數(shù)控系統(tǒng)連續(xù)微線段加工方法研究

潘盛湖，胡涵，劉云強，張小軍，馮一夫

（西南石油大學機電工程學院，成都 610500）

曲線高速、高精度加工是目前數(shù)控機床所面臨的重大課題。發(fā)達國家如美國、日本等，由于研究起步較早，在曲線高速、高精度加工領域形成了壟斷。近些年，國內(nèi)在該領域加大了研究力度，取得了一些重要的研究成果。例如，焦青松等[1]提出基于離散曲率計算的連續(xù)小線段高速插補加工方法，并對前瞻技術進行了論述。許晨偉等[2]基于圓錐截線的有理Bézier 拐角過渡方法，實現(xiàn)不同類型圓錐截線與相鄰小微線段的軌跡和速度的平滑過渡。高體紅等[3]以圓弧過渡算法為基礎，搭建了半硬件仿真測試系統(tǒng)驗證了其有效性。沈斌等[4]將離散的微段數(shù)據(jù)點擬合成一條NURBS曲線并將其作為新的加工路徑，然后利用NURBS曲線實時插補。李建剛等[5]將NURBS曲線進行區(qū)域分割，實現(xiàn)了小線段軌跡相對光順。冷洪濱等[6]對采用三次樣條曲線擬合方法對離散數(shù)據(jù)進行重構，從而進行樣條插補以提高加工速度。司慧曉等[7]提出了基于圓弧的改進S型加減速算法，較常用S型加減速算法在整體上提高了一次冪從而提高了加工精度。李浩等[8]采用S型加減速方式實時地計算進給速度，實現(xiàn)了實時最優(yōu)速度規(guī)劃。游達章等[9]提出了單段的前瞻后顧算法，避免了單次連續(xù)速度規(guī)劃對加工效率和平穩(wěn)性的影響。

上述方法主要分為兩種類型：一是不改變原軌跡，僅僅通過計算并限制拐角速度來進行直接過渡加工。該方法計算量小，但拐角點處所允許的加工速度較低，對整體加工效率提升有限；二是犧牲輪廓精度，在拐點處添加過渡曲線，增加曲線平滑度，提高拐角速度。該方法能有效提升加工效率，但會使輪廓精度降低，且加工數(shù)據(jù)計算量大大增加。

綜上所述，本文提出了一種簡單的、易于實現(xiàn)的基于曲線分段的連續(xù)微線段加工方法。該方法在滿足曲線加工平穩(wěn)的前提下，通過對曲線進行分段規(guī)劃，實現(xiàn)曲線單元內(nèi)速度均勻，曲線單元間加減速連續(xù)，既提高了曲線加工速度，又克服了頻繁加減速對輪廓精度造成影響。

1 曲線分段加工思想

曲線加工是將理論上坐標點無窮的連續(xù)曲線通過一定的數(shù)學處理轉化成數(shù)量有限、長度很短的微線段，在微小曲線加工方法上基本上采用微小直線插補逼近理論曲線[10]。與傳統(tǒng)每一微小線段均需要按照“加速-勻速-減速”方式進行加工不同，本文采用的加工思想為：基于曲線分段插補原理，將曲線按照一定數(shù)學規(guī)律進行分段，即將一段或多段微線段組成一加工單元，如圖1中曲線Pi-2Pi-1、Pi-1Pi等。每一加工單元內(nèi)通過限制小線段轉接處的最大允許速度進行直接過渡，單元間通過插入過渡圓弧來增加曲線分段點處的加工平滑度，兼顧高效與平穩(wěn)，并保證了實時性。

圖1 曲線分段加工

2 分段加工方法模型

2.1 曲線分段識別算法

設Pi-1(xi-1,yi-1）,Pi(xi,yi）,Pi+1(xi+1,yi+1）為 曲線上微線段的連續(xù)3點并將其作為一個處理單元，可以近似地將曲線Pi-1PiPi+1看作圓弧段；其次利用用如圖2所示的“離散三點法”求解圓弧半徑并作為曲線Pi-1PiPi+1的曲率半徑，即點Pi處的曲率半徑；再次，采用微線段恒角速度加工原則，找出曲線加工允許的最大角速度為 ω，計算Pi點理論最大線速度Vi，并計算相鄰兩點線速度差 Δvi，最后以數(shù)控機床伺服系統(tǒng)允許速度跳動量為依據(jù)對曲線進行分段。

圖2 離散三點法

分別求出點Pi-1Pi、PiPi+1、Pi-1Pi+1之間的線段長度Li-1、Li及 L′i，即：

通過余弦定理及正弦定理可求得點Pi處的曲率半徑[11]，基于微線段恒角速度加工原則，設曲線加工允許最大角速度為 ω，則點Pi處轉角限制速度vm,i為

計算出相鄰兩個轉角速度變化矢量的模為

設機床允許的最大加速度為amax，插補周期為T，則允許的速度跳動量 Δvmax=amax×T。根據(jù)以下條件標識分段轉角點：

1）當 Δ vi＜ Δvmax時，則轉角點Pi為連續(xù)轉角點，否則，點Pi為分段轉角點；

2）當加工圖形中有多條曲線時，每條曲線終點直接設置為分段轉角點；

3）根據(jù)控制系統(tǒng)內(nèi)存空間等情況，限制每次處理的微線段數(shù)N，每次處理中第N 段微線段轉角點為分段轉角點。

通以上步驟，得出分段算法流程如圖3所示。

2.2 段間平滑過渡模型

如圖4所示，Pi-1Pi、PiPi+1分別是相鄰兩曲線段的最末及最初小線段，Pi為分段拐角點。在兩線段中插入過渡圓弧Q0Q1Q2，其中Q1為圓弧的中點，Q0和Q2分別是圓弧Q0Q1Q2與Pi-1Pi及PiPi+1的切點，同時也是過渡圓弧的接入點和轉出點，為了便于分析，以Q0為坐標原點建立直角坐標系[12]。

圖4 段間平滑過渡模型

根據(jù)幾何關系，可求得圓弧過渡所需過渡距離l 與過渡圓弧半徑r 為：

在加工路徑中插入過渡圓弧后，實際的加工路徑會產(chǎn)生一定的輪廓誤差，為滿足精度要求，需通過最大輪廓誤差來Em來限制過渡距離和過度圓弧半徑，將Em代入式（5）可得由最大輪廓誤差限制的過渡距離lc與和過渡圓弧半徑rc為

從而計算出過渡圓弧段的最大進給速度vm,i為

2.3 分段加工速度規(guī)劃算法

得到了連續(xù)微小線段間及圓弧分段拐角點的速度限制公式后，在對加工曲線進行分段處理成各曲線段單元后，利用式（2）求出單元內(nèi)各轉角點限制速度，并利用式（6）求出單元間過渡圓弧段最大進給速度，從而所有微小線段間的轉角限制速度vm,i均求得。

基于對稱加減速原則，設第i 段小線段的長度為Si，加工加減速度為ai。將從起點到終點視為一個連續(xù)的加速過程，終點到起點視為一個連續(xù)的反加速過程，分別計算每個轉角點通過加減速能達到的速度[13-15]。

在正向加速規(guī)劃階段，取第i 段小線段入口速度vs0,i，經(jīng)過距離Si的正向加速后，求得出口速度前一段的出口速度與后一段的入口速度相等，即vs0,i=vst,i-1。默認首段入口速度vs0,0=0，迭代計算出每一小線段的入口速度vs0,i和出口速度vst,i。

同理，在反向加速規(guī)劃階段，取第i 段小線段出口速度vdt,i，經(jīng)過距離Si的反向加速后，求得入口速度后一段的入口速度與前一段的出口速度相等，即vdt,i-1=vd0,i。默認末段出口速度vdt,N=0，迭代計算出每一小線段的入口速度vd0,i和出口速度vdt,i。

以第i-1段和第i 段小線段銜接為例進行實際加工速度規(guī)劃。如圖5所示，若該銜接段為曲線分段單元內(nèi)銜接，則點A處速度vm,i為轉角限制速度，否則為過渡圓弧段的最大進給速度。點B 處速度為通過正向加速規(guī)劃所得第i 段的最大入口速度vs0,i，點C 處速度為通過反向加速規(guī)劃所得第i 段的最大入口速度vd0,i。為了保證加工的平穩(wěn)性，實際的加工速度同時受到vm,i、vs0,i、vd0,i三者制約，最終的實際加工速度 vi=min{vm,ivs0,ivd0,i}，因此實際加工速度曲線圖像會下移至虛線位置。

圖5 速度規(guī)劃原則

3 加工方法驗證

本加工方法主要用于曲線加工機床，并在平面非金屬切割機床上進行了曲線加工實驗。機床最大加速度a=500000 pps/s2，最大進給速度f=80000 pps/s，坐標軸分辨率0.001 mm/pps，采用線性加減速方式，加工曲線為1094段微線段組成的封閉曲線，曲線如圖6所示。

圖6 加工數(shù)據(jù)曲線

利用本文算法完成對加工曲線的分段規(guī)劃，將進行速度規(guī)劃后的數(shù)據(jù)送入加工任務實現(xiàn)曲線連續(xù)加工。設置前瞻加工數(shù)據(jù)緩沖區(qū)RQ[N][K]，緩沖區(qū)長度變量LEN，循環(huán)變量SPRM，當前緩沖區(qū)可用數(shù)據(jù)段標志avail，數(shù)據(jù)結束標志END，設置曲線插補緩存RP[M]，實現(xiàn)曲線連續(xù)加工流程如圖7所示。

圖7 曲線連續(xù)加工流程

加工實驗平臺如圖8所示，上位機軟件將加工曲線圖案轉化為加工數(shù)據(jù)傳輸給運動控制板后，由控制芯片內(nèi)預先編寫好的各加工方法程序進行路徑及速度規(guī)劃，最終驅(qū)動電機進行實際加工。

圖8 加工實驗平臺

將本文加工方法、傳統(tǒng)普通加工方法以及自適應前瞻加工方法分別進行加工實驗，實時采集運動控制板輸出到電機的脈沖信號頻率作為加工速度數(shù)據(jù)，通過串口將數(shù)據(jù)傳輸至上位機，繪制時間與速度關系曲線圖，得到如下實驗結果并進行分析。

普通加工方式速度曲線如圖9所示。每段微小線段都按照“加速-勻速-減速”方式運動，加減速頻繁，速度不連續(xù)，嚴重影響加工質(zhì)量。

圖9 普通直線插補加工速度曲線

自適應加工方式速度曲線如圖10所示。根據(jù)線段長度的約束求得當前線段最大前瞻速度，以最大前瞻速度計算其減速到0所需的距離并以此距離在后續(xù)線段中取出前瞻段數(shù)，得到速度前瞻規(guī)劃區(qū)間，實現(xiàn)根據(jù)線段長度和加工軌跡的變化趨勢來自適應地選取每次前瞻速度規(guī)劃的段數(shù)，提高計算效率。該方法產(chǎn)生的速度曲線較為連續(xù)、光滑，但是曲線在加工過程中加減速仍然較多。

圖10 自適應加工速度曲線

分段加工方式速度曲線如圖11所示。每個曲線單元為一個加工主體，每一加工單元只執(zhí)行一次“變速”過程，加減速次數(shù)比自適應加工方式少，且單元與單元之間采用速度優(yōu)化銜接，曲線速度連續(xù)。

圖11 分段加工速度曲線

在相同加工條件下，3種加工方法加工性能對比如表1所示，分析如下：

表1 加工性能對比結果

1）在加工時間上，分段加工方法用時最短，效率最高；

2）在加減速次數(shù)上，分段加工方法最少，普通加工是其它加工方法數(shù)倍；

3）在運動平穩(wěn)性上，分段加工方法由于加減速過程最少，運動比其它加工方法平穩(wěn)。

4 結束語

本文在對當前通過限制轉角速度加工以及進行圓弧過渡加工兩種方法研究的基礎上，結合兩種方法的優(yōu)點，提出了一種簡單、易于實現(xiàn)的曲線微小線段分段加工方法。在曲線單元內(nèi)限制其轉角速度，單元間進行圓弧過渡，實現(xiàn)了每個單元內(nèi)速度變化均勻，單元間過渡平滑，提高了曲線加工過程運動的平穩(wěn)性。經(jīng)過實際加工分析，該加工方法達到了設計目的，符合微小線段高速連續(xù)加工的要求，具有一定的實際應用價值。