等差數(shù)列的求和公示表示,結(jié)合等差數(shù)列定義可證.

方案3若選擇②③作為條件,證明①.設(shè)kn+b(k >0),結(jié)合an,Sn的關(guān)系,求出an,根據(jù)a2=3a1,可求b,從而可證數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

考生選擇不同的條件和結(jié)論組成命題,就體現(xiàn)了不同的數(shù)學(xué)思維角度和方式.“綜合開放型試題”的適度開放不僅有益于考生在不同層面發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)能力,而且對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有積極導(dǎo)向,引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法上重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué).

2.4 情境開放型

情境開放型也稱策略開放型,就是為數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)生的背景,聯(lián)系到當(dāng)前數(shù)學(xué)教育所倡導(dǎo)的實(shí)踐性和創(chuàng)新性,這種開放試題綜合性考查學(xué)生推理、想象、類比等核心素養(yǎng),讓學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到真實(shí)的實(shí)踐活動(dòng)中去.高考的數(shù)學(xué)試題情景分為課程學(xué)習(xí)情景、探索創(chuàng)新情景和生活實(shí)踐情景三類.

例5(2021 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷18 題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,有A,B 兩類問(wèn)題,每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答,無(wú)論回答正確與否,該同學(xué)比賽結(jié)束.A 類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20 分,否則得0 分;B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80 分,否則得0 分,已知小明能正確回答A 類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng) 類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A 類問(wèn)題,記X為小明的累計(jì)得分,求X的分布列;

(2)為使累計(jì)得分的期望最大,小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題? 并說(shuō)明理由.

評(píng)析本題的問(wèn)題情景具有開放性,將常見的求期望問(wèn)題設(shè)計(jì)為決策問(wèn)題.題目采用了“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽的背景來(lái)命題,學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)分析來(lái)進(jìn)行選時(shí),方法是多樣的.考查的是概率統(tǒng)計(jì)知識(shí),學(xué)生通過(guò)題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.(2)與(1)類似,找出先回答B(yǎng) 類問(wèn)題的數(shù)學(xué)期望,比較兩個(gè)期望的大小即可.

例6(2021 年全國(guó)適應(yīng)性考試第14 題)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2.,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為____,____.

評(píng)析本題屬于情境開放問(wèn)題,需要學(xué)生自己創(chuàng)設(shè)情境,自己構(gòu)建直角坐標(biāo)系.如果學(xué)生習(xí)慣以正方形中心為原點(diǎn),或以頂點(diǎn)為原點(diǎn),以兩直角邊長(zhǎng)為坐標(biāo)軸,本題很難解決.如果學(xué)生如圖建立直角坐標(biāo)系,正方形的傾斜角為α,且tanα=2,則正方形的兩個(gè)鄰邊傾斜角為α+和α ?

通過(guò)這種情景性試題考查,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng),從而有助于學(xué)生自主解決生活中遇到的困難和問(wèn)題,提升發(fā)現(xiàn)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

3.近兩年全國(guó)高考開放性試題的統(tǒng)計(jì)

開放性試題是一種考查學(xué)生核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維的重要載體,現(xiàn)在已經(jīng)成為高考的熱點(diǎn).它已經(jīng)成為學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的綜合體現(xiàn),筆者深入研究近兩年高考數(shù)學(xué)試題,統(tǒng)計(jì)了開放性試題的來(lái)源、題型、主要考查知識(shí)點(diǎn)、核心素養(yǎng)等,見表1.

由表1 可知,這幾年試題重點(diǎn)考查主要題型為填空和解答題;主要涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解析幾何六個(gè)模塊,主要考查的核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象為主,既有中檔題又有壓軸題,突出了數(shù)學(xué)本質(zhì)和理性思維的考查.

表1 近三年全國(guó)高考開放性試題分布及考查統(tǒng)計(jì)表

通過(guò)上表可知,這幾年試題重點(diǎn)考查主要題型為填空和解答題;主要涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、解三角形、立體幾何、概率統(tǒng)計(jì)、解析幾何六個(gè)模塊,主要考查的核心素養(yǎng)以數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象為主,既有中檔題又有壓軸題,突出了數(shù)學(xué)本質(zhì)和理性思維的考查.

4.教學(xué)啟示

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》明確指出“四層”為高考的考查內(nèi)容,即“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)“,“四翼”為高考的考查要求,即從基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的角度對(duì)素質(zhì)教育進(jìn)行評(píng)價(jià).開放性試題是考查學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重要方式,也是綜合性和創(chuàng)新性的集中體現(xiàn).中國(guó)高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變,教師的教學(xué)策略也需要有所改變,課堂上要為學(xué)生提供多維度的思考空間.

4.1 創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情景,營(yíng)造數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新

教師可以把封閉式題目改編為開放性問(wèn)題,研究問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu),探究命題過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想,進(jìn)而改造為開放性問(wèn)題.通過(guò)精心創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情景,為學(xué)生提供自由探索、放開想象的空間、學(xué)生從多個(gè)角度剖析問(wèn)題和探究問(wèn)題,從而提升數(shù)學(xué)思維能力.

例7在?ABC中2A+cos 2A=2.

問(wèn)題1:求A的大小.

問(wèn)題2:現(xiàn)給出三個(gè)條件:①a=2,②B=45?,③c=請(qǐng)從中選出兩個(gè)可以確定?ABC的條件,并以此為依據(jù)求?ABC的面積.

問(wèn)題3:如果把?ABC擦去,怎么求A?

問(wèn)題4:如果A換成x,把2 換成f(x),此時(shí)能得到什么?

問(wèn)題5:當(dāng)f(x)=+cos 2x時(shí),可以設(shè)計(jì)出什么樣的問(wèn)題?

評(píng)析本題在教學(xué)中通過(guò)對(duì)三角形各元素的分析,利用5 個(gè)問(wèn)題串的形式,增加一個(gè)條件,提出一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題,既可以將解三角形知識(shí)體系完整復(fù)習(xí)一遍,又賦予創(chuàng)新意識(shí)的觀察與鍛煉.

4.2 深入挖掘教材,培育數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性

人教A 版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》是以“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”為指導(dǎo),書中設(shè)有“觀察”“思考”“探究”“歸納”等欄目,并穿插一些開放性的問(wèn)題,來(lái)激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新性思維和引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng).所以回歸教材,以素養(yǎng)為導(dǎo)向,站在拓展延伸的角度使用教材,是我們培育數(shù)學(xué)思維的重要途徑.

例8(人教A 版選擇性必修第一冊(cè)第108 頁(yè)例3)

如圖,設(shè)A,B兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?5,0)和B(5,0),直線AM和BM相交于M點(diǎn),且他們的斜率乘積等于?求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析設(shè)點(diǎn)M(x,y),那么直線AM和BM的斜率就可用含x,y的關(guān)系式分別表示,有直線AM和BM的斜率之積是?可得出x,y之間的關(guān)系式,進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡方程.

變式1設(shè)點(diǎn)A(?a,0),B(a,0)且a >0,現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P滿足讓直線PA和PB的斜率乘積等于m(m0).求解動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

變式2若曲線=1(m0,a>0)上有某點(diǎn)P(x,y)(y0),現(xiàn)有兩個(gè)定點(diǎn)A(?a,0)和B(a,0),且a>0,證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

變式3若AB是經(jīng)過(guò)=1(m0,a>0)的中心的任意一條弦,而某點(diǎn)P(x,y)位于該曲錢上,且與AB兩點(diǎn)不重合,證明直線PA和PB的斜率乘積等于m.

評(píng)析教師通過(guò)對(duì)教材原題的改編,對(duì)原命題進(jìn)行推廣和類比,對(duì)命題條件處理,得到新形式.學(xué)生能夠?qū)εc已學(xué)知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題,通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析,探索論證的思路,選擇合適的論證方法予以證明,從而提升數(shù)學(xué)的發(fā)散性思維.

教材在高考復(fù)習(xí)中占據(jù)著不可替代的地位,歷年的各地高考試題很多都源于教材.教材的例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想方法和解題技巧,我們?nèi)裟軐?duì)一些典型的例題、習(xí)題進(jìn)行認(rèn)真的深究,促使學(xué)生開展主動(dòng)學(xué)習(xí),在落實(shí)“四基”的過(guò)程鐘,培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

4.3 優(yōu)化知識(shí)呈現(xiàn)方式,提升學(xué)生核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版2020 年修訂)》提出:“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹人根本任,培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題習(xí)題進(jìn)行多元刨析,從不同視角設(shè)計(jì)問(wèn)題,鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)試題中的條件和問(wèn)題進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)化和拓展,學(xué)生在掌握知識(shí)和提升能力的同時(shí),收獲成功改編試題和命制試題的喜悅,培養(yǎng)學(xué)生的合作探究能力、創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)精神,全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

中國(guó)高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變,而開放性試題的出現(xiàn)正體現(xiàn)著素養(yǎng)導(dǎo)向的高考數(shù)學(xué)命題方向,需要學(xué)生根據(jù)具體的問(wèn)題情景,多層面多角度地對(duì)試題進(jìn)行分析,真正的落實(shí)立德樹人、突出數(shù)學(xué)本質(zhì)、實(shí)現(xiàn)教育價(jià)值,為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).