用補形法突破高考全國卷立體幾何問題*

嶺南師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院(524048) 齊春燕

廣東省湛江市寸金培才學校(原湛江一中培才學校) (524037) 魏欣

近年來,高考全國卷立體幾何題目的圖形大部分是不規(guī)則的,圖中的線線、線面、面面位置關(guān)系比較模糊,難以作出空間直角坐標系.然而,補形法卻是有效破解不規(guī)則的立體幾何圖形的解題策略.巧妙地對立體幾何圖形實施補形,可以清晰反映圖形中線線﹑線面、面面位置關(guān)系,同時也便于作出空間角,還可以避免不規(guī)則圖形建立空間直角坐標系的麻煩.補形后可以化繁為簡,使問題絕處逢生,甚至事半功倍,補形法作為解決立體幾何通用的解法,對解題會起到很大的幫助.下面以近年來高考全國卷立體幾何試題為例,談?wù)勓a形法在解決立體幾何試題中的巧妙應(yīng)用.

1.利用補形法解幾何體外接球的問題

李繼閔先生在《九章算術(shù)校證》有這樣一句話(參見[1]):“邪解立方,得兩塹堵;邪解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑,陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑成一陽馬,合三陽馬而成一立方,故三而一.驗之以基,其形露矣.”這里的塹堵就是取一長方體,斜割一分為二,可以得兩個一模一樣的三棱柱;沿塹堵的一個頂點與相對的棱剖開,可以得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底,另有一棱與底面垂直的四棱錐,稱為陽馬;余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體,稱為鱉臑.在解決某些立體幾何的問題時,若有意識地放大考察問題的視角,將需要解決的問題看成一個整體,比如補成長方體,通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或者整體性質(zhì),則會很順利而又簡潔地解決問題.本文旨在探究利用補形法解全國卷有關(guān)外接球的問題.

例1(2019 年高考全國Ⅰ卷理科第12 題)已知三棱錐P ?ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,?ABC是邊長為2 的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90?,則球O的體積為( ).

解由題意,三棱錐P ?ABC為正三棱錐.如圖1 所示,取AC中點D,連接PD,BD,則AC⊥PD,AC⊥BD,故AC⊥平面PBD,AC⊥PB.又∠CEF=90?,而PB//EF,故PB⊥CE.所以,PB⊥平面PAC,PB⊥PA,PB⊥PC.

圖1

圖2

2.利用補形法判斷兩直線位置關(guān)系

判斷兩直線位置關(guān)系,求異面直線所成的角,都必須平移直線,使得兩線在同一個平面,準確地說要平移到三角形中,再通過三角形有關(guān)知識求解所成的角.其中,平移直線是最大的障礙,而補形使得平移直線和平移目標更加明確清楚.

例2(2019 年高考全國Ⅲ卷第8 題)如圖3 所示,點N為正方形ABCD的中心,?ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則( )

A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線

B.,且直線BM,EN是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.,且直線BM,EN是異面直線

解將圖形補成長方體﹐如圖4 所示.設(shè)AB=2則ED=EC=2.連接BD,DE,EB,顯然E,M,D,N,B共面,所以BM,EN是相交直線,在?BDE中,ED=2,EB=BD=則BM=EN=2,故選B.

圖3

圖4

3.利用補形法求點到平面的距離

利用補形法,把原圖補成規(guī)則圖形,復原原來的圖形,使得圖中的線面位置關(guān)系更加清晰,對于求點到平面的距離,補形在解題中起到穿針引線作用.

例3(2019 年高考全國Ⅰ卷文科第16 題) 已知∠ACB=90?,P為平面ABC外一點,PC=2,點P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為那么點P到平面ABC的距離為____.

圖5

4.利用補形法證明垂直問題

把原圖補成規(guī)則圖形后,原圖中的關(guān)系在補形后清清楚楚,特別是發(fā)現(xiàn)了幾條相互垂直的直線和幾個直角三角形后,為解題找到了突破口,大大增加了解題的自信心,消除了畏懼心理.

例4(2015 年高考全國Ⅰ卷理科第18 題第1 小問)如圖6 所示,四邊形ABCD為菱形,∠ABC=120?,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.證明:平面AEC⊥平面AFC.

圖6

圖7

5.利用補形法解決體積的問題

當問題提供的幾何體底面是一個非特殊多邊形時,可以將其補為一個特殊多邊形,如可將鈍角三角形補為直角三角形,如遇直角梯形,更可直接補為長方形.其二是補體,柱體切割可得錐,錐體切割可得臺.在問題中,如遇臺體,可將其補形為錐體,如遇錐體,可找底面的垂線,將錐補形為直棱柱,并進一步補形為長方體,從而求出幾何體體積.

例5(2022 年高考全國甲卷文科第19 題第2 小問)小明同學參加綜合實踐活動,設(shè)計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖8 所示,底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,?EAB,?FBC,?GCD,?HDA均為正三角形,且它們所在平面與平面ABCD垂直.求該包裝盒的容積(不計包裝盒材料的厚度).

圖8

圖9

例6(2021 年新高考Ⅰ卷第20 題) 如圖10,在三棱錐A?BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.

(1)證明:OA⊥CD;

(2)若?OCD是邊長為1 的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E ?BC ?D的大小為45?,求三棱錐A ?BCD的體積.

圖10

圖11

6.利用補形法解線面角的問題

通過補形把一個不規(guī)則立體圖形補成.一個熟悉的立體圖形,要找線面所成的角,首先要找面的垂線,面的垂線是核心,而補形成一個長方體或正方體后,垂線一目了然,這對解決問題起到很關(guān)鍵的作用.

例7(2022 年高考乙卷理科第18 題)如圖12 所示,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點.

(1)證明:平面BED⊥平面ACD;

(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60?,點F在BD上,當?AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

解(1)從略;(2)連接EF,由(1)知,AC⊥平面BED,因為EF ?平面BED,所以AC⊥EF,所以S?AF C=·EF,當EF⊥BD時,EF最小,即?AFC的面積最小.因為?ABD∽=?CBD,所以CB=AB=2,又因為∠ACB=60?,所以?ABC是等邊三角形,因為E為AC的中點,所以AE=EC=1,BE=因為AD⊥CD,所以DE=AC=1,在?DEB中,DE2+BE2=BD2,所以BE⊥DE.

圖12

圖13

7.利用補形法解二面角的問題

在立體幾何問題中,當問題涉及的面斜置時,可以嘗試翻動幾何體,使其中一個相關(guān)面成為底面.把一個原本不規(guī)則的圖形補成一個長方體,而且補形后,找到了垂線,發(fā)現(xiàn)面的垂線,將問題中的線面、面面模型轉(zhuǎn)化成定義中的標準模型,通過建立空間直角坐標系,用空間向量法輕松解決二面角問題,從而降低解題的難度.橫看成嶺側(cè)成峰,換個視角看問題,也許就會發(fā)現(xiàn)別樣的風采.

例8(2022 年新高考Ⅰ卷第19 題)如圖14 所示,直三棱柱ABC ?A1B1C1的體積為4,?A1BC的面積為

(1)求A到平面A1BC的距離;

(2)設(shè)D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A ?BD ?C的正弦值.

圖14

圖15

(2)如圖14 所示,連結(jié)AB1交A1B于點E,因為AA1=AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,則AE⊥BC.由(1)知A到平面A1BC的距離為故AE=A1B=AA1=AB=2.

例9(2022 年新考Ⅱ卷第20 題第2 小問)如圖15 所示,PO是三棱錐P ?ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E為PB的中點.若∠ABO=∠CBO=30?,PO=3,PA=5,求二面角C ?AE ?B的正弦值.

圖15

圖16

圖17

例10(2019 年高考全國Ⅲ卷理科第19 題)圖18 ①是由矩形ADEB,Rt?ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60?.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖18 ②.

圖18

圖19

(1) 證明:圖18 ②中的A,C,G,D四點共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求圖18 ②中的二面角B ?CG ?A的大小.

解(1)由已知得AD//BE,CG//BE,所以AD//CG,所以AD,CG確定一個平面,從而A,C,G,D四點共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE ∩BC=B,所以AB⊥平面BCGE.又因為AB ?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)作EH⊥BC,垂足為H.因為EH ?平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的邊長為2,∠EBC=60?,可求得BH=1,EH=

8.在教材中溯源補形法

通過研究教材與高考試題等材料,發(fā)現(xiàn)補形法源于如下教材課后習題.

例11(人教2019 版教材必修第二冊第164 頁習題第21題改編)如圖20 所示,在四棱錐P ?ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,兩點E、F分別線段PB、BC上的動點.

圖20

圖21

(1)若E為線段PB的中點,證明平面AEF⊥平面PBC;

(2)若BE=且平面AEF與平面PBC的夾角的余弦值為試確定點F的位置.

解(1)由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥BC.又在正方形ABCD中,BC⊥AB,且PA ∩AB=A,則BC⊥平面PAB,則BC⊥AE.由PA=AB,E為PB中點,可得AE⊥PB.又PB ∩BC=B,則AE⊥平面PBC,所以平面AEF⊥平面PBC.

在非特殊幾何體中,對于點的定位顯然是很困難的,導致線面關(guān)系相對復雜,學生往往無法清晰找出線面角與二面角.可以將整個點的系統(tǒng)提取出來,保持其相對位置不變,補形成長方體或正方體,原問題中復雜的線面關(guān)系在新的構(gòu)造好模型下是如此的清晰、簡單.因為正方體和長方體等特殊幾何體是幫助我們認識和理解空間點、線、面位置關(guān)系的有效載體,借助這些特殊模型容易探究出空間線線、線面、面面間的關(guān)系,同時這些模型中的長度關(guān)系、位置關(guān)系能為計算帶來極大的方便,實現(xiàn)將復雜問題求解程序化和規(guī)律化,有效破解高考全國卷立體幾何考題,也有利于培養(yǎng)學生的空間想象能力、直觀想象和數(shù)學建模的數(shù)學素養(yǎng)等.