兩級載荷作用下城軌列車傳動齒輪彎曲疲勞壽命預(yù)測

高翔，楊建偉,,，李欣,，王金海,，呂中和,

（1.北京建筑大學(xué)機電與車輛工程學(xué)院，北京 100044；2.城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點試驗室，北京 100044）

在零部件服役期間，約90%的機械故障是由疲勞破壞產(chǎn)生的[1]。齒輪失效會導(dǎo)致嚴重事故的發(fā)生，造成重大的經(jīng)濟損失甚至人員傷亡[2]。城軌列車在城市中運營，由于城市中兩站間距離短，站點密集，列車面臨頻繁啟動的問題。而城軌列車傳動部件中的疲勞破壞主要由列車啟動所引起的齒輪彎曲疲勞[3]，因此齒輪彎曲疲勞壽命研究與預(yù)測十分必要。

Winkle等[4]通過單齒彎曲疲勞試驗測試齒輪的S-N 曲線和預(yù)測彎曲疲勞壽命。王志遠等[5]對重載齒輪的彎曲疲勞問題，采用應(yīng)力疲勞理論及試驗方法開展研究，為齒輪疲勞試驗提供了具體的測試方法。劉東一等[6]通過Newmark 時間積分方法對齒輪進行瞬態(tài)響應(yīng)動力學(xué)分析，以估算齒輪的疲勞壽命。隨著對疲勞壽命的不斷研究和對預(yù)測模型的不斷深入，一些學(xué)者提出了很多新方法共同研究裂紋萌生和擴展壽命，裴未遲等[7]通過有限元仿真研究不同裂紋形狀對裂紋尖端應(yīng)力強度因子的影響。高云飛等[8]基于雨流計數(shù)原則，根據(jù)齒輪嚙合過程中的齒根應(yīng)力變化規(guī)律利用MATLAB編制齒輪載荷譜，結(jié)合Miner 疲勞累計損傷準(zhǔn)則預(yù)測齒輪的剩余壽命，有效提高了齒輪剩余壽命的預(yù)測效率。路衛(wèi)兵等[9]針對大模數(shù)齒條開展了一些列研究，通過建立仿真模型，結(jié)合齒條淬火加工后齒面的梯度應(yīng)力分布預(yù)測了三峽升船機齒條的壽命。高東海[10]以某型汽車變速箱齒輪為研究對象，研究結(jié)果表明，裝配問題會導(dǎo)致齒輪端面異常磨損，造成輪轂開裂導(dǎo)致齒輪嚙合剛度下降，大幅縮短齒輪疲勞壽命。

本文研究對象為某型進口城軌列車一級減速機中的直齒小齒輪。通過分析城軌列車一天內(nèi)的運行情況，并結(jié)合各工況的載荷特點確定兩級載荷譜，對齒輪試件進行單齒彎曲疲勞試驗。通過測量應(yīng)變的大小，對裂紋不同擴展階段進行區(qū)分。根據(jù)斷裂力學(xué)相關(guān)理論建立裂紋萌生和擴展壽命預(yù)測模型，以更準(zhǔn)確地預(yù)測齒輪彎曲疲勞壽命。

1 齒輪受載特性分析

1.1 城軌列車運行載荷

城軌列車運行過程屬于斷續(xù)式，各工況工作方式為短時重復(fù)，主要比較表現(xiàn)為牽引、惰行、制動相互交替的過程。在牽引過程中，可根據(jù)直流電機牽引特性將牽引過程分為3個階段[11]。城軌列車的牽引單元如圖1所示。

圖1 城軌列車牽引單元

電機輸出功率、輪周牽引力與速度變化的關(guān)系曲線及牽引過程階段劃分如圖2所示。

圖2 電機輸出功率、輪周牽引力隨速度變化關(guān)系

列車啟動階段牽引電機提供驅(qū)動力矩，小齒輪帶動大齒輪轉(zhuǎn)動；當(dāng)列車達到限定速度時，列車進入惰行階段，牽引電機不再提供牽引力矩；進站前列車將進行制動，此時小齒輪提供阻力矩，大齒輪帶動小齒輪轉(zhuǎn)動使列車減速并完成電能的回收[12]。文中齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪參數(shù)

1.2 不同工況下齒根應(yīng)力對比

為初步計算不同工況下齒根彎曲應(yīng)力大小，本文采用有限元法對齒輪進行分析。齒輪嚙合過程中軸向上的主應(yīng)力非常小[13]。為節(jié)約計算成本同時保證精度，本文采用平面二維模型進行計算。在Abaqus 中建立齒輪計算模型如圖3所示。

圖3 齒輪有限元模型

網(wǎng)格類型為三節(jié)點平面應(yīng)力三角形單元，網(wǎng)格大小為為0.3 mm，僅給與大、小齒輪ZR方向自由度，材料參數(shù)如表2所示。

表2 材料參數(shù)

牽引工況下，對小齒輪添加逆時針轉(zhuǎn)速，對大齒輪添加相應(yīng)的阻力矩?？紤]到恒功率階段與自然特性階段列車輪周牽引力不斷下降小齒輪齒根應(yīng)力不斷下降，為計算各階段小齒輪齒根最大彎曲應(yīng)力，因此選取區(qū)間初始處的邊界條件與載荷條件。牽引工況下邊界條件及載荷條件如表3所示，齒輪嚙合應(yīng)力云圖如圖4所示。

表3 牽引工況的邊界與載荷條件

圖4 牽引工況下齒根應(yīng)力云圖

惰行工況下，僅對大齒輪添加順時針轉(zhuǎn)速；制動工況下對大齒輪添加順時針轉(zhuǎn)速，小齒輪添加相應(yīng)阻力矩，模仿列車再生制動，惰行工況與制動工況下的應(yīng)力云圖分別如圖5a）、圖5b）所示。

圖5 惰行與制動工況下齒根應(yīng)力云圖

1.3 兩級載荷的確定

對各工況應(yīng)力云圖齒根處節(jié)點進行測量，并選取齒根Y 軸負方向一側(cè)處應(yīng)力最大的節(jié)點，觀察該節(jié)點的應(yīng)力-時間曲線以曲線中的最大應(yīng)力作為各工況下的齒根應(yīng)力σF，5種工況下的齒根應(yīng)力如表4所示。

表4 不同工況下齒根應(yīng)力

由于齒輪彎曲疲勞是齒面受法相載荷，與受載面相同一側(cè)的齒根部受拉應(yīng)力作用，萌生張開型裂紋進而擴展，最終導(dǎo)致輪齒斷裂[14]，所以齒根處裂紋的萌生與擴展不受惰行與制動工況的影響。本文齒輪試件與文獻[3]齒輪試件具有一致性，文獻[3]應(yīng)用單齒彎曲疲勞試驗方法得到該試件的S-N 曲線如圖6所示。通過與S-N 曲線比較可知，牽引工況自然特性階段所產(chǎn)生的齒根應(yīng)力遠低于疲勞極限值，所以在本次試驗中暫不考慮自然特性階段的作用。

圖6 輪齒疲勞的S-N 曲線

恒扭矩牽引階段小齒輪齒根處所受彎曲應(yīng)力恒定，將此階段小齒輪處彎曲應(yīng)力定為一級應(yīng)力σ1，對應(yīng)循環(huán)次數(shù)31 000次；恒功率牽引階段小齒輪轉(zhuǎn)矩不斷下降，齒根處所受彎曲應(yīng)力幅值不斷下降。為準(zhǔn)確確定恒功率階段對小齒輪造成的損傷，將該階段按照列車速度進行更細致的劃分，并對階段小齒輪齒根處彎曲應(yīng)力根據(jù)等效原理進行計算并根據(jù)兩站間距離及各階段列車運行速度估算列車單日各牽引階段及速度區(qū)間對應(yīng)的循環(huán)次數(shù)。城軌列車不同牽引階段不同速度下的小齒輪齒根彎曲應(yīng)力均值及循環(huán)次數(shù)如表5所示。

表5 不同牽引階段下齒輪齒根彎曲應(yīng)力及循環(huán)次數(shù)

恒功率牽引階段不同速度區(qū)間對應(yīng)的壽命計算公式為

式中：σv表示不同速度區(qū)間對應(yīng)的齒根處彎曲應(yīng)力均值；Nv表示不同應(yīng)力均值所對應(yīng)的疲勞壽命；m、C 為與材料有關(guān)參數(shù)。

通過確定恒功率牽引階段不同速度區(qū)間對應(yīng)的疲勞壽命結(jié)合列車單次啟動恒功率牽引階段各速度區(qū)間的循環(huán)次數(shù)，可以確定小齒輪單日啟動恒功率牽引階段所對應(yīng)的損傷Dsingle為

式中ni*為列車單日恒功率牽引階段對應(yīng)不同速度區(qū)間的小齒輪循環(huán)次數(shù)。根據(jù)式（3）將齒根處彎曲應(yīng)力進行等效處理并將等效處理后的載荷定為第二級應(yīng)力σ2，即

將表5中數(shù)據(jù)代入式（3）中，可得σ2為366.04 MPa，對應(yīng)循環(huán)次數(shù)45 800次。

2 疲勞試驗過程與分析

2.1 疲勞試驗與過程

齒輪試件如圖7所示。采用疲勞試驗機測試齒輪彎曲疲勞應(yīng)力及壽命，如圖8所示。

圖8 試驗設(shè)備及應(yīng)變片位置

本文試驗數(shù)據(jù)基于國內(nèi)某條城軌列車線路測得，考慮到不同線路的差異性，另選取兩級應(yīng)力比值σ2/σ1分別為0.95、0.90、0.80、0.75的4組數(shù)據(jù)進行試驗，4組數(shù)據(jù)滿足

式中：n1、n2分別對應(yīng)單次兩級載荷循環(huán)中一級載荷的循環(huán)次數(shù)與二級載荷的循環(huán)次數(shù)；N1、N2分別對應(yīng)一級載荷、二級載荷作用下的疲勞壽命；D*為常數(shù)對應(yīng)城軌列車運行一天小齒輪的損傷。根據(jù)GBT14230-95計算高頻疲勞試驗機加載載荷，即

式中：Ft為高頻疲勞彎曲試驗機加載載荷；b 為齒寬；m為齒輪模數(shù)；YST、YδrelT、YX、YFE、YSE分別為與齒根應(yīng)力有關(guān)系數(shù)。

試驗載荷加載順序為F1-F2兩級載荷如表6所示，對應(yīng)循環(huán)次數(shù)分別為兩級應(yīng)力所對應(yīng)的單日循環(huán)次數(shù)并將兩級載荷循環(huán)加載。

表6 兩級彎曲應(yīng)力及加載載荷

通過初步試驗，確定裂紋萌生位置，在裂紋萌生位置處粘貼應(yīng)變片并將應(yīng)變片與MDR80數(shù)據(jù)采集儀相連接，疲勞試驗機壓頭及應(yīng)變片粘貼位置如圖8b）所示。

試驗中，通過手持顯微鏡測量并記錄的齒輪端面裂紋長度。試驗中采集的信號為正弦周期信號，采樣頻率為20 000 Hz。每種應(yīng)力比值下試驗3個試件。試驗加載頻率約為158 Hz，試件未出現(xiàn)裂紋時，加載頻率不變，裂紋萌生及擴展時振動頻率下降，當(dāng)振動頻率下降至148 Hz 時，試驗結(jié)束。試驗后對應(yīng)變片采集的數(shù)據(jù)進行二次取樣及峰值的提取，以確保對應(yīng)變量的定量分析。

2.2 裂紋萌生與擴展分析

當(dāng)試件在兩級應(yīng)力比值為0.95，一級應(yīng)力σ1為416.75 MPa 時試件的循環(huán)次數(shù)-應(yīng)變曲線如圖9所示。

圖9 應(yīng)變與疲勞壽命的關(guān)系

試驗初期，循環(huán)次數(shù)從0循環(huán)至1.62×106次時，應(yīng)變幅值每增加1με 對應(yīng)增加23 189次循環(huán)，此階段齒根處應(yīng)變幅值變化緩慢，齒根處的應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變裂紋還未產(chǎn)生。循環(huán)次數(shù)從1.62×106次循環(huán)至1.78×106次時，應(yīng)變幅值每增加1με，循環(huán)次數(shù)增加10 900次，應(yīng)變幅值變化速率明顯加快，說明齒根處產(chǎn)生了塑性應(yīng)變，形成微觀裂紋，對應(yīng)圖9中紅色線段部分。當(dāng)循環(huán)至1.86×106次時齒根處應(yīng)變幅值每增加1με，應(yīng)力循環(huán)次數(shù)增加1 200次，由于先前產(chǎn)生的微觀裂紋造成應(yīng)力集中，應(yīng)變幅值變化速率大幅提升，裂紋進入成形階段，形成宏觀裂紋對應(yīng)圖9中的黃色線段部分。當(dāng)循環(huán)次數(shù)增加至1.97×106次時，試驗機頻率低于148 Hz 試驗結(jié)束。在此階段齒根處應(yīng)變幅值每增加1με 對應(yīng)增加循環(huán)次數(shù)6 833次，相較于上一階段齒根處應(yīng)變幅變化速率有所放緩，主要是因為裂紋長度增長的同時，裂紋寬度增長緩慢，齒根處應(yīng)變幅值每增加1με對應(yīng)增加循環(huán)次數(shù)6 833次，裂紋進入穩(wěn)定擴展區(qū)。

3 齒根處疲勞壽命預(yù)測

以往的疲勞壽命預(yù)測模型根據(jù)Miner 法則對試件進行全壽命預(yù)測，僅根據(jù)各工況單一載荷Fi預(yù)測各工況下的疲勞壽命，并進行疊加，得到試件的預(yù)測壽命N[15]。常規(guī)模型未考慮到兩級載荷大小對于試件壽命的影響。根據(jù)表6確定的試驗加載載荷，對齒輪試件進行疲勞試驗，每組不同應(yīng)力比值下進行3次試驗。試驗數(shù)據(jù)如表7所示， ND′為兩級載荷作用下齒輪的疲勞壽命均值，ND為將等效兩級載荷等效為單一載荷作用下的疲勞壽命。

表7 試件彎曲疲勞壽命

等效應(yīng)力σm可表示為

由此可得等效應(yīng)力σm為392.10 MPa，試件的彎曲疲勞壽命降低率Pd可表示為

隨著兩級載荷比值的不斷降低，受到兩級載荷相差不斷增大的影響，試件的疲勞壽命不斷降低。本文提出了一種以兩級載荷造成的齒根的應(yīng)力之比值σ2/σ1為損傷參量的彎曲疲勞壽命預(yù)測模型，以便更精準(zhǔn)預(yù)測城軌列車傳動齒輪的彎曲疲勞壽命。

3.1 裂紋萌生壽命預(yù)測

為準(zhǔn)確預(yù)測齒輪壽命，將齒輪全壽命劃分為裂紋萌生壽命與裂紋擴展壽命，裂紋萌生壽命Ni對應(yīng)圖9中無裂紋區(qū)，裂紋萌生壽命Ni及裂紋萌生壽命占比I 如表8所示。

表8 裂紋萌生壽命及萌生壽命占比

表8中裂紋萌生壽命占比可表示為

裂紋萌生壽命占據(jù)了試件總壽命的75%以上，裂紋萌生壽命預(yù)測模型為

將試驗數(shù)據(jù)代入到公式（9）中，由此得到不同兩級應(yīng)力比值下彎曲疲勞裂紋萌生壽命預(yù)測模型為

3.2 裂紋擴展壽命預(yù)測

通過對裂紋的萌生和擴展進行分析，裂紋形成的3個區(qū)域即：裂紋成核區(qū)、宏觀裂紋形成區(qū)以及裂紋穩(wěn)定擴展區(qū)3個區(qū)域內(nèi)分別對應(yīng)疲勞壽命為：NNuc、NMac、NS-exp,以及相應(yīng)的裂紋的擴展長度：aNuc、aMac、aS-exp。表9展示了不同應(yīng)力比值下每組3個試件的試驗結(jié)果。

表9 裂紋擴展長度與循環(huán)次數(shù)的關(guān)系

根據(jù)帕里斯公式可預(yù)測裂紋擴展壽命至長度a 時的壽命，即

式中：a為裂紋長度；Np為裂紋擴展至長度a的壽命；C*為與材料有關(guān)參數(shù)。

應(yīng)力強度因子范圍ΔK 可表示為

式中： Δσ=σmax-σmin；B 為齒輪齒寬；W 為試樣齒 輪齒根處厚度；α =a/W 。

根據(jù)疲勞損傷線性累積假說，并結(jié)合疲勞損傷等效原理，可得

式中：n"1為試件裂紋擴展時一級載荷F1循環(huán)次數(shù)；n"2為試件裂紋擴展時二級載荷F2循環(huán)次數(shù)；nmix為兩級載荷F1-F2的循環(huán)次數(shù)；Ne為兩級載荷循環(huán)一次所對應(yīng)的等效疲勞壽命。由S-N 曲線可知齒輪的壽命-應(yīng)力關(guān)系為

將式（14）代入式（13）可得：

公式（16）中的非對稱應(yīng)力σe等效成對稱應(yīng)力幅Δσe，Δσe可表示為：

式中σb為材料的強度極限。

將式（17）代入式（12）得

不同比值兩級應(yīng)力作用下裂紋擴展速率d a/d NP與應(yīng)力強度因子范圍 ΔK的關(guān)系如圖10中不同樣式線段所示。

圖10 疲勞裂紋增長率

5種不同兩級載荷比值下，隨著應(yīng)力強度因子K 的增加裂紋擴展速率d a/d NP不斷增加，兩級載荷比值較低即兩級載荷相差越大，裂紋擴展速率d a/d NP隨應(yīng)力強度因子K 增長速度越快，齒輪試件的裂紋萌生壽命越低。5種不同兩級應(yīng)力比值下裂紋擴展帕里斯公式如式（19）～式（23）所示。式中，ΔK為5種比值下分別對應(yīng)的應(yīng)力強度因子范圍。

兩級應(yīng)力比值σ2/σ1=0.95，則

兩級應(yīng)力比值σ2/σ1=0.90，則

兩級應(yīng)力比值σ2/σ1=0.85，則

兩級應(yīng)力比值σ2/σ1=0.80，則

兩級應(yīng)力比值σ2/σ1=0.75，則

3.3 模型驗證與對比

齒輪的預(yù)測壽命為

表10展示了本文預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果與試驗均值壽命之間的誤差。誤差P 的表達式為

表10 壽命預(yù)測模型驗證

本文預(yù)測模型預(yù)測壽命均小于試驗均值壽命，且與試驗均值壽命較為貼合，最小誤差達到了3.7%，本文提出的壽命預(yù)測模型可以較為精準(zhǔn)的預(yù)測齒輪在兩級載荷作用下的疲勞壽命。

4 結(jié)論

1）以城軌列車的電機牽引特性曲線為依據(jù)，基于損傷等效原理給出了簡便易行的載荷譜確定方法。

2）相較于等效單一載荷，兩級載荷對齒輪的疲勞壽命有顯著影響，隨著兩級載荷比值的降低，疲勞壽命不斷下降。

3）本文提出的壽命預(yù)測方法充分考慮了城軌列車傳動齒輪真實的運行工況下外部載荷對其疲勞壽命的影響，符合城軌列車齒輪的服役特性，可以較為準(zhǔn)確的預(yù)測城軌列車齒輪齒根處的疲勞壽命，為我國城軌列車齒輪設(shè)計提供理論支撐。