幾何法巧解與圓相關(guān)的綜合試題

福建省漳州龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

直觀想象素養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,主要表現(xiàn)為建立數(shù)與形的聯(lián)系,借助幾何直觀理解問題.[1]通過直觀想象素養(yǎng)的培育,可以提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力,幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀,提高學(xué)生思考問題的能力.

圓是重要的幾何圖形,以直線與圓為載體,或向量與圓為載體的試題兼顧代數(shù)與幾何之妙,能夠較好地考查學(xué)生代數(shù)變形能力以及借助圖形分析問題的能力,經(jīng)常出現(xiàn)在各級(jí)各類考試當(dāng)中.代數(shù)法側(cè)重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理,幾何法側(cè)重對(duì)圖形的整體把握,直觀感知.因此從幾何法的角度入手解決與圓有關(guān)的綜合試題,能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

簡(jiǎn)析在本題中,代數(shù)法必須對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)變形,轉(zhuǎn)化,這就要求必須認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特征,具備良好的運(yùn)算能力.幾何法要求在圖形的基礎(chǔ)上,充分挖掘圖形中的幾何元素之間的關(guān)系.

通過代數(shù)法與幾何法的比較,學(xué)生能夠深刻地體會(huì)到幾何圖形的重要性,培養(yǎng)了直觀想象能力,提高了數(shù)學(xué)思維.學(xué)生在內(nèi)心深處牢牢樹立在解決直線與圓的試題中,要充分借助圖形,運(yùn)用直觀想象的意識(shí).

圖1

圖2

簡(jiǎn)析在本題中,代數(shù)法必須借助三角形外心的性質(zhì),余弦定理,正弦定理綜合解決問題.而幾何法建立在圖形的基礎(chǔ)上,觀察到OA⊥OB,將代求式子不斷地轉(zhuǎn)換,借助向量尋找回路,最終利用數(shù)量積的幾何意義解決問題.顯然幾何法更勝一籌,這樣的一個(gè)過程對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的直觀感知能力是十分有益的.

例3(2022 年百校聯(lián)盟高三第8 題) 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,|AB|=2,點(diǎn)C滿足AC⊥BC,則點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離的最大值為

解法2(幾何法)如圖3 所示,由已知可得點(diǎn)C在以T為圓心,1 為半徑的圓上.點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離的最大值為|TP|+1.由于|TP|≤|OP|+1,所以|TP|的最大值為3,所以點(diǎn)C到點(diǎn)P的距離的最大值為4.

圖3

圖4

簡(jiǎn)析在本題中,代數(shù)法運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|TP|,再利用柯西不等式求最值.幾何法則在圖形的基礎(chǔ)上觀察到|TP|≤|OP|+1,轉(zhuǎn)化成求|OP|,大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.通過引導(dǎo)學(xué)生綜合比較代數(shù)法與幾何法,學(xué)生能夠內(nèi)化成自己的能力,養(yǎng)成運(yùn)用幾何法解決問題的良好思維,培養(yǎng)直觀感知能力,滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例4過直線x+y=4 上一動(dòng)點(diǎn)M,向圓x2+y2=4 引兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.則圓C:(x+3)2+(y ?3)2=1 上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為?

解析如圖4 所示,設(shè)M(x0,y0),則x0+y0=4.根據(jù)極點(diǎn)與極線的性質(zhì)可得直線AB方程為xx0+yy0=4.所以直線AB過定點(diǎn)T(1,1).CT=當(dāng)直線AB運(yùn)動(dòng)到滿足CT⊥AB時(shí),圓C:(x+3)2+(y ?3)2=1 上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離最大,為

簡(jiǎn)析本題涉及兩個(gè)變化的幾何元素,一個(gè)是動(dòng)點(diǎn)P,一個(gè)是動(dòng)直線AB,用代數(shù)法求解點(diǎn)P到直線AB距離的最大值顯然過于復(fù)雜.此時(shí)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維,從幾何的角度入手,結(jié)合圖形分析問題,直觀感知,操作論證,大膽嘗試,得出結(jié)論.

例5直線l:x ?2y+2=0,動(dòng)直線l1:ax ?y=0,動(dòng)直線l2:x+ay+2a ?4=0.設(shè)直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),動(dòng)直線l1與l2交于點(diǎn)P,求?PAB的面積最大值.

簡(jiǎn)析讓學(xué)生結(jié)合圖形分析問題,發(fā)現(xiàn)本題屬于隱形圓問題,這是一個(gè)重要的考點(diǎn).學(xué)生通過作圖,觀察發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O,點(diǎn)T為定點(diǎn),點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn),且PO⊥PT,從而確定點(diǎn)P在以O(shè)T為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值問題.學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到直觀想象的重要性.

圖5

圖6

簡(jiǎn)析由題意可得點(diǎn)P在以MN為直徑的圓E上運(yùn)動(dòng).結(jié)合圖形分析問題,發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C,D,P1,E共線時(shí),P1D最小,從而最小.從本題可以深刻體會(huì)到,圖形在解題中起到了輔助思維的作用,可謂多思少算,大道至簡(jiǎn).

直觀想象素養(yǎng)包括四點(diǎn):第一點(diǎn)是建立數(shù)形聯(lián)系,第二點(diǎn)是圖形描述,第三點(diǎn)是幾何直觀本節(jié)課理解,第四點(diǎn)是運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.[2]上述幾道直線與圓試題,教師引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度出發(fā),直接感知,整體把握,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).試題層層深入,不斷將學(xué)生的思維引向深入,促進(jìn)深度學(xué)習(xí),提高學(xué)生直觀想象能力.在課堂教學(xué)中,教師應(yīng)精心設(shè)計(jì),以典型的試題為例,引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)與形的結(jié)合,感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解,真正提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),孕育核心素養(yǎng).