一類圓錐曲線中定值、定點、定直線問題的探究與拓展*

杭州學軍中學海創(chuàng)園校區(qū)(311121) 陶勇勝 徐小芳

解析幾何常以壓軸題形式出現(xiàn),對學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)有較高的要求,是學生解題過程中的一個“痛點”.本文從2022 年全國數(shù)學理科甲卷第20題說起,對一類圓錐曲線中的定值、定點、定直線問題進行多角度探究,以期優(yōu)化解決此類問題的思維策略.

真題(2022 年高考甲卷第20 題) 設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當α ?β取得最大值時,求直線AB的方程.

本題的第(2)與圓錐曲線中的某種定值定點密切相關,值得我們進行多角度探究,藉此優(yōu)化解決此類問題的思維策略.

1.圓錐曲線的幾個定點定值性質

經(jīng)過對真題的深入探究,我們獲得如下性質:

性質1(拋物線的定點定值問題) 設拋物線C:y2=2px(p>0,F(t1,0),D(t2,0)(t2>t1>0)是x軸上的任意點,過F的直線交C于M,N兩點.設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.則有:

圖1

(1)定點性質:直線AB過定點E(t,0),其中=t·t1(橫坐標滿足等比性質);

(2)定值性質:如果直線MN和AB斜率都存在,則直線MN和AB斜率之比是定值,且只與點F(t1,0),D(t2,0),E(t,0) 的橫坐標有關,即

(3)定直線性質:直線MN和AB的交點T在定直線x=?t2上;

性質 2如圖 2,設橢圓C:=1(a>b>0),F(t1,0),D(t2,0)(0<|t1|

圖2

證明(1)設直線AB與x軸的交點E(t,0),設直線MN的方程為x=m1y+t1,直線AB的方程為x=m2y+t,直線AN的方程為x=m3y+t2,直線BM的方程為x=m4y+t2,則曲線系方程(m1y ?x+t1)(m2y ?x+t) +λ(m3y ?x+t2)(m4y ?x+t2)=0 表示過點M,N,A,B的曲線,整理得到

2.性質的應用

聯(lián)立直線MF和直線AE的方程,得到x=?2,即交點T在定直線x=?2 上,故將問題轉化為已知兩個定點F(1,0),E(4,0),交點T在定直線x=?2 上,直線FT與ET的夾角θ何時最大? 因此,本題實質是以米勒張角定理為幾何背景,求張角θ的最大值問題.

圖3

例2(2021 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽重慶市預賽第11題) 如圖,在平面直角坐標系,已知F1,F2分別為橢圓=1(a>b>0) 的左、右焦點.設點D(1,0)為線段OF2的中點,直線MN(不與x軸重合)過點F1且與橢圓C交于M,N兩點,延長MD,ND與橢圓C交于P,Q兩點,設直線MN,PQ的斜率存在且分別為k1,k2.

圖4

5 結束語

總之,圓錐曲線中的定值、定點、定直線是考查解析幾何的一個重要抓手,處理此類問題應重視直觀,數(shù)形結合,突出本質,關注過程,通過歸納通性通法可以讓學生深刻領悟問題的本質,掌握解決問題的一般方法和規(guī)律,體會其中蘊含的數(shù)學思想.