以生考熟 返璞歸真
——2022 年新高考I 卷第20 題的探析及教學(xué)思考

廣東省汕頭市潮陽(yáng)第一中學(xué)(515100) 鄭偉韜

2018 年秋季,廣東省試點(diǎn)實(shí)施新高考,結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》的精神,在依舊使用舊教材的基礎(chǔ)上,對(duì)舊教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)刪減和補(bǔ)充,學(xué)生于2021 年參加廣東新高考.2020 年秋季,廣東省普遍實(shí)施新教材教學(xué),學(xué)生于2023 年參加廣東新高考.

2022 年的全國(guó)新高考I 卷數(shù)學(xué)難度頗大,在社會(huì)上引起了較高的關(guān)注度.根據(jù)教育部發(fā)布的《關(guān)于做好2022 年普通高校招生工作的通知》,高考命題應(yīng)充分發(fā)揮育人功能,促進(jìn)全面發(fā)展,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)、關(guān)鍵能力的考查.優(yōu)化試題呈現(xiàn)方式,防“機(jī)械刷題”、“生搬硬套”,以利于更好地選拔人才.結(jié)合文件精神,我們不妨以試題中的第20 題為例,分析該試題的命制特點(diǎn),并進(jìn)行詳細(xì)解答,回歸教材,說(shuō)明立足教材的重要性,希望一線(xiàn)教師重視新教材增加的內(nèi)容和課后習(xí)題,以期更好地做好高考備考工作.

一、試題呈現(xiàn)與分析

題目(2022 年新高考I 卷第20 題)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi))的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)抽查了100 例(稱(chēng)為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)抽查了100 人(稱(chēng)為對(duì)照組),得到如下數(shù)據(jù):

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

試題分析試題以醫(yī)療衛(wèi)生為背景,第(1)問(wèn)主要考查卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)內(nèi)容,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理素養(yǎng).學(xué)生通過(guò)理解公式中a,b,c,d符號(hào)與2×2 列聯(lián)表數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將其代入公式,并結(jié)合統(tǒng)計(jì)量與臨界值比較的意義不難得出結(jié)論.試題第(2)問(wèn)(i)是一道證明題,通過(guò)給出一個(gè)新定義,證明一個(gè)等式成立.主要考查內(nèi)容是條件概率公式(或貝葉斯公式)、數(shù)學(xué)證明方法.與往年不同的是,今年條件概率內(nèi)容不是以小題的形式呈現(xiàn),而是通過(guò)簡(jiǎn)答題(證明題)的形式加以考查.考查了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)的較高水平層次.該問(wèn)可以用分析法、綜合法來(lái)證明,結(jié)合第(1)問(wèn),其實(shí)是數(shù)學(xué)證明方法中歸謬法的考查.第(2)問(wèn)(ii)較為簡(jiǎn)單,分析得到數(shù)據(jù),代入即可.

二、解法探析

分析(1)零假設(shè)為H0:患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無(wú)差異

根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下:

根據(jù)公式,代入數(shù)據(jù),可得

根據(jù)小概率值α=0.010 的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010.

評(píng)注該問(wèn)屬于概率與統(tǒng)計(jì)解答題的第一小問(wèn),主要考查卡方獨(dú)立性檢驗(yàn),學(xué)生只要掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟、原理,不難得出答案,最后的結(jié)果也比較靈活,得出K2=24也可以與10.828 比較,顯然得出結(jié)論.

(2)(i)解法一

評(píng)注該解法從定義出發(fā),直接應(yīng)用貝葉斯公式,化簡(jiǎn)得出結(jié)論.

三、教學(xué)建議

1.重視概率與統(tǒng)計(jì)模塊的教學(xué)

在固有認(rèn)知里,對(duì)于一線(xiàn)教師和學(xué)生而言,數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何大題是相對(duì)容易下手的.而這次新高考,顯然概率與統(tǒng)計(jì)模塊大題的第一問(wèn)是相對(duì)簡(jiǎn)單的,考查了卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)這一基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí).因此,在實(shí)際教學(xué)中,我們應(yīng)加強(qiáng)利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征、求相關(guān)系數(shù)、求回歸方程、卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)等這些基礎(chǔ)性的概率與統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的訓(xùn)練,穩(wěn)扎穩(wěn)打,力爭(zhēng)做到會(huì)的題必拿分,必拿全分.

2.重視新教材增加內(nèi)容的教學(xué)

概率與統(tǒng)計(jì)是高中的必修內(nèi)容,也是大學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論課程的基礎(chǔ).在日常生產(chǎn)生活中,概率與統(tǒng)計(jì)與我們息息相關(guān).概率研究的是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小,統(tǒng)計(jì)研究的是數(shù)據(jù)的收集、整理、分析.通過(guò)概率與統(tǒng)計(jì)模塊知識(shí)的考查,可以了解學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)等不同素養(yǎng)內(nèi)容和水平.特別地,新教材增加了很有應(yīng)用價(jià)值的全概率公式和貝葉斯公式.這兩個(gè)公式其實(shí)是條件概率的進(jìn)一步推廣和延伸,也是概率論教學(xué)的重難點(diǎn).《標(biāo)準(zhǔn)》指出,會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率,了解貝葉斯公式.

2022 年6 月深圳頒布的自動(dòng)駕駛汽車(chē)管理政策引起了社會(huì)的關(guān)注,可見(jiàn)人工智能的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大.而該理論的一個(gè)重要基本原理便是貝葉斯公式.全概率公式和貝葉斯公式本來(lái)是大學(xué)概率論教學(xué)的內(nèi)容,現(xiàn)出現(xiàn)在高中新教材里面,其重要性不容小覷.如何將全概率公式講懂講透,以便學(xué)生進(jìn)一步了解貝葉斯公式的原理,是教學(xué)的突破口所在.在實(shí)際教學(xué)中,應(yīng)以具體情境出發(fā),理論聯(lián)系實(shí)際,通過(guò)數(shù)學(xué)建模建立起數(shù)學(xué)與情境之間的關(guān)系,在提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí),也增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).例如,在新教材《選修第三冊(cè)》第53 頁(yè)的“閱讀與思考”,引入的“抽獎(jiǎng)游戲”可以適當(dāng)作為課堂教學(xué)探究,加深學(xué)生對(duì)貝葉斯方法的理解.

3.重視通過(guò)陌生情境對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)

熟悉的情境主要考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的熟練程度,而陌生的情境有利于檢驗(yàn)出學(xué)生的真實(shí)水平.如何從陌生的生活情境中,通過(guò)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建?？吹綌?shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),利用數(shù)學(xué)思維方式解決問(wèn)題,是高考中最為重要的一點(diǎn).我們知道,高考不會(huì)考陳題舊題,但始終不變的是考查學(xué)生的核心素養(yǎng)水平.在實(shí)際教學(xué)中,我們應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)陌生情境的訓(xùn)練,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活、科學(xué)以及其他學(xué)科等的聯(lián)系,搭建起數(shù)學(xué)思維的橋梁,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

正如2019 年高考全國(guó)I 卷理科數(shù)學(xué)最后一道壓軸題考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等核心素養(yǎng)的較高層次,是概率與統(tǒng)計(jì)模塊和數(shù)列模塊的綜合應(yīng)用.該試題由二階遞推公式,根據(jù)數(shù)列有關(guān)知識(shí),利用待定系數(shù)法可以得出一階遞推公式.在已有的知識(shí)儲(chǔ)備中,學(xué)生很難將概率知識(shí)與數(shù)列建立起相關(guān)聯(lián)系.學(xué)生如何從陌生的生活情境中挖掘出所熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容,是這道題的關(guān)鍵點(diǎn).

在新教材中,我們不難發(fā)現(xiàn)編輯者出題的初衷.在《選修第三冊(cè)》第91 頁(yè)第十題(題目如下)正是融合了概率與數(shù)列模塊知識(shí),從實(shí)際生活情境中通過(guò)數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為一階遞推公式,進(jìn)而利用待定系數(shù)法得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,求得所求事件的概率.

題目(《選修第三冊(cè)》第91 頁(yè))10.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1 次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.