二次曲線系方法解題賞析

廣東省佛山市南海區(qū)大瀝高級中學(xué)(528231) 陳美鳳

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識,也是高考的必考點.解決圓錐曲線問題要用解析法思想,解析法思想的最大好處就在于通過代數(shù)法將幾何問題的解決變成統(tǒng)一的模式,解題方法變得有章可循,解題過程變得井然有序,而且能按照一定的步驟或程序來推導(dǎo)、求解.但其中的計算過程往往艱難而苦澀.筆者翻閱近五年高考題中的圓錐曲線問題,總體的感覺是點多,線多,幾何關(guān)系復(fù)雜,解題運算過程繁雜.是否存在有效快捷的方法來解決這復(fù)雜的運算問題呢? 本文將結(jié)合五道高考真題向大家呈現(xiàn)二次曲線系在解決這些復(fù)雜圓錐曲線問題中的妙處.

一、準(zhǔn)備知識

1.二次曲線的一般方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A2+B2+C20).

2.設(shè)l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0 是兩條直線,稱二次曲線:(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=0 為一條退化的二次曲線.

3.二次曲線系的兩條性質(zhì):

(1) 若二次曲線C1:f1(x,y)=0 與二次曲線C2:f2(x,y)=0 有四個不同的交點,則過這四個點的二次曲線系(即過這四個點的所有二次曲線) 方程為μ1f1(x,y)+μ2f2(x,y)=0,其中μ1,μ2為常數(shù).

注:當(dāng)我們所求的二次曲線不是C2本身時,也可以設(shè)曲線系方程為f1(x,y)+μf2(x,y)=0.

(2)若直線l1(x,y)=A1x+B1y+C1=0及l(fā)2(x,y)=A2x+B2y+C2=0 與二次曲線C:f(x,y)=0 有四個交點,則過這四點的二次曲線系方程為μ1l1(x,y)l2(x,y)+μ2f(x,y)=0

接下來,我們來看看二次曲線系的應(yīng)用場景,通過對比2018～2022 年的五道圓錐曲線高考試題的常規(guī)解法,來展示留藏在二次曲線系中的“別有洞天”.

二、應(yīng)用場景

(一)定值問題

真題1(2022 年高考甲卷理科數(shù)學(xué))設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當(dāng)直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α ?β取得最大值時,求直線AB的方程.

解析(1)拋物線C的方程為y2=4x.(過程從略)

圖1

(2) (解法2 二次曲線系方法) 設(shè)直線MN方程為:x=m1y+1,直線AB方程為:x=m2y+n,直線AM方程為:x=m3y+2,直線BN方程為:x=m4y+2.則經(jīng)過A、B、M、N四點的二次曲線方程為:y2?4x+ω(x ?m1y ?1)(x ?m2y ?n)=0.二 次 曲線μ(x ?m3y ?2)(x ?m4y ?2)=0 也經(jīng)過A、B、M、N四點.令:y2?4x+ω(x ?m1y ?1)(x ?m2y ?n)=μ(x ?m3y ?2)(x ?m4y ?2).

比較式子兩邊x2項,xy項,x項,y項,常數(shù)項的系數(shù)得:

由①⑤得n=4,代入③得4+5ω=4μ,結(jié)合①得ω=μ=?4,代入④得4m1+m2=2(m3+m4),又由②得m1+m2=m3+m4,從而有4m1+m2=2m1+2m2,于是

(2)解決第(2)問常規(guī)解法是用A,B,M,N四點的坐標(biāo)來表示直線AB和MN的斜率以及直線MD和ND的方程,與拋物線聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理,通過一系列的運算和推導(dǎo)得出結(jié)論.

(3) 使用二次曲線系的方法,直接設(shè)四條直線方程,并不需要和拋物線聯(lián)立方程求解.使用直線AB和MN以及AM和BN建立兩個退化二次曲線.最后只需要x2項,xy項,x項,y項,常數(shù)項的系數(shù)就可以順利快速的得到

注限于篇幅,后面的例子不再展示常規(guī)解法.

真題2(2021 年高考全國Ⅰ卷) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點點M 滿足|MF1|?|MF2|=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點T在直線x=上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解析(1)C的方程為:x2?=1(x≥1).(過程從略)

圖2

利用x2項與y2項系數(shù)相等,以及xy項的系數(shù)為0,得

由②得μ=0或k1+k2=0.若μ=0,代入①得到1=矛盾結(jié)果,故有k1+k2=0.

小結(jié)(1)這道題第(2)問實質(zhì)上也是一個定值問題,直線AB的斜率k1和直線MN的斜率k2之和k1+k2=0.

(2)常規(guī)解法是設(shè)A,B,P,Q四點的坐標(biāo)和直線AB和PQ的斜率,以及直線MD和ND的方程與拋物線聯(lián)立方程,結(jié)合韋達定理,通過一系列的運算和推導(dǎo)得出結(jié)論.

(3) 使用二次曲線系的方法,由圓冪定理,把條件|TA| · |TB|=|TP| · |TQ|轉(zhuǎn)化為四點共圓問題,使用直線AB和PQ建立一個退化二次曲線.最后利用x2項與y2項系數(shù)相等,以及xy項的系數(shù)為0 即可快速得到結(jié)論.

真題3(2019 年高考全國Ⅱ卷理科)已知點A(?2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.(i)證明:?POG是直角三角形;(ii)求?POG面積的最大值.

解析(1)C的方程=1(|x|2),所以C為中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上的橢圓,不含左右頂點.(過程從略)

(2) (i) (二次曲線系方法)如圖,設(shè)E(t,0),設(shè)直線PQ方程為y=k1x(k1>0).延長PE交橢圓于P′,連接P′Q,則P(t,k1t),Q(?t,?k1t).直線QG的斜率kQG=,所以直線QG的方程為y=即k1x ?2y ?k1t=0.

圖3

比較式子兩邊x2項、y2項和xy項的系數(shù),得

所以PQ⊥PG,即?PQG是直角三角形.

小結(jié)(1)這道題第(2)小題第一問本質(zhì)是一個定值問題,證明k1k2=?1.常規(guī)解法是用PQ的斜率來表示P,Q,G的坐標(biāo),聯(lián)立方程通過繁瑣的運算得出結(jié)論.

(2)使用二次曲線系的方法,設(shè)定點和線方程之后并不需要和橢圓聯(lián)立方程求解.

(3)橢圓上只有3 個點,通過引入P關(guān)于x軸的對稱點P′(也是Q關(guān)于y軸的對稱點),再使用直線QG和PP′以及PG和QP′建立兩個退化二次曲線.最后只需要x2項、y2項和xy項的系數(shù)就足以幫助我們得到需要的結(jié)論.

(二)定點問題

(1)求E方程;

(2)證明:直線CD過定點.

解析(1)曲線E的方程為+y2=1.(過程從略)

小結(jié)(1)這道題第二問實質(zhì)上是一個定點問題.

(2)使用二次曲線系的方法,直接設(shè)4 條直線方程,并不需要和橢圓聯(lián)立方程求解.使用直線AB和CD以及AP和BP建立兩個退化二次曲線.最后只需要用到xy項和y項的系數(shù)就快速得到結(jié)論.

(三)求曲線方程

真題5 (2018 年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k >0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8.

(1)求l的方程;

(2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

解析(二次曲線系方法)所求圓方程經(jīng)過A,B兩點,而A,B是拋物線C:y2=4x和直線l:y=x ?1 的交點,故可設(shè)所求圓方程為μ(y2?4x)+(x?y?1)(x+y+m)=0.利用圓中x2項和y2項系數(shù)相等,得到1=μ?1,μ=2.再利用此圓與拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線:x=?1 相切,把x=?1 代入圓方程得到:y2?(m+1)y+10?2m=0.由?=(m+1)2?4(10?2m)=0,解得m=3或m=?13,所以圓方程為:x2+y2?6x ?4y ?3=0或x2+y2?22x ?12y+13=0.

小結(jié)該題條件并不復(fù)雜,用常規(guī)方法也能較快得出結(jié)論,在此展示二次曲線系方法,作為求曲線方程的一個參考.

三、總結(jié)提升

從上面五道高考題我們可以發(fā)現(xiàn),解析幾何的基本思想是用代數(shù)的手段來研究幾何問題.我們常規(guī)的操作步驟是“三部曲”:(1) 首先將幾何問題代數(shù)化;(2) 其次將代數(shù)問題坐標(biāo)化(坐標(biāo)化的終極目標(biāo)是得到純x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的代數(shù)式);(3)最后利用韋達定理代入,化簡得出答案.

常規(guī)解法的優(yōu)點是具有比較強的模式化,易于操作,是我們解決圓錐曲線問題的首要選擇.它需要我們的學(xué)生要有非常強大的運算能力.誠然,運算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,而圓錐曲線則是運算訓(xùn)練的最重要載體,是運算訓(xùn)練的主戰(zhàn)場.我們在學(xué)習(xí)圓錐曲線時,千萬不能錯過這種訓(xùn)練.然而,面向高考,在有限時間內(nèi),這種過于繁瑣的運算要求對考生并不友好.因此,我們要學(xué)會運算,更要學(xué)會將問題簡單化,避免繁雜的運算.

波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》的序言中說:“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是加強解題訓(xùn)練.”他把解題作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會他們思考的一種重要手段和途徑.解題意味著要找到克服困難的方法,找到繞過障礙的道路,達到不能直接達到的目的.本文則具體展示了在面對一些復(fù)雜的圓錐曲線問題,當(dāng)常規(guī)方法效果不佳時,二次曲線系往往能有效快速地解決.

利用二次曲線系解題的過程,實質(zhì)上就是利用二次曲線的一些特征,比如圓的方程中x2項和y2項系數(shù)相等,沒有xy項;或者是比較兩個多項式的系數(shù)等,來找到所引入的參數(shù)的關(guān)系.這樣就避免了聯(lián)立方程和韋達定理以及海量的運算,是解決一些圓錐曲線問題的快速有效的方法.二次曲線系就像一鍋亂燉,把多點、多線和復(fù)雜幾何關(guān)系的圓錐曲線問題放在一個鍋中亂燉,雖不精致但卻美味可口.面向高考,對于有志于完成解析幾何壓軸題的同學(xué),不妨引導(dǎo)他們對這個方法進行嘗試.