對一道有關線段比值為定值的競賽試題的探究

北京市第十二中學高中部(100071) 劉剛

1 試題呈現

(1)求橢圓C的方程;

(2) 設過點D(1,0) 的動直線l交橢圓C于E、F兩點(點E在x軸上方),M、N分別為直線A1E、A2F與y軸的交點,求的值.

圖1

試題考查了橢圓的標準方程、幾何性質、直線與橢圓的位置關系以及定值問題,考查了直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),檢驗了學生分析問題與解決問題的能力.試題構思巧妙、內涵豐富,是一道具有研究性學習價值的好題.

2 解法探究

點評解法3 借助橢圓的參數方程并運用三角公式求解,體現了思維的發(fā)散性.

點評解法4 運用二次曲線系方程求解,具體為:設直線AB,CD的方程分別為lAB(x,y)=0,lCD(x,y)=0,直線AC,BD的方程分別為lAC(x,y)=0,lBD(x,y)=0,則過A,B,C,D四點的二次曲線系方程可以寫成lAB(x,y)lCD(x,y)+λlAC(x,y)lBD(x,y)=0(λ為參數),然后化成一般式方程再與已知曲線方程進行系數比較求解,體現了創(chuàng)新性.

圖2

點評由于橢圓與圓經過坐標伸縮變換可以相互得到,因此橢圓中的性質往往在圓中也成立,因此解法5 將橢圓問題轉化為圓問題處理,體現了過程的簡潔性,揭示了問題的本質.

3 推廣探究

對試題一般化,有:

性質1已知橢圓C:=1(a >b >0) 的左、右頂點分別為A1、A2,定點D在x軸上(不與A1、A2重合),過D的動直線l交橢圓C于E、F兩點(點E在x軸上方),M、N分別為直線A1E、A2F與y軸的交點,則

如果與x軸垂直的定直線和直線A1E、A2F相交,會有怎樣的結論呢? 經過探究,得到:

性質2如圖3,已知橢圓C:=1(a >b >0)的左、右頂點分別為A1、A2,定點D在x軸上(不與A1、A2重合),定直線L與x軸垂直,垂足為P,過D的動直線l交橢圓C于E、F兩點,M、N分別為直線A1E、A2F與L的交點,則

圖3

由于x軸、y軸是橢圓中一對特殊共軛直徑所在的直線,如果變?yōu)橐话愕那樾?那么結論如何呢? 經過探究,也有類似的性質.下面先給出橢圓共軛直徑的概念和常見性質.

定義連結橢圓上任意兩點的線段叫做弦.過橢圓中心的弦叫做直徑.平行于直徑CD的弦的中點的軌跡AB和直徑CD互為共軛直徑.當一對共軛直徑互相垂直時,即為橢圓的長軸與短軸.

橢圓的共軛直徑有如下常見性質:

在橢圓的一對共軛直徑背景下,有下面的結論.

性質3如圖4,已知橢圓C:=1(a>b>0) 的一對共軛直徑分別是A1A2、B1B2,定點D在直線A1A2上(不與A1、A2重合),定直線L與直線B1B2平行,交A1A2于P點,過D的動直線l交橢圓C于E、F兩點,M、N分別為直線A1E、A2F與L的交點,則

圖4

以上先從不同角度給出了這道競賽試題的解法,然后進一步探究,揭示了問題本質.在解題教學中,教師要幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣,善于思考、積極探究,追求刨根問底,這樣的數學學習才更加深入,才會充分培養(yǎng)思維的靈活性.