柔性聯(lián)軸器平行不對中軸系振動特性分析

趙博，谷偉偉，潘渤，王延博

（1.西安熱工研究院有限公司，西安 710054；2.西安西熱節(jié)能技術(shù)有限公司，西安 710054）

在導致旋轉(zhuǎn)機械振動異常的各類故障中，不對中出現(xiàn)的頻率僅次于質(zhì)量不平衡[1]。軸系不對中的可能原因有加工誤差、安裝誤差和運行中的熱膨脹、機械沖擊作用等。不對中除了會導致設備振動變化，還可能導致軸承加速磨損、油膜失穩(wěn)和轉(zhuǎn)軸的撓曲變形等，危害極大[2]。研究和掌握不對中振動的機理和特征，對于旋轉(zhuǎn)機械的故障診斷和治理具有重要意義。

軸系不對中分為軸承不對中、聯(lián)軸器不對中和動靜不同心3種類型，形式上又分為平行不對中、角度不對中和復合不對中[2-4]，更需要注意的是應用凸緣、齒套、膜片等各類的聯(lián)軸器時軸系振動特性也需要分別討論。文獻[5]研究了聯(lián)軸器交角不對中柔性轉(zhuǎn)子-軸承耦合系統(tǒng)的非線性動力學行為，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可能會出現(xiàn)分叉、跳躍以及混沌等非線性現(xiàn)象，著重研究了軸承非線性對系統(tǒng)振動特性的影響。文獻[6]分析了不對中和碰摩耦合時的軸系振動特性，模型考慮了動靜摩擦帶來的非線性和軸承非線性，但不對中效應僅被?；癁檗D(zhuǎn)速同步的離心和阻尼載荷。文獻[7]以雙子系統(tǒng)為研究對象，發(fā)現(xiàn)高、低壓轉(zhuǎn)子的振動相互耦合，在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的1/2會發(fā)生2倍頻共振。文獻[8]建立了包含滾動軸承的航發(fā)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，通過數(shù)值方法分析了發(fā)生不對中和質(zhì)量不平衡時的振動特性。文獻[9]基于構(gòu)建使用齒式聯(lián)軸器的偏盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型，研究了系統(tǒng)在轉(zhuǎn)子不平衡激勵和聯(lián)軸器不對中激勵共同作用下的非線性響應特性。文獻[10]針對柴油發(fā)電機組聯(lián)軸器空間動態(tài)不對中問題，建立有限元模型并分析了系統(tǒng)的振動響應特性。文獻[11]通過改變軸系標高來模擬各種軸承不對中工況，并根據(jù)軸承的載荷變化，反演計算出不對中聯(lián)軸器所承受的力和力矩，并依此對軸系不對中進行定量的振動分析。文獻[12]研究了剛性連接平行不對中轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性，發(fā)現(xiàn)其故障特征頻率主要成分為1X 分量，但是建立模型時未考慮聯(lián)軸器柔度的影響，以及橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動的耦合效應。文獻[13]研究了具有平行不對中故障的非對稱發(fā)電機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學特征。

以上文獻的研究對象多為應用剛性或齒套式聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子不對中系統(tǒng)，一般把聯(lián)軸器?；癁楣潭ɑ蜚q接等剛性連接。然而，以火電廠核心輔機汽動給水泵組和部分風機組為例，普遍采用柔度不能忽略的膜片式聯(lián)軸器，因此有必要對此類系統(tǒng)不對中特性進行分析研究。文獻[14]通過建立柔性聯(lián)軸器的三維有限元模型，計算了聯(lián)軸器在旋轉(zhuǎn)過程中剛度的周期性波動，將周期性波動的剛度引入系統(tǒng)控制方程，以此作為不對中產(chǎn)生二倍頻振動的一種解釋。文獻[15]研究了彈性聯(lián)軸器不對中轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的非線性動力特性，不對中效應被簡化為簡諧變化的外部載荷，重點研究了軸承非線性對系統(tǒng)振動特性的影響，未考慮不對中帶來的彎曲和扭轉(zhuǎn)振動耦合。

本文針對聯(lián)軸器平行不對中問題，考慮聯(lián)軸器彎曲、扭轉(zhuǎn)和橫向柔度的影響，對聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)進行適當簡化，建立動力學模型并使用數(shù)值方法分析了平行不對中情況下系統(tǒng)振動特性。重點分析了平行不對中量和聯(lián)軸器剛度對系統(tǒng)動力學特性的影響，為該類轉(zhuǎn)子的振動故障診斷和治理提供理論依據(jù)。

1 動力學模型

考慮聯(lián)軸器柔性的影響和橫向扭轉(zhuǎn)振動耦合效應，建立聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型，如圖1所示。模型中聯(lián)軸器兩側(cè)允許有相對橫向位移、扭轉(zhuǎn)角和偏轉(zhuǎn)角；軸承具有 x和 y兩個方向相對獨立的剛度和阻尼，驅(qū)動轉(zhuǎn)子支撐為剛性；各轉(zhuǎn)軸為剛性，并忽略轉(zhuǎn)軸慣性，輪盤位于轉(zhuǎn)子中部。圖1中：（ x , y）為被驅(qū)動轉(zhuǎn)子的輪盤中心橫向位移坐標；（ θx, θy）為其輪盤的偏轉(zhuǎn)角； φ1為 驅(qū)動轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角； φ2為被驅(qū)動轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角；（ x1, y1）和（ x2, y2）為被驅(qū)動轉(zhuǎn)子在左右軸承處軸心橫向位移坐標；（ x3, y3）為被驅(qū)動側(cè)半聯(lián)軸器軸心橫向位移坐標。

圖1 聯(lián)軸器平行不對中軸系模型示意圖

系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子、輪盤和聯(lián)軸器各位置中心坐標滿足的約束關(guān)系如下：y,θx,θy,φ1,φ2。在上述廣義坐標下系統(tǒng)的總動能為

由方程組（1）可知，系統(tǒng)的一組廣義坐標為： x,

式中： Ip1為 驅(qū)動轉(zhuǎn)子輪盤的極轉(zhuǎn)動慣量； Id2和 Ip2分別為被驅(qū)動轉(zhuǎn)子輪盤的極轉(zhuǎn)動慣量和直徑轉(zhuǎn)動慣量。系統(tǒng)的總勢能表示為

式中： kx和 ky分 別為軸承在 x和 y 兩個方向上的橫向剛度。系統(tǒng)的拉格朗日方程為

式中： qj為系統(tǒng)的各廣義坐標； Qˉj表示軸承阻尼力和驅(qū)動力等非保守力在各廣義坐標下對應的廣義力。忽略式（2）動能中陀螺力矩項，將系統(tǒng)驅(qū)動力矩設定為M，約定阻力與角速度平方成正比為。由式（2）～式（4）得到系統(tǒng)的動力學控制方程為：

從上面控制方程可以看出軸系的橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動是耦合的，式（5）和式（6）中的kctδcosφ2和kctδsinφ2即為不對中產(chǎn)生的橫向振動和扭轉(zhuǎn)振動之間的耦合項。由于 φ2本身也是廣義坐標，其三角函數(shù)即為非線性項。除方程（9）僅包含各廣義坐標的線性項為線性方程外，其他方程中均包含sinφ2和cosφ2等非線性項，表明此系統(tǒng)的控制方程組為非線性。此非線性方程組難以求出解析解，但是可以使用數(shù)值方法求解。

2 數(shù)值求解及分析

表1列出了數(shù)值模型選用的參數(shù)。轉(zhuǎn)子尺寸及質(zhì)量屬性參考BENTLY 公司生產(chǎn)的RK-4型試驗臺轉(zhuǎn)子，并以文獻[14]中的膜片聯(lián)軸器三維有限元計算結(jié)果為參考設定柔性聯(lián)軸器剛度。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)

2.1 時頻特性

求解式（5）～式（10）組成的非線性方程組時各廣義坐標初值均設定為0，使用的求解方法為5階Runge-Kutta 法。圖2為計算得出的被驅(qū)動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化趨勢，可以看出轉(zhuǎn)速達到100 rad/s附近后有小幅度的規(guī)律性波動，表明軸系存在明顯的扭轉(zhuǎn)振動。對進入穩(wěn)態(tài)后的轉(zhuǎn)子角速度交變量進行FFT 變換，得到圖3所示的轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動頻譜，可以看出扭轉(zhuǎn)振動以2倍頻為主，并有少量的1倍頻分量，如圖3所示。

圖2 被驅(qū)動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化趨勢

圖3進入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子扭轉(zhuǎn)振動頻譜

圖4 為進入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤軸心X 和Y 方向橫向振動響應的時域波形，結(jié)果顯示X 方向幅值更大，且兩個方向振動有約90°的相位差。圖5為對X 方向振動時域波形進行FFT 變換得到的頻譜，顯示振動為1 倍頻分量。圖6為利用兩個方向振動響應合成得到的軸心軌跡，是較為標準的橢圓形。

圖4 進入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤處X 方向和Y 方向橫向振動波形

圖5 進入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子輪盤處X 方向振動頻譜

圖6 進入穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)子在輪盤處的軸心軌跡

2.2 聯(lián)軸器剛度和不對中量對響應影響

通過改變不對中量δ，計算具有不同不對中程度時轉(zhuǎn)子橫向振動幅值。無量綱化不對中程度以不對中量 δ和轉(zhuǎn)子跨內(nèi)長度l之比表示。計算結(jié)果顯示振動始終以基頻分量為主，振動幅值和不對中量取對數(shù)后呈近似線性關(guān)系，如圖7所示。同時，存在不同不對中量時，扭轉(zhuǎn)振動都以2倍頻為主，并含有少量基頻分量，扭轉(zhuǎn)振動幅值和不對中量為正相關(guān)。

圖7 不同不對中程度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動幅值

考慮到平衡不對中激振力大小和聯(lián)軸器橫向剛度相關(guān)，計算了不同橫向剛度下的軸系振動響應。無量綱化聯(lián)軸器橫向剛度以橫向剛度 kct和軸承剛度kx之比表示。圖8為不同聯(lián)軸器剛度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動幅值，可以看出，在同樣的平行不對中量下，轉(zhuǎn)子橫向及扭轉(zhuǎn)振動幅值隨聯(lián)軸器橫向剛度增大而增大，取對數(shù)后近似為線性關(guān)系。

圖8 不同聯(lián)軸器剛度下轉(zhuǎn)子橫向和扭轉(zhuǎn)振動幅值

3 分析討論

結(jié)合數(shù)值計算的結(jié)果，對于式（5）～式（10）組成的非線性控制方程組也可以做定性分析。當軸系正常穩(wěn)態(tài)運行時，以被驅(qū)動轉(zhuǎn)子為研究對象，若其瞬時轉(zhuǎn)速均值為 ω，則轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角可以表示為

式中： ε(t)表示與扭轉(zhuǎn)振動相關(guān)的轉(zhuǎn)速瞬態(tài)波動。根據(jù)上一部分中的數(shù)值計算結(jié)果和一般經(jīng)驗，可以認為?ω和ε(t)?1是成立的，進一步可以認為cosφ2≈cosωt 和sinφ2≈sinωt成立。如果將式（5）到式（8）中的 φ2替換為 ωt后，即轉(zhuǎn)子橫向振動不受扭轉(zhuǎn)振動影響，振動控制方程組也從非線性退化為線性，求解出轉(zhuǎn)子橫向振動振動表達式為x=Axsin(ωt+ψx)，顯然為單純的1倍頻振動。

以火電廠使用柔性聯(lián)軸器的汽動給水泵為例，泵轉(zhuǎn)子長度2 m 左右，但是不對中量不會超過2 mm，即 δ/l＜10-3。從數(shù)值計算結(jié)果可以看出，即使在δ/l＜10-2范圍內(nèi)，系統(tǒng)未表現(xiàn)出明顯的非線性特征，橫向基頻振動均以基頻為主。可以認為，在具有實際意義的不對中量情況下，柔性聯(lián)軸器平行不對中引起的橫向振動以基頻為主。

不失一般性，可以假設求解出轉(zhuǎn)子橫向振動X 向振動表達式為 x=Axsin(ωt+ψx)。以式（10）中的kctδx sinφ2為觀察對象，分析扭轉(zhuǎn)振動2 倍頻來源。將X 向振動表達式代入后這一項可以表示為kctδAxsin(ωt+ψx)sin(ωt+ε(t))，這是一個角頻率為2ω的的交變量，解釋了扭轉(zhuǎn)振動2倍頻的成因。

由于控制方程中激發(fā)振動的廣義力為不對中量和對應剛度的乘積，也很容易理解振動幅值隨不對中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大。這一結(jié)論也說明相同對中狀態(tài)下，使用柔性聯(lián)軸器的軸系振動要優(yōu)于使用剛性聯(lián)軸器的軸系振動。

4 結(jié)論

研究表明，柔性聯(lián)軸器平行不對中可以激發(fā)出軸系二倍頻的扭轉(zhuǎn)振動，振動幅值隨不對中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大。在生產(chǎn)實際中可能存在的不對中量情況下，即當平行不對中量與轉(zhuǎn)子跨距之比小于10-3時，具有平行不對中的柔性聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)運行時，橫向振動為基頻分量，幅值大小隨不對中量和聯(lián)軸器剛度增大而增大，不存在明顯的其他頻率分量。