基于綜合難度系數(shù)模型的2022 年高考數(shù)學(xué)試題比較研究

揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225009) 許雯雯

1 問題提出

高考是每個高中生必經(jīng)的選拔性大考,是學(xué)生中小學(xué)階段影響最大的終結(jié)性評價,其試題的難易程度會直接影響教育測量評價的公平性,因此對于高考試題難度的分析與測評逐漸成為人們關(guān)注的一大焦點.[1]數(shù)學(xué)高考命題能夠更加全面地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識的綜合運(yùn)用能力,通過分析數(shù)學(xué)高考試題的難度,對于學(xué)生的高考復(fù)習(xí)、一線教師的教學(xué)、試卷編制與高考改革等均有重要意義.[2]而對于試題難度的測評,不斷有學(xué)者進(jìn)行嘗試與創(chuàng)新,其中學(xué)者鮑建生構(gòu)建了5 要素綜合難度系數(shù)模型,武小鵬等人將其改良成了基于標(biāo)準(zhǔn)化測試項目的7 要素綜合難度系數(shù)模型,更適用于我國高考特點,因此,本文采用武小鵬等人改良的難度模型,以2022 年的高考試卷為例,對其綜合難度進(jìn)行分析對比,進(jìn)而為高考命題與學(xué)科教學(xué)提供建議.

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象及方法

2022 年高考試卷主要由三類組成:一是高考全國卷;二是新高考試卷;三是不分文理的自主命題.本研究選取2022年全國理科(甲乙卷)、新高考Ⅰ卷和浙江卷共四套試卷作為研究對象,進(jìn)行綜合難度分析,數(shù)據(jù)結(jié)果將通過條形圖和雷達(dá)圖來直觀呈現(xiàn).

2.2 研究工具

(1)綜合難度模型

研究工具主要參照了武小鵬等人設(shè)計的改進(jìn)模型[3].以該模型的七個難度因素為框架,對試題進(jìn)行綜合難度的分析,各難度因素按A～G 逐一編碼,各難度因素下的各個水平依次賦值,具體如表1 所示.

表1 綜合難度模型水平劃分及賦值

根據(jù)表1 綜合難度模型框架,對四套試卷進(jìn)行賦值(如有小題則對不同小題分別賦值),將結(jié)果代入公式

計算各因素的難度系數(shù)di(i=1,2,...,7).其中nij表示第i個維度、第j個水平的題目數(shù)量,dij表示第i個維度、第j個水平的權(quán)重,n表示題目總數(shù).試卷綜合難度系數(shù)等于各因素綜合難度系數(shù)的加權(quán)平均,即公式

其中ki(0.40,1.20,0.83,2.50,0.40,0.83,0.83)為武小鵬等人得出的各因素的權(quán)重系數(shù).

(2)示例分析

例(2022 年新高考Ⅰ卷第7 題)設(shè)a=0.1e0.1,b=c=?ln 0.9,則( )

A.a

難度水平分析該題編碼為:A1 無背景(題目為純數(shù)學(xué)知識),B1 無參數(shù)(無參數(shù)變量),C3 簡單符號運(yùn)算(包含求導(dǎo)等符號運(yùn)算),D2 復(fù)雜推理(推理較為抽象,在3 步以上),E3三個知識點(包含單調(diào)性、零點、導(dǎo)數(shù)等知識),F2 逆向思維(存在逆用知識過程),G3 分析(需要深入分析構(gòu)造函數(shù))

表2 四套試卷試題綜合難度系數(shù)統(tǒng)計

3 研究結(jié)果

根據(jù)表1 的水平劃分和賦值標(biāo)準(zhǔn),對2022 年的四套高考試卷試題進(jìn)行分析,得出相關(guān)數(shù)據(jù).其中,百分比為各因素水平的題目數(shù)量占試卷題目總數(shù)的比重,值得注意的是,部分解答題存在好幾個小問,需分開賦值,因此本研究試卷題目總數(shù)按照小題個數(shù)來計算.(全國甲卷30 題,乙卷31 題,新高考Ⅰ卷29 題,浙江卷28 題),例如全國甲卷無背景A1:26÷30=86.7%,結(jié)合公式(?)計算各因素的綜合難度系數(shù),最終數(shù)據(jù)結(jié)果如表2 所示.為使數(shù)據(jù)更加直觀,現(xiàn)將7 個因素情況,根據(jù)表2 數(shù)據(jù),利用Excel 繪制條形圖,對四套試卷進(jìn)行比較分析.對于整套試卷的綜合難度系數(shù),通過繪制雷達(dá)圖進(jìn)行整體分析.

3.1 背景因素分析

由圖1 可知,在背景因素方面,四套試卷均以無背景試題為主,在生活背景方面,只有浙江卷無生活背景類試題,其余三套試卷均有涉及;科學(xué)背景方面,只有新高考Ⅰ卷所占比重為0,其余三套試卷均有涉及,且比重均在3%左右.不難看出,兩套全國卷試題對于背景的考查更加全面.

圖1

3.2 參數(shù)因素分析

由圖2 可知,在參數(shù)因素方面,只有新高考Ⅰ卷以無參數(shù)試題為主,為55.2%,其余三套試卷均是有參數(shù)占比高,其中,全國乙卷和浙江卷有參數(shù)考查占比較高,分別為58.1% 和57.1%,其次為全國甲卷,為53.3%.由此可見,試題含有參數(shù),會加大試題的抽象程度與難度.

圖2

3.3 運(yùn)算水平分析

由圖3 可知,四套試卷對于運(yùn)算水平的考查均有不同程度的涉及,在簡單數(shù)值運(yùn)算上,全國乙卷比重最大,為32.9%,其次是全國甲卷和浙江卷,分別為20%和17.9%,最低的是新高考Ⅰ卷,為13.8%;在復(fù)雜數(shù)值運(yùn)算方面,浙江卷＞新高考Ⅰ卷＞全國甲卷＞全國乙卷;在簡單符號運(yùn)算方面,全國甲卷和新高考Ⅰ卷比重較高,分別為43.3%和41.4%,浙江卷次之,為35.7%,全國乙卷最低,為29%;在復(fù)雜符號運(yùn)算上,四套試卷相差不大.整體來看,四套試卷都側(cè)重于考查簡單符號運(yùn)算.

圖3

3.4 推理能力分析

由圖4 可知,四套試卷都以復(fù)雜推理為主,具體來看,浙江卷對復(fù)雜推理的考查占比最高,為63.4%,全國甲卷次之,為60%,全國乙卷最低,為58.1%.由此可見,浙江卷對復(fù)雜推理最為側(cè)重,要求更高的邏輯推理能力.

3.5 知識含量分析

由圖5 可知,在知識含量方面,四套試卷對于知識含量因素的三個水平都有考查.在單個知識點方面,全國乙卷最高,為54.8%,其次是全國甲卷50%,新高考Ⅰ卷48.3%,最低是浙江卷,35.7%;在兩個知識點方面,浙江卷最高,為46.4%,剩下三套試卷相差不大;大于等于三個知識點方面,浙江卷最低,為17.9%,剩下三套相差不大.總體來看,全國卷和新高考卷更側(cè)重單個知識點的考查,浙江卷則更偏向于兩個及以上知識點的考查,考查程度更加綜合.

圖4

圖5

3.6 思維方向分析

圖6

由圖6 可知,四套試卷對于思維方向的考查均以順向思維為主,其中全國甲卷的考查比重最大,為93.3%,其次是全國乙卷90.3%,四套試卷對于順向思維的考查占比均在五分之四以上,體現(xiàn)了順向思維更符合學(xué)生的思維方式.在逆向思維上,新高考Ⅰ卷和浙江卷的考查相對較高,都在14%左右,全國甲卷最低,僅有6.7%,增加適量的逆向思維的試題,不僅能夠考查學(xué)生的發(fā)散思維,還可以增加試題的區(qū)分度,滿足高考的選拔性.

3.7 認(rèn)知水平分析

由圖7 可知,在認(rèn)知水平方面,四套試卷均側(cè)重于運(yùn)用水平的考查.在理解水平方面,全國甲卷考查較多,為16.7%,全國乙卷最低,為9.7%;在運(yùn)用水平方面,四套試卷的考查比重均不少于50%,其中比重最高的是全國乙卷,為58.1%,其次是浙江卷,新高考Ⅰ卷和全國甲卷緊隨其后;在分析水平方面,新高考Ⅰ卷＞全國甲卷＞全國乙卷＞浙江卷,分析水平對學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力要求較高,這類試題往往難度較大,具有一定的區(qū)分度和選拔性.

圖7

3.8 綜合難度分析

為了更直觀地體現(xiàn)各難度因素水平,繪制出雷達(dá)圖8.同時,綜合難度系數(shù)可結(jié)合表2 數(shù)據(jù),利用各難度因素權(quán)重值以及公式(??)得出,統(tǒng)計結(jié)果如表3.

圖8

由圖8 可知,四套試卷在七個方面差異不大,即這四套高考試題具有一定的一致性,即便考試地區(qū)不同,但高考試卷是具有穩(wěn)定性的.此外,四套試卷在運(yùn)算水平和認(rèn)知水平這兩個難度因素上的綜合難度系數(shù)均高于2.0,這說明試卷在運(yùn)算能力和分析問題上,考查難度較大,較為綜合的題型也需要良好的運(yùn)算能力支撐.

表3 綜合難度系數(shù)表

由表3 可知,四套試卷的綜合難度系數(shù)從高到低依次為:浙江卷、新高考Ⅰ卷、全國甲卷、全國乙卷.浙江卷是自主命題試卷,難度相對大一些,緊隨其后的是新高考Ⅰ卷,最后是兩套全國卷,難度非常接近.鑒于影響測試難度的因素不止上述7 個,且各難度因素之間的影響性尚未明確,即模型仍有待改進(jìn),因此該數(shù)據(jù)僅在此難度模型下可提供參考.

4 研究結(jié)論

4.1 四套試卷均對運(yùn)算能力和認(rèn)知水平要求較高

對于運(yùn)算水平和認(rèn)知水平的考查,二者難度系數(shù)均在2.0 以上.這說明高考試題對學(xué)生的運(yùn)算能力和認(rèn)知水平提出了較高的要求,數(shù)學(xué)作為一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,離不開演繹推理,因而需要由良好的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),且運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,是解題的基礎(chǔ),因而高考命題對學(xué)生的運(yùn)算能力提出較高要求是必然的.此外,高考作為選拔性考試,必然要融合多個知識點考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力,以此達(dá)到較好的區(qū)分度,因而學(xué)生要想在高考中取得好成績,運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是必須過關(guān)的.

4.2 全國統(tǒng)一命題試卷更重視問題情境的設(shè)置

由研究結(jié)果不難看出,盡管四套試卷均以無背景試題為主,但前三套全國統(tǒng)一命題的試卷相對自主命題的浙江卷而言,更關(guān)注背景因素的考查,更關(guān)注問題情境的設(shè)置,無論是生活背景還是科學(xué)背景,全國統(tǒng)一命題的占比都更大,這說明全國統(tǒng)一命題試卷更好的做到了新課標(biāo)中的“情境”二字,更關(guān)注數(shù)學(xué)與社會生活的聯(lián)系,如2022 年新高考Ⅰ卷第11題以“三斜求積”的數(shù)學(xué)史為背景,體現(xiàn)了文化育人;2022 年全國乙卷第19 題以植樹造林考查相關(guān)系數(shù),符合“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)理念.

4.3 浙江卷對學(xué)生的知識儲備要求更高

由研究結(jié)果知,浙江卷的綜合難度系數(shù)是四套試卷里最高的,而統(tǒng)一命題的三套全國卷中,甲乙卷難度比較接近,新高考卷難度較高.通過試題可知,統(tǒng)一命題的試卷更側(cè)重數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題的考查,因為面向省份不止一個,各省份教育水平和經(jīng)濟(jì)水平存在差異,因此試卷難度上要保持平衡,命題更注重對基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查,難度梯度相對穩(wěn)定.

5 研究啟示

通過對高考試卷進(jìn)行綜合難度分析,可以為命題和教學(xué)提供參考.在命題方面,首先,優(yōu)化試題結(jié)構(gòu),提高區(qū)分度,編制一套高質(zhì)量的高考數(shù)學(xué)試題,既要保證難度設(shè)計科學(xué)合理又要能檢測出學(xué)生的真實水平,同時還要充分發(fā)揮高考數(shù)學(xué)試題的選拔功能和積極導(dǎo)向作用,因此命題過程中要參考課程改革的目標(biāo)要求,合理安排試題難度與順序[4].其次,增強(qiáng)逆向思維的考查,上文可知四套試卷的順向思維考查比重均占到了80%以上,考查逆向思維的試題較少,適當(dāng)增加逆向思維試題,可以有效促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展;最后,豐富試題背景,體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會生活的緊密聯(lián)系,同時也考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.在教學(xué)方面,應(yīng)注重對學(xué)生基礎(chǔ)知識與基本技能的訓(xùn)練,落實“四基”“四能”,同時在平時訓(xùn)練中就要加強(qiáng)舉一反三,培養(yǎng)發(fā)散思維與創(chuàng)新意識.