利用柯西不等式證明一類(lèi)分式不等式的升冪技巧

山東省鄒平雙語(yǔ)學(xué)校(256200) 姜坤崇

利用柯西不等式(或其變形式)可以證明大量的不等式,特別是分式不等式,但對(duì)于不少分式不等式而言,若直接使用柯西不等式(或其變形式)證明則常常會(huì)中途擱淺,這時(shí)我們不妨采用一種技巧來(lái)試一試,有可能化“不可能”為可能.這種技巧即將分式的分子和分母同乘以分子的冪底數(shù)的某一次方,使得分子的冪的次方高于原冪指數(shù)(一般升為偶數(shù)次方),從對(duì)下面的不等式證明的一些例題中可以看出,這種先升冪后用柯西不等式證明分式不等式的技巧屢試不爽.

一、證明無(wú)條件約束不等式

這類(lèi)不等式除了對(duì)變?cè)姓龜?shù)的要求外無(wú)其它等式條件約束.

例1已知a,b,c是正數(shù),求證:

由于以上最后一個(gè)不等式不成立,故此證法擱淺.

雖然這個(gè)“證明”沒(méi)有完成,但我們不能輕易否定以上的證題思路,對(duì)于解決某些問(wèn)題有時(shí)候不是因?yàn)榛舅悸烦隽藛?wèn)題,而是還沒(méi)有找到正確的解題方法和技巧.事實(shí)上,只要我們將所證不等式的每一個(gè)分式的分子、分母的冪都由二次升為四次,并沿著以上同樣的思路就可“柳暗花明又一村”,從而給出不等式的正確證明.

證明由柯西不等式的變形式得

由二元均值不等式得,b4+a2b2≥2ab3,c4+b2c2≥2bc3,a4+c2a2≥2ca3,以上三個(gè)不等式相加得

又由4 元均值不等式得,a4+3b4≥4ab3,b4+3c4≥4bc3,c4+3a4≥4ca3,以上三個(gè)不等式相加然后兩邊約去4得

(3)+(4)即得(2)式,所以不等式(1)得證.

例2(自編題)已知a,b,c為正數(shù),求證:

分析由于不等式(5)與不等式(1)很類(lèi)似,因此同證明不等式(1)一樣,若不將不等式的每一個(gè)分式的分子、分母的冪升級(jí)而直接使用柯西不等式的變形式則不能完成其證明,以下我們仿照證明不等式(1)的思路與方法來(lái)完成對(duì)不等式(5)的證明.

證明由柯西不等式的變形式得

于是,要證不等式(5),只要證

?(2)式,所以不等式(5)得證.

例3 (自編題)已知a,b,c是正數(shù),求證:

證明由柯西不等式的變形式得

于是,要證不等式(6),只要證

仿(2)式的證明可證(7)式成立,從而不等式(6)得證.

而由柯西不等式的變形式得

例5 (自編題)設(shè)a,b,c>0,求證:

二、證明一類(lèi)條件不等式

這類(lèi)條件不等式,是指不等式中含有xyz=1 等約束條件的不等式.

由柯西不等式的變形式得

于是,要證不等式(8),只要證

由柯西不等式的變形式得

于是,要證不等式(9),只要證

(11)×2+(12),即得(10)式,從而不等式(9)成立,因此原條件不等式獲證.

由柯西不等式的變形式得

于是,要證不等式(13),只要證

三、證明含參數(shù)的不等式

以下三例中的不等式,都是含有參數(shù)λ的不等式.

例9(《中等數(shù)學(xué)》2015 年第10 期奧林匹克問(wèn)題高446(由筆者提供))設(shè)a、b、c>0,λ≥1.證明:

故式(15)成立,從而不等式(14)得證.

說(shuō)明不等式(14)是《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問(wèn)題1818 中的如下不等式的加權(quán)推廣:

證明由柯西不等式的變形式得

于是要證原不等式成立,只需證:

說(shuō)明在例10、11 的不等式中令λ=1 可分別得文獻(xiàn)[2]中的如下問(wèn)題1、2 中的不等式,所以例10、11 中的不等式分別是這兩個(gè)不等式的加權(quán)推廣.