對(duì)一道預(yù)賽試題中定值問(wèn)題與最值問(wèn)題的探究

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周威

一、基于試題情境的性質(zhì)探究

例1 (2022 年5 月重慶市預(yù)賽試題)設(shè)F是雙曲線Γ:x2?y2=1 的左焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)F的直線與Γ 相交于M,N兩點(diǎn).

(1)若M,N兩點(diǎn)都在雙曲線的左支上,求?OMN面積的最小值;

(2)是否存在x軸上一點(diǎn)P,使得為定值? 若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題以最簡(jiǎn)單的雙曲線方程、以最常規(guī)的過(guò)焦點(diǎn)的直線為載體,第一問(wèn)考查三角形面積的在圓錐曲線中的通性通法;第二問(wèn)基于探究性問(wèn)題,考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,以及處理為定值時(shí)的化歸轉(zhuǎn)化思想.此題從圓錐曲線的最基本的元素和最基本的設(shè)問(wèn)出發(fā),落腳在三角形面積最值問(wèn)題和圓錐曲線中常規(guī)的定點(diǎn)定值問(wèn)題,從而十分具有探究?jī)r(jià)值,作為解析幾何專題的高考備考也十分適用.

問(wèn)題1基于例1 中兩個(gè)提問(wèn),若一般化雙曲線的方程,是否可以抽象出雙曲線中的一個(gè)基本性質(zhì)?

事實(shí)上,經(jīng)過(guò)探究,有以下結(jié)論.

證明(1)設(shè)F(?c,0),則直線MN的方程為x=my?c,將直線方程代入雙曲線方程得(b2m2?a2)y2?2b2cmy+b4=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

因?yàn)镸,N兩點(diǎn)都在Γ 左支:

同理,若F是右焦點(diǎn),第(1)、(2)問(wèn)由于對(duì)稱性,結(jié)論類似,請(qǐng)讀者完成.

二、基于定值性質(zhì)的推廣探究

我們知道,很多時(shí)候圓錐曲線都有相對(duì)統(tǒng)一的性質(zhì),那么依然設(shè)F是圓錐曲線Γ 的左焦點(diǎn),經(jīng)過(guò)F的直線與Γ 相交于M,N兩點(diǎn),自然有如下問(wèn)題:

問(wèn)題2在橢圓和拋物線情境中,是否也存在x軸上一點(diǎn)P,使得為定值?

經(jīng)過(guò)探究,類比性質(zhì)1 有如下性質(zhì):

性質(zhì)3 的證明很容易(略).

三、基于形式統(tǒng)一性的變式探究

問(wèn)題3若M,N是一條過(guò)圓錐曲線Γ 某焦點(diǎn)的直線與Γ 相交時(shí)的任意兩點(diǎn),O為原點(diǎn),那么?OMN面積有無(wú)最值? 如果原點(diǎn)O不能滿足條件,受例1 中第(2)問(wèn)的啟發(fā),那么是否在x軸上存在另一點(diǎn)P使得?PMN面積存在最值.

由性質(zhì)1 中的討論可知其并無(wú)最值! 同理可得橢圓、拋物線的情形,也沒(méi)有最值! 從而必須在x軸上尋找另一點(diǎn)P,那么對(duì)于圓錐曲線來(lái)說(shuō),點(diǎn)P是否存在形式特殊性和統(tǒng)一性呢?通過(guò)探究,有如下性質(zhì)和結(jié)論:

證明設(shè)直線MN的方程為x=my ?c,將直線方程代入雙曲線方程得(b2m2?a2)y2?2b2cmy+b4=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

簡(jiǎn)證設(shè)直線MN的方程為x=my ?c,M(x1,y1),N(x2,y2),將直線方程代入橢圓方程得(b2m2+a2)y2?2b2cmy ?b4=0,則

性質(zhì)6設(shè)F是拋物線Γ:y2=2px(p >0)的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線交Γ于M,N兩點(diǎn),直線x=?與x軸交于點(diǎn)P,記?PMN的面積為S,則S≥p2.

性質(zhì)6 可類比證明(限于篇幅,過(guò)程略).顯然以上性質(zhì)都是基于P點(diǎn)是圓錐曲線準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)的統(tǒng)一性與特殊性,出現(xiàn)了三角形面積最值情形,但值得一提的是性質(zhì)5的探究中要進(jìn)行分類討論,這也正是探究問(wèn)題的樂(lè)趣所在.