粗糙曲面無摩擦接觸下的亞表面裂紋擴展分散性研究

周煒，羅柏瑤，唐進元

（1.湖南科技大學難加工材料高效精密加工湖南省重點實驗室，湖南湘潭 411201；2.中南大學高性能復雜零件制造國家重點實驗室，長沙 410083）

機械加工過程在零件表面生成的幾何形貌包含諸多波長成分。雖未見嚴格定義，但通常將波距在1 mm 以下的表面輪廓成分界定為粗糙度[1]。界面之間諸如力與運動的傳遞，皆是通過粗糙度微凸體之間的接觸來實現，粗糙度對機械零件表面接觸[2-3]與疲勞性能[4-5]的影響不言而喻。為實現定量描述與評判，提出了許多粗糙度參數以作表征[6]。有效地建立粗糙度參數與接觸疲勞性能之間的關聯，對指導微觀幾何結構設計及其創(chuàng)成大有裨益。

有別于光滑界面幾何的確定與規(guī)則性，粗糙度形貌具有隨機與無序特征，這給微觀尺度形性關聯研究提出了挑戰(zhàn)。一方面，粗糙度參數眾多，哪些表征參數與接觸疲勞性能相關尚未形成定論。另一方面，同一表征參數下接觸疲勞性能不是一個確定值，而是在一定范圍之內變化，呈現出較大分散性[7]，這種分散程度取決于粗糙度形貌的隨機特征。因此，研究粗糙度隨機特征與接觸疲勞性能分散性大小之間的關聯機制，揭示對接觸疲勞性能分散性起主導作用的粗糙度結構特征，對于提升抗接觸疲勞設計的一致性，具有有益參考價值。

在粗糙度形貌建模方面，試驗測試手段提供了一種可靠解決方案[8]，不過限于試驗成本和形貌樣本的不可控性，從理論上尋求更為高效的重構方法意義顯見。分形理論[9]和Motif 方法[10]從不同視角帶來了研究契機，但相關理論尚待完善，因此應用受到局限。相較而言，將粗糙度視為平穩(wěn)隨機過程的統計理論與方法[11-12]發(fā)展成熟且直觀簡明，基于此的粗糙表面性能分析正方興未艾，對粗糙度參數之間[13-14]、粗糙度與接觸疲勞性能之間[15-16]關聯進行了有益探索。

得益于摩擦學測算手段的進步，粗糙表面性能預測取得了長足進展[2-3]，但在亞表面疲勞損傷機制研究方面尚未形成有效共識。盡管這方面研究工作并不鮮見[17]，但大多聚焦于宏觀幾何[18]與裂紋[19]、加工紋理[20]與傷痕[21]、材料組織結構[22]等方面。粗糙度與亞表面裂紋擴展損傷的關聯規(guī)律還不明晰，特別是粗糙度的隨機特征如何映射于疲勞裂紋演化過程中的分散性尚不明確。

針對工程中常見曲面接觸零件，如齒輪、軸承和輪軌等，暫不考慮摩擦作用，研究粗糙度隨機效應下亞表面裂紋擴展分散性。為此，借助FFT粗糙表面重構方法對不同統計分布下的粗糙度形貌進行仿真，應用彈性接觸數值計算方法對仿真形貌樣本開展粗糙曲面接觸分析，再以計算所得接觸壓力分布為輸入，基于線彈性接觸力學和擴展有限元法計算亞表面裂紋在不同曲率半徑和外載下的擴展路徑與壽命，探究粗糙度統計分布參數與裂紋擴展分散性的內在關聯。

1 方法與原理

1.1 粗糙度形貌重構

工程表面粗糙度形貌近似滿足如下高斯高度分布與冪指數衰減型自相關分布，即：

式中：z 為粗糙度采樣高度；μ、σ 和 φ分別為采樣高度序列[z]均值、標準偏差和概率密度分布函數；R、τ、λ和β 分別為自相關性、滯后距離、高通濾波常數和相關長度?？紤]到自相關分布衰減時的波動，將R衰減為原點值1/10時的滯后距離定義為相關長度（又稱衰減長度），此時λ=-2.3?？梢姡植诙刃蚊仓饕Q于標準偏差σ 和相關長度β。

為重構出給定統計分布（σ，β）下的粗糙度形貌，由偽隨機數發(fā)生器生成標準偏差為σ 的高斯白噪聲[ε]，對高斯白噪聲和濾波系數[h]進行卷積，得到高度序列[z]，即：

式中H 為h的傅里葉變換。

自相關分布R（τ）可由[z]計算得到，即

為確定H，對R做傅里葉變換，有

式中ω =-T/2+1,···,T/2-1。

由式（2）和式（4），可得

式中γ 為高斯白噪聲功率譜密度所確定的常數。

1.2 粗糙曲面接觸分析

粗糙曲面接觸如圖1所示，其可等效為剛性平面與一等效粗糙曲面之間接觸，如圖2所示。

7.2.8 疼痛的評價 可以采用Wong‐Baker疼痛評價圖譜［18‐19］，或視覺模擬評分（VAS）。

圖1 粗糙曲面接觸示意圖

圖2 剛性平面與等效粗糙曲面接觸示意圖

假設兩接觸體曲率半徑分別為ρ1和ρ2，粗糙度分別為σ1和σ2，彈性模量分別為E1和E2，泊松比分別為ν1和ν2，則等效粗糙曲面綜合曲率半徑ρ和彈性模量E*為：

為求得等效粗糙曲面上接觸壓力分布，利用半無限大平面彈性理論，由Flamant 壓力-位移關系建立接觸控制方程。對于圖3所示矩形壓力單元p，在距x′處一點產生彈性位移uz為

圖3 壓力-位移關系示意圖

式中：Δx 為壓力單元寬度；c 為定義相對位移的任意常數。

假定剛性平面與等效粗糙曲面初始間隙為d，在外載W 作用下兩物體相互靠近發(fā)生干涉δ。依據接觸不可穿透條件，則

此外，接觸壓力滿足力平衡條件，有

1.3 裂紋擴展計算

圖4 應力計算模型示意圖

以粗糙曲面接觸壓力分布為輸入，亞表面應力場根據圖4所示模型計算可得：

由于正應力與切應力共存，亞表面裂紋為I型、II型復合型裂紋。依據最大周向拉應力準則，裂紋沿最大周向拉應力方向擴展至失穩(wěn)斷裂，擴展角度? 和等效應力強度因子Keq分別為：

式中：應力強度因子KI、KII由裂尖應力場經相互作用積分確定。

應用Paris公式，得到裂紋擴展速率與應力強度因子幅度關系為

式中：a為裂紋長度；N 為裂紋擴展壽命；C、m為試驗確定系數；對于接觸下的脈動循環(huán)加載，ΔKeq= Kmax。

2 結果與討論

2.1 裂紋擴展計算程序驗證

基于上述原理與方法，利用Fortran 語言開發(fā)了二維裂紋擴展計算的擴展有限元程序包，利用已報道文獻結果作對比驗證。有關計算模型與參數參看NASA報告[23]，所得裂紋擴展路徑與擴展壽命對比見圖5。其中，FRANC- P1、FRANC-P2、FRANC-P3為不同初始裂紋位置下NASA 報告裂紋擴展路徑以及對應初始裂紋位置下，NASA 模型導入FRANC軟件計算所得裂紋擴展壽命。pgm-P1、pgm-P2和pgm-P3為相同初始裂紋位置下，本文所開發(fā)程序計算所得裂紋擴展路徑與擴展壽命。可見，兩者吻合較好，驗證了本文所開發(fā)程序用于I型、II型復合型裂紋擴展計算的有效性。

圖5 裂紋擴展計算對比

2.2 裂紋擴展變化規(guī)律

由于隨機效應，同一統計分布（σ，β）下粗糙度形貌千變萬化，由其求解所得接觸壓力分布也呈現隨機變化，這將導致后續(xù)預測的亞表面裂紋擴展過程彼此存在差異，即裂紋擴展過程表現出分散性。為研究粗糙度統計分布參數對裂紋擴展分散性的影響，同一統計分布（σ，β）下隨機重構5個粗糙度形貌樣本，由剛性平面與粗糙曲面接觸模型計算各樣本的接觸壓力分布，再以接觸壓力分布為輸入，由前述裂紋擴展計算程序包計算各樣本的裂紋擴展路徑與壽命。圖6展示了σ=0.1，β=50時的其中兩個形貌樣本及其所得接觸壓力分布。裂紋擴展計算模型如圖7所示，其中初始裂紋長度和深度分別為0.1 mm和0.5 mm。計算參數如下：彈性模量為2.11×105MPa；泊松比為0.3；Paris指數m=2.954；Paris系數C =3.124×10-13。

圖7 裂紋擴展計算模型

不同曲率半徑下，外載W =0.5 N/μm，相關長度β =50，標準偏差σ =0.1、1及光滑曲面下裂紋擴展路徑與壽命見圖8，其中max 和min 表示相同統計分布下5個形貌樣本計算結果的最大和最小值。相比于光滑曲面，標準偏差越大，裂紋擴展路徑和壽命越分散。整體而言，裂紋擴展越深、橫向擴展越廣，則發(fā)生斷裂時材料脫落的區(qū)域越大，與之對應的壽命也越長。曲率半徑ρ= 5000μm 時，裂紋擴展路徑深度和廣度都最大，其平均壽命最長，但此時壽命分散性也最大。曲率半徑ρ= ∞時，裂紋擴展路徑最淺、橫向分布也最窄，其平均壽命最小?？梢?，曲率半徑對裂紋擴展有很大影響，這種影響還體現在標準偏差與裂紋擴展關聯之上。隨著曲率半徑增大，標準偏差引起的裂紋擴展路徑分散程度加劇。不同曲率半徑下，標準偏差對裂紋擴展深度與廣度的影響規(guī)律亦有所不同。在ρ= 500 μm 和ρ= 5000μm時，增大標準偏差使得裂紋擴展路徑變淺、橫向變窄。在ρ= ∞時，增大標準偏差則使得裂紋擴展路徑變深、橫向變廣?？梢灶A見，當曲率半徑增至一定程度，增大標準偏差將使得裂紋擴展路徑分布在較光滑曲面結果更深、橫向更廣的區(qū)域內。

圖8 裂紋擴展隨標準偏差分布

此外，在ρ= 500μm 時，增大標準偏差使得裂紋擴展平均壽命減小，粗糙曲面裂紋擴展平均壽命明顯小于光滑曲面結果。隨著曲率半徑增大，增大標準偏差使得裂紋擴展平均壽命增大，且粗糙曲面裂紋擴展平均壽命將大于光滑曲面結果。

不同曲率半徑下，外載W =0.5 N/μm，標準偏差σ =0.5，相關長度β =0（高斯白噪聲）、50、100下裂紋擴展路徑與壽命見圖9。相關長度與裂紋擴展路徑和壽命之間沒有表現出顯著關聯。曲率半徑ρ =500μm 和ρ=5000μm 時，3種相關長度下裂紋擴展路徑分布范圍大體一致，裂紋擴展平均壽命按β =100、β = 0和β =50的次序遞減。與此不同，在ρ=∞時，相關長度β =50明顯較其它相關長度下裂紋擴展更深、橫向更寬廣，裂紋擴展平均壽命也最長。裂紋擴展壽命分散性在ρ=5000μm 時仍呈現最大，在ρ=∞時最小。

圖9 裂紋擴展隨相關長度分布

不同曲率半徑下，標準偏差σ =0.5，相關長度β =50，外載W =0.1、0.5和1 N/μm 下裂紋擴展路徑與部分壽命見圖10，其中W =0.1N/μm 時因裂紋擴展速率較慢未給出其壽命?？梢郧宄乜吹剑廨d越大，裂紋擴展分散性明顯減小，且裂紋擴展深度和廣度都越小、裂紋擴展平均壽命越短。

圖10 裂紋擴展隨外載分布

2.3 討論

由于粗糙度形貌具有隨機與無序特征，在其統計分布相同條件下，基于不同形貌樣本計算所得裂紋擴展結果分散在一定范圍之內，如圖11所示，其定量比較列見表1。相比于裂紋擴展壽命，裂紋擴展路徑分散程度更小。由前述討論可知，這種分散性受曲率半徑和外載的綜合作用。曲率半徑ρ=∞時，曲面局部可視為平面，粗糙度的分散性效應被真實地體現，不受曲面影響。隨著曲率半徑減小，粗糙度作用被曲面逐漸稀釋，裂紋擴展隨之表現出不同分散程度。較ρ= 5000μm 而言，ρ= 500μm 時曲面曲率很大，粗糙度效應被充分稀釋，因此裂紋擴展分散性較小。相反，當曲率半徑增大到一定程度，如ρ= 5000μm，粗糙曲面分散效應明顯增強。此外，ρ= 5000μm 時得到了具有最長擴展壽命的形貌樣本，這表明對于一定粗糙度形貌，可能存在最佳曲率半徑，使得裂紋擴展壽命最長。

表1 分散性大小對比

圖11 裂紋擴展分散性

圖11還展示了粗糙與光滑曲面計算結果對比。不難發(fā)現，部分形貌樣本裂紋擴展壽命高于了光滑曲面結果，這強調了基于裂紋擴展壽命開展形貌優(yōu)化設計的可能。但遺憾的是，粗糙度形貌的隨機和無序特性嚴重妨害了上述作用機制的探究，使得至今尚未形成相關的明確結論。從隨機過程理論出發(fā)，可將大多數粗糙度形貌參數與其統計分布參數關聯起來[24]，由此可進一步討論粗糙度形貌參數對裂紋擴展的影響。理論上，對于高斯分布表面，Ra和Rq分別以0.8和1的比例系數正比于標準偏差σ，這意味著減小這些形貌參數可以減小裂紋擴展的分散性。一個類似于剛剛討論的問題是，部分大粗糙度樣本的壽命為何長于小粗糙度的樣本值？這也有待深入研究以揭示其內在關聯。由于相關長度決定了空間參數[25]，如RSm、RS，這些空間形貌參數與裂紋擴展亦無法呈現出簡明關系，這也是當前對空間形貌參數的作用沒有形成一致結論的原因之一。無論如何，增大外載有利于減小上述分散性，但裂紋擴展壽命也隨之減小。分散性大小對比見表1。

3 結論

1）粗糙度形貌的隨機與無序特征導致其亞表面裂紋擴展呈現分散性，且裂紋擴展路徑比壽命分散性小。裂紋擴展分散性隨粗糙度標準偏差增大而增大，與粗糙度相關長度無顯著關聯，這表明減小Ra、Rq可以減小裂紋擴展的分散程度，但無法通過簡單增減粗糙度空間參數來限制其分散性。

2）曲率半徑對亞表面裂紋擴展深度、廣度及其分散性都有很大影響。ρ=500μm 時，粗糙度效應被曲面作用充分稀釋，裂紋擴展分散性較小。隨著曲率半徑增大，裂紋擴展分散性呈增強趨勢。對于給定粗糙度形貌，可能存在最佳曲率半徑，使得裂紋擴展壽命最長。

3）增大外載可以減小裂紋擴展分散性，但同時減小了裂紋擴展壽命。