一類抽象函數(shù)選擇題的解答及相關(guān)試題的命制

山東省壽光市教育科學(xué)研究中心;山東省壽光市第二中學(xué)(262700) 張明同

初等數(shù)學(xué)中有如下一類關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的單項(xiàng)選擇題:

引例已知定義在R 上的函數(shù)f(x) 滿足f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)是( )

A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

1 一個(gè)引理

實(shí)事上,因?yàn)檫@類問題是單項(xiàng)選擇題,所以可以根據(jù)題目的特點(diǎn)采用一種更簡捷的解法,為此,先給出一個(gè)引理:

引理設(shè)集合A={f(x)|f(x) 具有性質(zhì)p},若存在f1(x)∈A,則f1(x)具有性質(zhì)p,且f1(x)具有A中元素與性質(zhì)p相關(guān)的公共性質(zhì).

2 解題應(yīng)用舉例

例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽?,?x,y ∈R?都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(8)=3,則=( )

分析由題意,對任意正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),所以f1(x)可考慮對數(shù)函數(shù)類型,又f(8)=3,故可構(gòu)造函數(shù)f1(x)=log2x,因?yàn)樗愿鶕?jù)引理可知,答案選A.

例2已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(?1)=?2,且當(dāng)x >0時(shí)f(x)>0,則f(x)在[?2,2]上的最大值為( )

A.4 B.2 C.?3 D.?4

分析對任意實(shí)數(shù)x,y,滿足f(x+y)=f(x)+f(y),所以f1(x)可考慮正比例函數(shù)類型,f(?1)=?2,當(dāng)x >0 時(shí),f(x)>0,所以可構(gòu)造f1(x)=2x,因?yàn)閒1(2)=4,所以根據(jù)引理可知,答案選A.

解題心得這種借助引理解題的方法明顯比傳統(tǒng)賦值后推理的方法更迅速、簡捷,省時(shí)又省力.根據(jù)集合A的性質(zhì)找到函數(shù)f1(x)后,盡管套用f1(x)解題即可(當(dāng)然了,解答題不能這么做,但是解答題可以用此方法進(jìn)行探路).

例3(2022 年新高考Ⅱ卷第8 題)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x ?y)=f(x)f(y),f(1)=1,則=( )

A.?3 B.?2 C.0 D.1

分析f(x+y)+f(x ?y)=f(x)f(y),聯(lián)系余弦函數(shù)的和差化積公式,所以f1(x)可考慮余弦型函數(shù)類型,又f(1)=1,所以可構(gòu)造f1(x)=,f1(x) 周期為6,f(1)=1,f(2)=?1,f(3)=?2,f(4)=?1,f(5)=1,f(6)=2,=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=?3,根據(jù)引理可知,答案選A.

解題心得此題進(jìn)行嚴(yán)格推理也可得到周期為6,但推理過程必定相當(dāng)繁瑣,需要耗費(fèi)相當(dāng)多的時(shí)間和精力,既使得出正確結(jié)論也得不償失,而借助引理解題的方法優(yōu)勢相當(dāng)明顯,迅速、簡捷,省時(shí)省力.

另外,此解題方法除了可以正確解答選擇題外,還可以用于命制關(guān)于抽象函數(shù)性質(zhì)的試題.

3 命制試題舉例

已知f1(x)=2x,我們知道此函數(shù)是過點(diǎn)(0,1)的增函數(shù),且當(dāng)x >0 時(shí),f1(x)>1.所以根據(jù)以上信息,結(jié)合引理可以命制如下試題:

例4定義在R 上的函數(shù)y=f(x),f(0)0,當(dāng)x >0時(shí),f(x)>1,且對任意a,b ∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求證:f(0)=1;

(2)求證:對任意x ∈R,恒有f(x)>0;

(3)求證:f(x)是R 上的增函數(shù).

解(1)令a=b=0,則f(0)=f2(0).又f(0)0,所以f(0)=1.

(2)當(dāng)x<0 時(shí),?x>0,所以f(0)=f(x)·f(?x)=1.所以f(x)=>0.又x≥0時(shí)f(x) ≥1>0.所以x ∈R 時(shí),恒有f(x)>0.

(3)設(shè)x10,

因?yàn)閤2?x1>0,所以由題意知f(x2?x1)>1,所 以(f(x2?x1)?1)>0;由(2) 知,f(x1)>0,所以(f(x2?x1)?1)f(x1)>0,即f(x2)?f(x1)>0,f(x2)>f(x1).所以,f(x)是R 上的增函數(shù).

事實(shí)上,任何一個(gè)函數(shù)都可以作為引理中的函數(shù)f1(x)用于命制抽象函數(shù)試題,再如:

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(?2a,2a)的單調(diào)性.

(2)因?yàn)閒(a)=1,所以

綜上,函數(shù)f(x)在區(qū)間(?2a,2a)上為增函數(shù).

4 命制試題心得

借助引理可命制任意抽象函數(shù)性質(zhì)的問題,正是因?yàn)閒1(x)具有A中元素與性質(zhì)p相關(guān)的公共性質(zhì),所以在命制試題時(shí),可根據(jù)函數(shù)f1(x)的情形設(shè)計(jì)具體條件、構(gòu)造出更多的試題,進(jìn)一步提高試題對學(xué)生理性思維和邏輯推理的考查力度.