橡膠四元件模型動(dòng)力學(xué)特性分析

俞力洋，黃然，吳少培，丁旺才，李國(guó)芳，屈鳴鶴

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

橡膠業(yè)作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)重要基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)之一，不僅為人們提供日常生活不可或缺的日用、醫(yī)用等輕工業(yè)橡膠產(chǎn)品，而且向交通、建筑、機(jī)械、電子等重工業(yè)及新興產(chǎn)業(yè)提供各種橡膠部件[1]。更具體地，橡膠材料極佳的可塑性、優(yōu)越的超彈黏彈性及良好的阻尼特性，使其在承受交變載荷時(shí)能耗散大量振動(dòng)能量，因而通常被用作隔振減震器核心部件，如橡膠襯套[2]、車輛座椅緩沖墊[3]、軌道車輛用彈性橡膠墊[4]、空氣彈簧橡膠囊[5]等。

早期人們通常采用簡(jiǎn)單Kelvin-Voigt 模型（彈簧與阻尼并聯(lián)）或Maxwell模型（彈簧與阻尼串聯(lián)）模擬包括橡膠在內(nèi)的各種隔振吸振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性[6-7]。但后來學(xué)者們發(fā)現(xiàn)Kelvin-Voigt 模型與Maxwell 模型均無法同時(shí)反映橡膠材料的松弛特性與蠕變特性[8]，因此目前常通過增加模型耦合程度或引入非線性因素以提升模型準(zhǔn)確度，如Zener 模型[9]、Burgers 模型[10]、Berg 模型[11]、Dzierek 模型[12]及分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型[13]。值得注意的是，雖然引入新元件或增加元件數(shù)目可從一定程度上增加模型精度，但這同時(shí)也加大了系統(tǒng)的求解難度。相比兩元件模型與Zener 模型，四元件模型具有較少的系統(tǒng)參數(shù)及較低的計(jì)算難度，且其本身能夠準(zhǔn)確反映橡膠材料的松弛特性和蠕變特性，不失為開展橡膠隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析的較佳模型。

目前對(duì)各種場(chǎng)景下橡膠等黏彈材料模型等效與靜力學(xué)特性計(jì)算方面的研究已較為成熟，但對(duì)材料黏彈性模型復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為的研究還有待進(jìn)一步深入。劉汝逾等[14]在單自由度線性雙側(cè)剛性碰撞模型中引入分?jǐn)?shù)階微分，分析了該系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的穩(wěn)定性和分岔行為。隋鵬等[15]提出了一種含有慣容和接地剛度的新型動(dòng)力吸振器模型，并詳細(xì)研究了該模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。Wang 等[16]提出了一種含有負(fù)剛度彈簧元件的三要素型動(dòng)力吸振器模型，通過最小化幅頻曲線的最大值得到了系統(tǒng)最優(yōu)阻尼比的設(shè)計(jì)公式。Litewka 等[17]分析了Zener 黏彈性材料所制成Von Kármán 幾何非線性板在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)，采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)振幅響應(yīng)，分析了參數(shù)對(duì)阻尼水平的影響規(guī)律。

考慮到實(shí)際系統(tǒng)中的擾動(dòng)源往往是兩個(gè)甚至多個(gè)窄帶頻譜激勵(lì)源的疊加[18-21]，本文以四元件橡膠模型為研究對(duì)象，分析了橡膠等黏彈隔振系統(tǒng)在單頻、多頻激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)。首先建立了系統(tǒng)無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程，采用諧波平衡法求解了系統(tǒng)幅頻響應(yīng)并與數(shù)值結(jié)果相比較，隨后得到系統(tǒng)不同參數(shù)條件下的幅頻響應(yīng)與力傳遞率，并計(jì)算了系統(tǒng)單頻、多頻激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)，最后分析了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻特性與振動(dòng)傳遞特性的影響規(guī)律。

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1為四元件橡膠隔振系統(tǒng)的力學(xué)模型，該模型由標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型（又稱Zener 模型）與剛度為K0的彈簧并聯(lián)而成。質(zhì)量塊 M 在簡(jiǎn)諧激勵(lì)F sin(ΩT)作用下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，X、Y 分別表示質(zhì)量塊與無質(zhì)量節(jié)點(diǎn)在豎直方向的位移。

圖1四元件橡膠隔振系統(tǒng)

圖1 所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

考慮到橡膠材料的振幅相關(guān)性，引入如下無量綱參數(shù)：

式中：Fsolidary為系統(tǒng)外激勵(lì)幅值 F的對(duì)照參數(shù)，該參數(shù)的引入可較為直觀地體現(xiàn)橡膠隔振系統(tǒng)的幅值相關(guān)性。

進(jìn)而可得系統(tǒng)的無量綱微分方程為：

2 系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)

下面采用諧波平衡法求解四元件橡膠隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。設(shè)圖1所示系統(tǒng)的主振動(dòng)為：

將式（3）代入式（2），略去其中的高階項(xiàng)，并使等式兩邊對(duì)應(yīng)諧波項(xiàng)的系數(shù)相等，可得四元件橡膠隔振系統(tǒng)質(zhì)量塊與節(jié)點(diǎn)的幅值和相角為：

式中：D0=1+μK1-ω2；D1=2ξω；D2=μK1-ω2；D3=1+μK2。

由式（4）可得四元件橡膠隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，并結(jié)合數(shù)值方法進(jìn)行正確性驗(yàn)證，為后續(xù)基于系統(tǒng)幅頻響應(yīng)計(jì)算最優(yōu)阻尼系數(shù)提供必要前提。圖2為參數(shù)μK1=1．5,μK2=0．05,ξ=0．1,p=2時(shí)，諧波平衡法與數(shù)值法所得質(zhì)量塊幅頻響應(yīng)對(duì)比圖，可見兩種方法所得幅頻響應(yīng)匹配良好。

圖2 質(zhì)量塊幅頻響應(yīng)對(duì)比圖

3 系統(tǒng)的最優(yōu)阻尼系數(shù)

3.1 系統(tǒng)單頻激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)

由式（4）可得質(zhì)量塊振幅放大因子為

圖3 不同參數(shù)條件下阻尼系數(shù)對(duì)質(zhì)量塊幅頻響應(yīng)的影響

由圖3可知，對(duì)于既定剛度比，任意阻尼系數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線均交于公共點(diǎn)C =()，因此，總可以找到一條幅頻響應(yīng)曲線，使其峰值點(diǎn)恰好為公共點(diǎn)C，此時(shí)的阻尼系數(shù)即四元件模型在當(dāng)前參數(shù)域內(nèi)的最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt。隨著阻尼系數(shù) ξ的增大，系統(tǒng)共振頻率逐漸向高頻區(qū)移動(dòng)，且當(dāng)阻尼系數(shù)ξ<ξopt時(shí)，隨著阻尼系數(shù) ξ的增大，質(zhì)量塊最大振幅放大因子βmax逐 漸降低，而當(dāng)ξ>ξopt后，阻尼系數(shù)ξ的增大又會(huì)使 βmax逐 漸增大，而ξ 較大時(shí)， μK1的增大會(huì)使質(zhì)量塊共振峰高于弱阻尼時(shí)的共振峰。

既定剛度比下四元件模型的最優(yōu)阻尼系數(shù)ξopt求解步驟如下：

1）明確隔振系統(tǒng)的主要工作頻率，選擇恰當(dāng)?shù)膭偠缺却钆?，使系統(tǒng)工作頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)當(dāng)前參數(shù)下的主共振峰；

4）同理選定該剛度比下的另一阻尼系數(shù)，計(jì)算出公共點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率正實(shí)根，所得公共解即為系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt下 的激勵(lì)頻率 ω。

在已選定的剛度比下，使振幅放大因子β(ω,μK1,μK2,ξ)對(duì) 激勵(lì)頻率 ω求偏導(dǎo)可得：

根據(jù)上述步驟，選擇系統(tǒng)剛度比 μK1=1, μK2=0．01， 可得阻尼系數(shù) ξ從0.05逐漸增大至1時(shí)，質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線簇與最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt下的最佳幅頻響應(yīng)，如圖4所示。

μK1=1,μK2=0．01 β(ω,ξ)圖7 時(shí) 在 參數(shù)平面的分布

μK1=1,μK2=0．01圖4 時(shí)質(zhì)量塊的最佳幅頻響應(yīng)

圖4中，綠色曲線 L為各阻尼系數(shù)下質(zhì)量塊共振峰隨激勵(lì)頻率 ω的變化規(guī)律。由圖4可知，當(dāng)前參數(shù)下系統(tǒng)公共點(diǎn)C =(1．226,2．020)。黑色曲線S 是以公共點(diǎn)為共振峰值點(diǎn)的最佳幅頻響應(yīng)曲線。通過前面的計(jì)算可得系統(tǒng)當(dāng)前參數(shù)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)ξopt=0．41。

由圖5可知，取剛度比μK1=3,μK2=0．01，可得阻尼系數(shù)ξ 從0.05逐漸增大至1時(shí)，質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線簇與最優(yōu)阻尼系數(shù)ξopt下的最佳幅頻響應(yīng)。此時(shí)系統(tǒng)公共點(diǎn)C =(1．872,2．012)、最優(yōu)阻尼系數(shù)ξopt=0．27。

μK1=3,μK2=0．01圖5 時(shí)質(zhì)量塊的最佳幅頻響應(yīng)

3.2 系統(tǒng)多頻激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)

由于實(shí)際工作環(huán)境中機(jī)械系統(tǒng)所受激勵(lì)通常為多頻率激勵(lì)，下面分析計(jì)算四元件橡膠隔振系統(tǒng)在多頻激勵(lì)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)受多頻諧激勵(lì)的形式為，通過無量綱量pi=Fi/Fs將激勵(lì)無量綱化，依據(jù)外激勵(lì)形式設(shè)出系統(tǒng)響應(yīng)，基于疊加法及諧波平衡法求得系統(tǒng)響應(yīng)，最后采用均方根處理所得響應(yīng)，可得系統(tǒng)多頻激勵(lì)下質(zhì)量塊的振幅放大因子

以 i=2為例，此時(shí)系統(tǒng)受雙頻激勵(lì)作用，該激勵(lì)無量綱化為 p1sin(ω1t)+p2sin(ω2t)，其中 p1=F1/Fs，p2=F2/Fs。取系統(tǒng)參數(shù)μK1=1,μK2=0．05,p1=1,p2=1， 假設(shè)ω2=3ω1， 基于式（8）可得阻尼系數(shù)ξ從0.05逐漸增大至1時(shí)，系統(tǒng)雙頻率激勵(lì)下的質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線簇與最佳幅頻響應(yīng)，如圖6所示。

圖6 雙頻率激勵(lì)下質(zhì)量塊最佳幅頻響應(yīng)

由圖6可知，系統(tǒng)在雙頻激勵(lì)下的幅頻響應(yīng)曲線有兩個(gè)共振峰，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線也有兩個(gè)公共點(diǎn)，且這兩個(gè)共振峰（或公共點(diǎn)）對(duì)應(yīng)頻率和 ω1與 ω2的比值相同。采用四元件模型單頻激勵(lì)下最優(yōu)阻尼系數(shù)ξopt同理的求解步驟可求得系統(tǒng)特定參數(shù)下的最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt=0.42，使得系統(tǒng)幅頻曲線兩個(gè)共振峰均為最低狀態(tài)。本文最優(yōu)阻尼系數(shù)計(jì)算方法在雙頻激勵(lì)下的無差別應(yīng)用，證明了該方法在多頻激勵(lì)下的四元件橡膠隔振系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù)計(jì)算的普適性。

4 系統(tǒng)的隔振性能分析

4.1 兩維參數(shù)下系統(tǒng)振幅放大因子的分布規(guī)律

為更加全面地反映四元件橡膠隔振系統(tǒng)的隔振性能，下面分析系統(tǒng)振幅放大因子 β在兩維參數(shù)域(ω,ξ) 和(ω,μK1)內(nèi)的分布規(guī)律，如圖7和圖8所示，因剛度比μK2對(duì)系統(tǒng)隔振性能的影響規(guī)律與 μK1相似，此處不再贅述。結(jié)合振幅放大因子的定義可知，系統(tǒng)在振幅放大因子 β<1的區(qū)域內(nèi)具有減振效果。由圖7和圖8可知，改變系統(tǒng)阻尼系數(shù)與剛度比可達(dá)到調(diào)整系統(tǒng)減振效果的目的，通過ξ 調(diào)整阻尼系數(shù)也 可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)共振頻率的小范圍微調(diào)。

ξ=0．2,μK2=0．01 β (ω,μK1)圖8 時(shí) 在 參數(shù)平面的分布

由圖7可知，隨著阻尼系數(shù) ξ的增大，系統(tǒng)共振峰先減后增，并在阻尼系數(shù)ξ 取ξopt=0．41時(shí)取得最小主共振峰；而當(dāng) ξ增大時(shí)，系統(tǒng)共振峰對(duì)應(yīng)的頻域?qū)挾扔兴鶞p小，低頻范圍內(nèi)的隔振頻寬逐漸增加。由圖8可知，隨著剛度比 μK1的增大，系統(tǒng)共振峰逐漸降低、低頻范圍內(nèi)的隔振頻寬逐漸增加，說明剛度比 μK1增大可明顯改善系統(tǒng)的隔振效果。實(shí)際應(yīng)用中通過調(diào)整剛度比 μK1與 μK2可使系統(tǒng)共振區(qū)遠(yuǎn)離機(jī)械系統(tǒng)工作主頻，進(jìn)而使系統(tǒng)呈現(xiàn)出最佳的隔振效果。

4.2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)力傳遞率的影響

力傳遞率作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)隔振性能的指標(biāo)，定義為隔振系統(tǒng)受到激勵(lì)力的作用后傳遞到地基的力幅值與激勵(lì)力幅值的比值[22-24]，能更深入地揭示系統(tǒng)的振動(dòng)傳遞行為。以單頻激勵(lì)時(shí)的系統(tǒng)為研究對(duì)象，分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響規(guī)律。記錄系統(tǒng)所受無量綱外激Fexcitation= p sin(ωt)，記錄通過四元件橡膠隔振系統(tǒng)傳遞到基座上的力為Ftransmissibility，結(jié)合式（2）可得系統(tǒng)力傳遞率

其中

式中： x、y、y˙分別為質(zhì)量塊位移、節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)速度。

將式（4）代入式（8）和式（9），可得系統(tǒng)廣義力傳遞率

選擇系統(tǒng)基準(zhǔn)參數(shù)p=3,μK1=0．3,μK2=0．03，由式（11）可得剛度比 μK1、 μK2及阻尼系數(shù)ξ 對(duì)四元件橡膠隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響規(guī)律，如圖9所示。

圖9 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)力傳遞率的影響

由圖9可知，增大剛度比 μK1與 μK2都會(huì)使系統(tǒng)力傳遞率顯著增大、共振峰向高頻方向偏移。但剛度比一定時(shí)，增大阻尼系數(shù)會(huì)使系統(tǒng)力傳遞率峰值先減小后增大，并且不同阻尼系數(shù)下的力傳遞率曲線也形成了一個(gè)公共點(diǎn)，因此可以參考前文方法計(jì)算出系統(tǒng)當(dāng)前參數(shù)下的最優(yōu)阻尼系數(shù)，使系統(tǒng)力傳遞率曲線的共振峰值恰好為公共點(diǎn)。圖10為參數(shù)μK1=1, μK2=0．01時(shí)系統(tǒng)的最佳力傳遞率，此時(shí)系統(tǒng)公共點(diǎn)C =(1．226,1．401 9)，最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt=0.41。

=1, μk2=0．01圖10時(shí)系統(tǒng)的最佳力傳遞率

5 結(jié)論

建立了四元件橡膠隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，求解了系統(tǒng)在單頻激勵(lì)與多頻激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，得到了系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線與力傳遞率曲線，推導(dǎo)了系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù)的計(jì)算方法，并分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)隔振性能的影響，得出以下結(jié)論：

1）四元件橡膠隔振系統(tǒng)共振峰不僅受剛度比影響，還與阻尼系數(shù)的選取有關(guān)。增大剛度比 μK1或μK2可使系統(tǒng)共振峰向高頻方向轉(zhuǎn)移，反之則向低頻偏移?；谶@一特點(diǎn)可設(shè)計(jì)出恰當(dāng)?shù)膭偠缺却钆?，使系統(tǒng)共振峰遠(yuǎn)離被隔振系統(tǒng)工作主頻，從而呈現(xiàn)出最佳的隔振效果。在不降低系統(tǒng)靜撓度的條件下，還可通過調(diào)整阻尼系數(shù)ξ 實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)共振頻率的小范圍微調(diào)。

2）既定剛度比時(shí)，系統(tǒng)不同阻尼系數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線與力傳遞率曲線均通過一個(gè)公共點(diǎn)，則可基于此計(jì)算出一個(gè)最優(yōu)阻尼系數(shù) ξopt，使其對(duì)應(yīng)幅頻響應(yīng)曲線或力傳遞率曲線的峰值點(diǎn)恰好為公共點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線或力傳遞率曲線共振峰為當(dāng)前參數(shù)下最低狀態(tài)。上述方法同樣適用于多頻率激勵(lì)系統(tǒng)最優(yōu)阻尼系數(shù)的計(jì)算。

3）隨著剛度比 μK1、 μK2或阻尼系數(shù) ξ的增加，系統(tǒng)共振峰對(duì)應(yīng)的頻域?qū)挾扔兴鶞p小，低頻范圍內(nèi)的隔振頻寬逐漸增加。

上述研究結(jié)果與方法，可為橡膠等黏彈隔振系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)。